第1章 有限元法的直接刚度法-1梁单元

j
i
qi a11 m i a 21 = q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 1 a11 a 24 0 a 21 = a34 0 a31 a 44 0 a 41
{δ }e
= fi
[
θi
fj
θ j ]T
（2-2） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有 个 根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个： 剪力 Q 、弯矩 M 。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q 、 所以，梁单元上每个节点的节点力有 个 m 来表示，规定： 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式（ 来表示，规定： q 向上为正， m 逆时针为正。写成列阵形式见式（23），表示 i 节点的节点力。 ），表示 节点的节点力。 ），
写成矩阵形式： 写成矩阵形式： qi
（2-9）
a11 m i a 21 = q j a31 m j a 41
a12 a 22 a32 a 42
a13 a 23 a33 a 43
a14 f i a 24 θ i a34 f j a 44 θ j
q
{p}
e
= qi
[
mi
qj
mj
]
T
（2-4） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个 梁单元上每个节点的节点载荷有 个：横向力 Z 和力偶 M 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。 一般规定， 向上为正， 逆时针为正。写成列阵形式见式 M Z ），表示 节点的节点载荷。 （2-5），表示 节点的节点载荷。 ）， ，
e
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
[K ]e的第一列元素，由叠加原理，可得： 的第一列元素，由叠加原理，可得： 求单元刚度矩阵
f i = f i ' + f i" = 1 θ i = θ i' + θ i" = 0
（2-13） ）
f i ' 、 θ i' 为图 （b）所示 qi 单独作用所产生的位 其中， 为图2.3（ ） 其中， 为图2.3（ ） 单独作用所产生的位移。 移， f i ′′ 、 θ ′′ 为图 （b）所示 mi 单独作用所产生的位移。 i
i
Zi {Qi } = = [Z i M i
同理： 同理：
Mi ]
T
（2-5） ）
{Q}e
= Zi
[
Mi
Zj
Mj
]
T
（2-6） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力； 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作 对称弯曲 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 非对称弯曲 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
知识点： 知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法 重点： 重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换 难点： 难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
(a) 单元的节点位移 单元刚度矩阵第1列元素的意义 图2.3 单元刚度矩阵第 列元素的意义
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
点固定， 点有如图2.3(a)所示的位移，即 所示的位移， 在 点固定，令 点有如图 所示的位移 θ 代入公式（ 有 f i = 1， i = 0 ， j = 0， j = 0。代入公式（2-10）中，得 ） f θ
f1 θ 1 f2 θ 2 {δ } = = [ f1 θ1 f3 θ 3 f4 θ 4
f2 θ2
f3 θ3
f4 θ4 ]
T
（2-7）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下， 根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以， 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为： 可以表示为：
（2-10）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
简写为: 简 ] {δ }
e
e
（2-11） ）
单元刚度矩阵。 单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系 的矩阵。 的矩阵。 e K 中各元素的物理意义： 中各元素的物理意义： 单元刚度矩阵
{p}e为单元节点力列阵， {δ }e为单元节点位移列阵，[K ]e称为 为单元节点力列阵， 为单元节点位移列阵， 其中
（2-17） ）
图2.3 (c) 单元的节点力
解方程（2-17）得 解方程（ ）
12 EI q j = −qi = − 3 = a31 l 6 EI m j = qi l − mi = 2 = a 41 l
（2-18） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
单元刚度矩阵[K ] 中第二列元素的物理意义是： 中第二列元素的物理意义是： θ = 0 ， = 1 ， f = 0 ，θ = 0 时，作用在单元节点上的节点
分量等于0 分量等于0时，对应的第1个节点力分量。 对应的第1个节点力分量。 a 21的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1 分量等于0 对应的第2个节点力分量。 分量等于0时，对应的第2个节点力分量。 a 31 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1 分量等于0 对应的第3个节点力分量。 分量等于0时，对应的第3个节点力分量。 a 41的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1 分量等于0 对应的第4个节点力分量。 分量等于0时，对应的第4个节点力分量。 的物理意义： 单元刚度矩阵 [K ] 中元素 a ml 的物理意义：单元第 l 个节点位 移分量等于1，其它节点位移分量等于0时，对应的第 m个节点力分 移分量等于 ，其它节点位移分量等于 时 量。
节点i的节点力 图2.3 (b) 节点 的节点力
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
可得到
教材有误
qi l 3 ' mi l 2 mi l qi l 2 ' " " fi = f θ ，i = − ，i = − ， θi = 3EI 2 EI 2 EI EI
（2-14） ）
qi l 3 mi l 2 − =1 3EI 2 EI qi l 2 mi l − + =0 2 EI EI 解方程（ 解方程（2-15）得： ）
e
fi
i
j
j
力，如图2.4所示。 如图2.4所示。 2.4所示 求单元刚度矩阵 [K ]e的第二列元素， 的第二列元素， 由叠加原理，可得： 由叠加原理，可得：
q i l 3 mi l 2 ' " − =0 fi = fi + fi = 3EI 2 EI 2 θ = θ ' + θ " = q i l + mi l = 1 i i i 2 EI EI
（2-15） ）
12 EI qi = l 3 = a11 6 EI mi = 2 = a 21 l
（2-16） ）
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
对梁单元分析受力，如图2.3（ 对梁单元分析受力，如图2.3（c）所示，列平衡方程 2.3 所示，
qi + q j = 0 mi + m j − qi l = 0
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 按照杆件结构划分单元的原则，对图 所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示 的单元如图 所示
(a) 单元的节点位移
(b) 单元的节点力
图2.1
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识， 任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点 的节点位移分量有2个 一般规定，向上为正， 的节点位移分量有 个：挠度 f 和转角θ ，一般规定，向上为正，逆 时针为正。写成列阵形式见式（ ），表示节点的节点位移。 ），表示节点的节点位移 时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。
qi {p i } = mi
（2-3） ）
所示梁单元共有4个节点力分量 q 图2.2(b)所示梁单元共有 个节点力分量： i 、 i、 j m，可用一个 所示梁单元共有 个节点力分量： m 、 j 列阵表示， 列阵表示，式（2-4）称为单元的节点力列阵。 ）称为单元的节点力列阵。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。 度法。 如图2.1(a) 2.1(a)所示 如图2.1(a)所示 直梁，已知E、I、 直梁，
fi {δ i } = = [ f i θ i ]T θ i
（2-1） ）
所示梁单元有、 图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有 个节点位移分 所示梁单元有 两个节点，共有4个节点位移分 fi 量：、θ i 、f 、 j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位 ） θ 可用一个列阵表示， j 移列阵。 移列阵。
(a) 直梁模型
Z、M， AB=BC=CD=l， =2I， IAC=2I，ICD=I。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
2.1.1划分单元 划分单元 • 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 两个节点之间的杆件构成一个单元， 以下原则选取： 以下原则选取： 1、杆件的交点一定要选为节点。 杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。 单元长度不要相差太多。
e
（2-12） ）
由式（ 中第一列元素的物理意义： 由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 [K ] 中第一列元素的物理意义： ）可知， 为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 所示的位移， 为了使梁单元产生如图 所示的位移 力。
2.1直梁的有限元分析 直梁的有限元分析
a11 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1
qi = a11 f i + a12θ i + a13 f j + a14θ j mi = a 21 f i + a 22θ i + a 23 f j + a 24θ j q j = a31 f i + a32θ i + a33 f j + a34θ j m = a f + a θ + a f + a θ 41 i 42 i 43 j 44 j j