2021届高三数学二轮复习 素养提升训练02(含答案解析)

素养提升训练02
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(考点:复数,★)设复数z=11-i -i 3
1-i (i 是虚数单位),则|z|=( ).
A .1
B .√2
C .√3
D .2
2.(考点:命题的否定,★)命题“∀x ∈R,x 2+2x+5>0”的否定是( ). A .∃x ∈R,x 2+2x+5<0 B .∃x ∈R,x 2+2x+5>0 C .∃x ∈R,x 2+2x+5≤0 D .∀x ∈R,x 2+2x+5≤0
3.(考点:线性回归,★)已知x 与y 之间的一组数据为
x 2+n 3 5-n 6 y
5-m
4+m
7
8
若y 关于x 的回归直线方程为y=bx+a ,则回归直线必过定点( ). A .(4,6) B .(6,4) C .(6,8) D .(8,6)
4.(考点:双曲线,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F (
c ,0),直线y=k (x-c )与双曲线的右支有两个交点,则( ).
A .|k|>b
a B .|k|<b
a C .|k|>c
a D .|k|<c
a
5.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5+a 6=20,S 7=49,则a 10=( ). A .11 B .17 C .19 D .21
6.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π
8个单位长度后所得图象对应的解析式为y=cos 2x ,则f (x )图象的一个对称中心为( ). A .(π
8,0)
B .(3π
8,0)
C .(5π
8,0)
D .(π,0)
7.(考点:与球有关的计算,★★★)一个封闭的正方体容器里面装有一半的水,将该正方体任意旋转,当容器里水面的高度最大时,水面截正方体各面形成的图形的周长为3√2,则正方体外接球的体积为( ). A .1
2π
B .√3
2π
C .√3π
D .3π
8.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知函数f (x )=x 3+mx 2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是( ). A.(-1,2)
B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(考点:样本的数字特征,★★)甲、乙两商场对某一商品同时搞活动,它们的促销方案如下:
(1)甲商场每一个的进价为6千元,销售价为8千元,每天售出的第7个之后的按9折出售;
(2)乙商场每一个的进价为6千元,标识的销售价为8千元,实际每天售出的一律按95折出售.
已知甲、乙两商场统计了近10天这种商品的销量如图所示,设x(个)为每天商品的销量,y(千元)为每个商场每天销售这种商品的利润,
则下列结论正确的是().
A.y−
甲>y−
乙
B.y−
甲
<y−
乙
C.y−
甲
=y−
乙
D.D x
甲
>D x
乙
10.(考点:解三角形,★★)如图,在平面四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BC=1,CD=5,AB=2,∠CBD=π
4
,AC 平分∠BCD,则下列结论正确的是().
A.sin∠BDC=√2
10
B.cos∠BCD=3
5
C.cos∠ACB=-√5
5
D.AC=√5
11.(考点:抛物线,★★★)已知两点A(4,-t),B(4,t)(t>0),直线l:x=1与抛物线y2=4x的交点为M和N,以M,N为切点的抛物线切线相交于点Q,若三角形QMN外接圆C上一点P满足∠APB=90°,则下列说法正确的是().
A.以M(1,2)为切点的切线方程为y=-x+1
B.点Q的坐标为(-1,0)
C.圆C的方程为(x-1)2+y2=4
D.t的取值范围为[1,2)
12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,正方形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,将△ADE ,△CDF ,△BEF 分别沿DE ,DF ,EF 折起,使点A ,B ,C 重合于点P ,则下列结论正确的是( ).
A .PD ⊥EF
B .平面PDE ⊥平面PDF
C .二面角P-EF-
D 的余弦值为1
3
D .点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★★)已知在△ABC 中,∠A=120°,AB=3,AC=2,P 为△ABC 的重心,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 14.(考点:三角恒等变换,★★)已知sin (α
2+π
6)>0,则
cos(
2π
3-α)sin(α2+π6
)
的取值范围是 .
15.(考点:椭圆,★★★)椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的一顶点为A (0,b ),右焦点F (
c ,0),离心率e=√2
2.圆C 的半径为1,圆心C 在直线l ∶mx-y-2m=0上运动,当圆心C 落在x 轴上时,焦点F 在圆上,且点O ,C 在F 的同侧.当直线l 与AF 的连线垂直时,圆C 上存在点M ,使得|MA|
|MO|=m ,则点C 的横坐标的取值范围是 .
