高考高中数学导数极值

［－1，1］上的最小值为( A )
A.0 B.－2 C.－1 D.13/12
例2、求f
(
x) 1 x 2
si
n
x
在区间
[ 0 ，2 π ] 上的最 . 值
解：
函数f( x) 的最大是f(x)ax3bx22xc在x2时有极6，大 在x1时有极小a值 b, c,的 ，；求 并f(求 x在 ) 区 间
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A y f (x)
B
o 2 3x
设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
4、极大值与极小值之间无确定的大小关
系即一个函数的极大值未必大于极小值
x ，小值如下点图，f(而所x4示)x ，1 f
是极大值点，
(x1)
4
是极
二、导数的应用：求函数的极值
1、如果x0是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)>0，在x0右 侧附近f′(x)<0，那么f(x0)是函数 f(x)的一个极大值。
当x=2时，y有极小值且y极小值=-5
例3:下列函数中，x=0是极值点的函数
是( B )
A.y=－x3
B.y=x2
C.y=x2－x D.y=1/x
分析：做这题需要按求极值的三个步 骤，一个一个求出来吗？不需要，因为
它只要判断x=0是否是极值点，只要看 x=0点两侧的导数是否异号就可以了。
例4:函数 f(x)asinx1sin3x在
值的符号，求出极大值和极小值.
例 2.求 y1x34x1的极值
3
3
解：y’=x2-4
令y′=0，解得x1=－2，x2=2 当x变化时，y′，y的变化情况如下表
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f (x) +
0
－
0
+
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值- ↗
17/3
5
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=17/3
最值是相对函数定义域整体而言的.
a,b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
二.如何求函数的最值? (1)利用函数的单调性; 如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. (2)利用函数的图象;
如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. (3)利用函数的导数;
f (x)
极小值f (1) 2
因
此当,
x12时 ,f
(
x
)
有极1小 )值 9.f 24
(
3、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并
列成表格.检查f′(x)在方程根左右的
2、如果x0是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数 f(x)的一个极小值。
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解： f(x)2x1,令 f(x)0,解x 得 1.列表
x ( , 1 )
f (x)
2
1 2
0
( 12, ) 2
3
3
2
∴a=2.
例5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
解： y'(alnxbx2x)'a2bx1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
∴
a 2b 1 0
a 2
4b
1
0
a b
2 3 1 6
例6:下列说法正确的是( C )
A.函数在闭区间上的极大值一定比
极小值大
(A)a>0
(B)–1<a<1
(C)a>1
(D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1
是( B )
(A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (B)(C)部份单调增，部分单调减 (C)(D) 单调性不能确定
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就 说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记 作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统 称为极值.
高考高中数学导数极值
２、用导数法确定函数的单调性时的 步骤是：
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '(x) 0; 当x 3或x 2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
函 数 yxcosxsinx在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 (B )
A .(,3) B .(,2) C .(3,5) D .(2,3)
22
22
解: y (xc oxssinx) (xc osx)c oxs xc osxx(c oxs)c oxs xsinx xsinx0,xsinx0,
例1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间
[-1，4]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x -1 （-1,2） 2 （2，4） 4
f (x)
-
0
+
f (x) 8
-1
3
故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大 值为8，最小值为-1
练习
函数 y1x41x31x2 ，在 432
B.函数在闭区间上的最大值一定是
极大值
C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜ 6 ，
则f(x)无极值
D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值
一.最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值.
－3，3上的最 值和 大 最小值。
谢谢！
x 处具有极值，求3a的值 3
分析：f(x)在 x 处有极值，根据一点是极值点的
3
必要条件可知，f
'(
)
0 可求出a的值.
3
解： f'(x ) (a sin x 1 sin 3 x )' a c o sx c o s3 x
3 ∵ f '( ) 0 ，
3
∴ a c o s c o s (3 ) 0 1 a 1 0
当x(,2),x0,sinx0,xsinx0
练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( A )
(A)(-1,1) (B)(1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
2、函数y=a(x3-x)的减区(间3为, 3() 3 , 3 )
a的取值范围为( A ) 3 3 3 3