16.(考点:函数零点与方程的根,★★★)已知函数f (x )={1-|1-x |,x∈(-∞,2),
3f(x -2),x∈[2,+∞),则f (5)= ;若方程f (x )=k (x-3)在区间
[0,8]内仅有3个实根,则实数k 的取值范围是 .
答案解析
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(考点:复数,★)设复数z=11-i -i 3
1-i (i 是虚数单位),则|z|=( ).
A .1
B .√2
C .√3
D .2
【解析】依题意得z=11-i -i 3
1-i =1+i
(1-i)(1+i)--i(1+i)
(1-i)(1+i)=1+i 2
+
-1+i 2
=i,即z=i,|z|=1,故选A .
【答案】A
2.(考点:命题的否定,★)命题“∀x ∈R,x 2+2x+5>0”的否定是( ). A .∃x ∈R,x 2+2x+5<0 B .∃x ∈R,x 2+2x+5>0 C .∃x ∈R,x 2+2x+5≤0 D .∀x ∈R,x 2+2x+5≤0
【解析】命题“∀x ∈R,x 2+2x+5>0”的否定是“∃x ∈R,x 2+2x+5≤0”,所以C 正确. 【答案】C
3.(考点:线性回归,★)已知x 与y 之间的一组数据为
x 2+n 3 5-n 6 y
5-m
4+m
7
8
若y 关于x 的回归直线方程为y=bx+a ,则回归直线必过定点( ). A .(4,6) B .(6,4) C .(6,8) D .(8,6) 【解析】∵回归直线必过样本点的中心,x −=
2+n+3+5-n+6
4
=4,y −=
5-m+4+m+7+8
4
=6,
∴样本点的中心是(4,6),
∴回归直线y=bx+a 必过定点(4,6).
【答案】A
4.(考点:双曲线,★★)已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F (
c ,0),直线y=k (x-c )与双曲线的右支有两个交点,则( ).
A .|k|>b
a
B .|k|<b
a
C .|k|>c a
D .|k|<c
a
【解析】双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b
a x ,直线y=k (x-c )经过焦点F (c ,0),当k>0时,可得k>b
a ;当k<0时,
可得k<-b
a .故|k|>
b a . 【答案】A
5.(考点:等差数列,★★)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 5+a 6=20,S 7=49,则a 10=( ). A .11 B .17 C .19 D .21
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,由a 5+a 6=20,S 7=49,可得{2a 1+9d =20,7a 1+
7×62
d =49,解得{a 1=1,d =2.
故a n =2n-1,则a 10=19,故
选C
.
【答案】C
6.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π
8个单位长度后所得图象对应的解析式为y=cos 2x ,
则f (x )图象的一个对称中心为( ). A .(π
8,0)
B .(3π
8,0)
C .(5π
8,0)
D .(π,0)
【解析】令2x=k π+π
2,得函数y=cos 2x 的图象的对称中心为(kπ
2+π
4,0),k ∈Z,故函数f (x )的图象的对称中心为(kπ
2+π
4+π
8,0),k ∈Z .令k=0,得f (x )图象的一个对称中心为(3π
8,0),故选B . 【答案】B
7.(考点:与球有关的计算,★★★)一个封闭的正方体容器里面装有一半的水,将该正方体任意旋转,当容器里水面的高度最大时,水面截正方体各面形成的图形的周长为3√2,则正方体外接球的体积为( ). A .12π
B .√3
2π
C .√3π
D .3π
【解析】根据题意,设正方体的棱长为a ,则正方体的体对角线长为√3a ,故旋转到一条体对角线垂直于水面时,容器内水面的高度最大,最大高度为
√3a 2.此时水面截正方体的各面形成的图形为正六边形,其边长为√2
2
a ,周长为3√2a ,所以
3√2a=3√2,解得a=1.所以正方体外接球的半径R=√3
2,所以外接球的体积
V=4
3
πR 3=43
π
(√32)3
=√3
2π.
【答案】B
8.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知函数f (x )=x 3+mx 2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是( ). A.(-1,2)
B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【解析】∵f (x )=x 3+mx 2+(m+6)x+1,∴f'(x )=3x 2+2mx+(m+6), 由于函数y=f (x )既有极大值,又有极小值,则导函数y=f'(x )有两个零点,
∴Δ=4m 2-12(m+6)>0,即m 2-3m-18>0,解得m<-3或m>6.
因此,实数m 的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞),故选B. 【答案】B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:样本的数字特征,★★)甲、乙两商场对某一商品同时搞活动,它们的促销方案如下: (1)甲商场每一个的进价为6千元,销售价为8千元,每天售出的第7个之后的按9折出售; (2)乙商场每一个的进价为6千元,标识的销售价为8千元,实际每天售出的一律按95折出售.
已知甲、乙两商场统计了近10天这种商品的销量如图所示,设x (个)为每天商品的销量,y (千元)为每个商场每天销售这种商品的利润,
则下列结论正确的是( ).
A .y −
甲>y −
乙
B .y −甲<y −
乙
C .y −甲=y −
乙
D .D x 甲
>D x 乙
【解析】根据图示,乙的数据比较集中,所以D x 甲
>D x 乙
,故D 正确.
设x (个)为每天商品的销量,y (千元)为每个商场每天销售这种商品的利润,由题意知甲商场y={2x,x =4,5,6,7,14+1.2(x -7),x =8,9,10, 即y={
2x,x =4,5,6,7,
1.2x +5.6,x =8,9,10,
所以甲商场的平均利润
y −
甲=8×0.2+10×0.1+12×0+14×0.3+15.2×0.1+16.4×0.2+17.6×0.1=13.36(千元). 由题意知乙商场y=17.6x ,x=4,5,6,7,8,9,10,所以乙商场的平均利润
y −
乙=(5×0.1+6×0.2+7×0.4+8×0.2+9×0.1)×1.6=11.2(千元),故y −甲>y −
乙.故选AD . 【答案】AD
10.(考点:解三角形,★★)如图,在平面四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,BC=1,CD=5,AB=2,∠CBD=π
4,AC 平分∠BCD ,则下列结论正确的是( ).
A .sin ∠BDC=√2
10 B .cos ∠BCD=35 C .cos ∠ACB=-√55 D .AC=√5
【解析】根据正弦定理可得BC
sin∠BDC =
CD
sin∠CBD
,
即
1sin∠BDC
=√22
∴sin ∠BDC=√210
,∵BC<CD ,∴∠BDC<π4,∴cos ∠BDC=
7√2
10
,∴cos ∠BCD=-cos(∠BDC+∠CBD )=-(cos ∠BD C ·cos ∠CBD-sin ∠BDC ·sin ∠CBD )=-(7√2
10×
√22-√210×√2
2)=-35
. ∵AC 平分∠BCD ,可得∠BCD=2∠ACB=2∠ACD , ∴cos ∠BCD=2cos 2∠ACB-1=-3
5,
∵cos ∠ACB>0,∴cos ∠ACB=√5
5,sin ∠ACB=2√5
5
, ∵在△ABC 中,BC=1,AB=2,cos ∠ACB=√5
5,
∴由余弦定理AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC ·cos ∠ACB ,可得AC 2-2√5
5
AC-3=0,解得AC=√5或AC=-
3√5
5
(舍去). 故AD 正确. 【答案】AD
11.(考点:抛物线,★★★)已知两点A (4,-t ),B (4,t )(t>0),直线l :x=1与抛物线y 2=4x 的交点为M 和N ,以M ,N 为切点的抛物线切线相交于点Q ,若三角形QMN 外接圆C 上一点P 满足∠APB=90°,则下列说法正确的是( ). A .以M (1,2)为切点的切线方程为y=-x+1 B .点Q 的坐标为(-1,0) C .圆C 的方程为(x-1)2+y 2=4 D .t 的取值范围为[1,2)
【解析】以M (1,2)为切点的切线方程为y-2=k (x-1)(k ≠0),与抛物线y 2=4x 联立消去x ,可得y 2-4
k
y+8
k -4=0,则由Δ=0,得到
k=1,所以切线方程为y=x+1.
同理以N (1,-2)为切点的切线方程为y=-x+1,所以点Q 的坐标为(-1,0),且QM ⊥QN ,所以圆C 的方程为(x-1)2+y 2=4. 点P 应该在圆(x-4)2+y 2=t 2上,根据题意,两圆应该相交,所以|t-2|≤3≤t+2,解得1≤t ≤5.故BC 正确. 【答案】BC
12.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,正方形ABCD 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,将△ADE ,△CDF ,△BEF 分别沿DE ,DF ,EF 折起,使点A ,B ,C 重合于点P ,则下列结论正确的是( ).
A .PD ⊥EF
B .平面PDE ⊥平面PDF
C .二面角P-EF-
D 的余弦值为1
3
D .点P 在平面DEF 上的投影是△DEF 的外心
【解析】由已知可得PE ,PF ,PD 三条侧棱两两互相垂直,则PD ⊥平面PEF ,∴PD ⊥EF ,故A 正确;PE ⊥平面PDF ,而PE ⊂平面PDE ,∴平面PDE ⊥平面PDF ,故B 正确;取EF 的中点G ,连接PG ,DG (图略),可得PG ⊥EF ,DG ⊥EF ,得∠PGD 为二面角P-EF-D 的平面角,设正方形ABCD 的边长为2,则
PD=2,PG=1
2EF=√22,DG=3√22,∴cos ∠PGD=√2
2
3√22
=13
,即二面角P-EF-D 的余弦值为1
3,故C 正确;过点P 作PO ⊥DG (图略),则点O 为点P 在底面DEF 上的射影,∵PE<PD ,∴OE<OD ,则点O 不是△DEF 的外心,故D 错误.故选ABC . 【答案】ABC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★★)已知在△ABC 中,∠A=120°,AB=3,AC=2,P 为△ABC 的重心,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 【解析】设BC 的中点为D ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4
9AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=-49(
AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
)2=-1
9(AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =-1
9(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-79
. 【答案】-7
9
14.(考点:三角恒等变换,★★)已知sin (α2+π
6)>0,则
cos(
2π3-α)sin(α2+π6
)
的取值范围是 .
【解析】设sin (α2+π6)=t ,则cos (2π3-α)=cos 2
π3-
α2
=2cos 2(π3-α
2
)-1=2sin 2
α2
+
π6
-1=2t 2-1,
所以
cos(
2π
3-α)sin(α2+π6
)
=
2t 2-1t
=2t-1t ,根据题意,t ∈(0,1],此时y=2t-1
t 单调递增,所以y=2t-1
t ∈(-∞,1].
【答案】(-∞,1]
15.(考点:椭圆,★★★)椭圆x 2a
2+y 2
b 2=1(a>b>0)的一顶点为A (0,b ),右焦点F (
c ,0),离心率e=√22
.圆C 的半径为1,圆心C 在直
线l ∶mx-y-2m=0上运动,当圆心C 落在x 轴上时,焦点F 在圆上,且点O ,C 在F 的同侧.当直线l 与AF 的连线垂直时,圆C 上存在点M ,使得|MA|
|MO|=m ,则点C 的横坐标的取值范围是 . 【解析】直线l 可化为y=m (x-2),可知圆心C 在x 轴上时的坐标为(2,0).
∵此时焦点F 恰在圆上,且O ,C 在F 的同侧, ∴点F 的坐标为(3,0).∵离心率
e=√22,∴b=c=3,a 2
=18,∴椭圆方程为x 218+y 29=1.
又知点A (0,3),直线l 与AF 的连线垂直,∴可得m=1,
∴|MA|
|MO|=1,且直线l 为y=x-2,
∴点M 在线段OA 的垂直平分线y=3
2上,若存在符合题意的点,则M 是直线y=3
2与圆C 的公共点.
∵圆心C 在直线l 上,设圆心坐标为(t ,t-2),则|t -2-32|≤1,解得52≤t ≤92,∴此时圆心C 的横坐标的取值范围是[52,9
2].
【答案】[52,9
2]
16.(考点:函数零点与方程的根,★★★)已知函数f (x )={1-|1-x |,x∈(-∞,2),
3f(x -2),x∈[2,+∞),则f (5)= ;若方程f (x )=k (x-3)在区间
[0,8]内仅有3个实根,则实数k 的取值范围是 . 【解析】f (5)=3f (3)=9f (1)=9.
由函数解析式可知,当x ∈[2,4)时,x-2∈[0,2),则f (x-2)=1-|1-x+2|=1-|3-x|,所以f (x )=3f (x-2)=3(1-|3-x |).
类似地,当x ∈[4,6)时,f (x )=9(1-|5-x |),当x ∈[6,8)时,f (x )=27(1-|7-x |),作出函数f (x )在区间[0,8]内的大致图象,如图所示. 根据题意,函数f (x )和y=k (x-3)的图象在区间[0,8]内仅有3个交点,则k AB <k<k AC ,即9
2<k<27
4.
【答案】9 (92,27
4)。