徐州市高一数学寒假作业-补习题精选(含答案) (12)

徐州市高一数学寒假作业-补习题精选12
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x |0＜x ＜3}，，则A ∩B =（ ）
A. [0，3）
B. （1，3）
C. （0，1]
D. （0，1） 2. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
3. 设ln 2
x -ln x -2=0的两根是α、β，则log αβ+log βα=（ ）
A. B.
C. D.
4. 设x ，y ，z 为大于1的正数，且log 2x =log 3y =log 5z ，则，，中最小的是（ ）
A. B. C. D. 三个数相等
5. 已知：f （x ）=ax 3
+bx +2，若f （-2）=3，则f （2）=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 如图所示，△A 'B 'C '是水平放置的△ABC 的直观图，则在
△ABC 的三边及线段AD 中，最长的线段是（ ） A. AB B. AD C. BC D. AC 7. 已知矩形ABCD ，AB =4，BC =3．将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面
角B -AC -D ，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ）
A. 9π
B. 16π
C. 25π
D. 与θ的大小有关
8. 已知原点到直线l 的距离为1，圆（x -2）2+（y -）2
=4与直线l 相切，则满足条件
的直线l 有多少条？（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
9. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为
BC 、CD 的中点，则异面直线AF 和D 1E 所成角的大小为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° 10. 已知函数
，且a +b ＞0，b +c ＞0，c +a ＞0，则f （a ）+f （b ）
+f （c ）的值（ ）
A. 恒为正
B. 恒为负
C. 恒为0
D. 无法确定
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长
棱的长度为（）
A. 4
B.
C.
D.
12.已知函数，且g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有
且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.ln（2x-1）＜0的解集为______．
14.若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为______．
15.已知函数（0≤x≤2）的图象与函数f（x）=log2x及函数g（x）=2x的图
象分别交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则的值为______．
16.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相
等，则实数b的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m-2）x+3y+2m=0，求：
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，求m的值．
18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA=AC，∠PAD=∠DAC．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）若△PAD为等边三角形，PA=2，平面PAD⊥平面ABCD，求四棱锥P-ABCD 的体积．
19.（1）利用函数单调性定义证明：函数，是减函数；
（2）已知当x∈[-2，-1]时，函数y=4x-m2x+5的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围．
20.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别为AC和A1D
上的点，且EF⊥AC，EF⊥A1D．
（1）求证：EF∥BD1；
（2）求证：BE、D1F、DA三条直线交于一点．
21.已知二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴、y轴共有三个交点，
（1）求经过这三个交点的圆C的标准方程；
（2）当直线y=2x+m与圆C相切时，求实数m的值；
（3）若直线y=2x+m与圆C交于M、N两点，且|MN|=2，求此时实数m的值．
22.已知函数f（x）=log2x，x∈（0，+∞）
（1）解不等式：f2（x）+3f（x）≥4；
（2）若函数F（x）=f2（x）+3f（x）-m在区间[1，2]上存在零点，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的反函数为G（x），且G（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，试比较g（-1）与h（-1）的大小．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵1-x≥0，∴x≤1，∴B={x|x≤1}，
∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{x|x≤1}={x|0＜x≤1}，
故选：C．
求解定义域简化集合B，然后直接利用交集运算得答案．
本题考查了交集及其运算，考查了定义域的求法，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴由已知可得2πr=πl，
∴l=2r，
故其母线与底面半径之比为：．
故选：D．
由已知可得2πr=πl，从而l=2r，由此能求出其母线与底面半径之比．
本题考查圆锥的母线与底面半径之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
3.【答案】D
【解析】解：ln2x-ln x-2=0的两根是α、β，
∴lnα和lnβ是方程t2-t-2=0的两个根，
则lnα+lnβ=1，lnα•lnβ=-2；
∴logαβ+logβα=+
=
=
=
=-．
故选：D．
根据方程的根以及根与系数的关系，求得lnα+lnβ和lnα•lnβ的值，再利用换底公式计算logαβ+logβα的值．
本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题，也考查了换底公式应用问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用．
令log2x=log3y=log5z=k（k＞0），则，，，，，
，能求出结果．
【解答】
解：令log2x=log3y=log5z=k（k＞0），则x=2k，y=3k，z=5k，
所以，，
则，，，
∴最小．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】解：∵f（-2）=3；
∴-8a-2b+2=3；
∴8a+2b=-1；
∴f（2）=8a+2b+2=-1+2=1．
故选：A．
根据f（-2）=3即可得出8a+2b=-1，从而可求出f（2）=8a+2b+2=1．
考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．
6.【答案】D
【解析】解：，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，
AD为三角形内部的一条线段，
AC的长度最长，即最长的线段是AC；
故选：D．
根据题意，分析可得：在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，进而可分析出△ABC的三边及中线AD中，最长的线段．
本题考查平面图形的直观图的作法，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，属于简单题．7.【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD，AB=4，BC=3．
将矩形ABCD沿对角线AC折成大小为θ的二面角B-AC-D
∴根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，
∴矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的半径R=AC==，
∴折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积：
S=4=25π，
故选：C．
根据矩形特性，对角线上的交点到四个顶点的距离相等，从而矩形ABCD对角线AC、BD的交点即为折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心，折叠后形成的四面体ABCD
的外接球的半径R=AC，由此能求出折叠后形成的四面体ABCD的外接球的表面积．
本题考查四面体外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，
是中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，本题解题的关键是得出满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线．
由题意，满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线，利用这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，即可得出结论．
【解答】
解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，
满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆（x-2）2+（y-）2=4的公切线，
因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA，
DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，DA长为单位长
度，
则A（1，0，0），F（0，，0），D1（0，0，1），E
（，1，0），
所以=（-1，，0），1=（-，-1，1），
设，1的夹角为θ，则cosθ==0，
即，
即异面直线AF和D1E所成角的大小为90°，
故选：D．
由空间角及运算：建立空间直角坐标系，列点，求坐标运算即可：A（1，0，0），F（0，
，0），D1（0，0，1），E（，1，0），所以=（-1，，0），1=（-，-1，1），
设，1的夹角为θ，则cosθ==0，即，即异面直线AF和D1E所成角的
大小为90°，得解
本题考查了空间角及运算，属中档题．
10.【答案】A
【解析】解：若x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=lg=-lg（1+x）=-f（x），
若x＜0，则-x＞0，f（-x）=lg（1-x），f（x）=lg=-lg（1-x），则f（-x）=-f（x），
f（0）=lg1=0，
综上f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数，
当x≥0时，f（x）=lg（x+1）为增函数，∴f（x）在R上单调递增的函数，
由a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0可得a＞-b，b＞-c，c＞-a，
所以f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-c），f（c）＞f（-a），
即f（a）+f（b）＞0，f（b）+f（c）＞0，f（c）+f（a）＞0，
等式两边相加得，所以2[f（a）+f（b）+f（c）]＞0，
所以f（a）+f（b）+f（c）＞0，
故选：A．
根据条件判断函数f（x）的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质，进行转化求解即可．
本题主要考查分段函数的应用，结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了常见几何体的结构特征与三视图，属于中档题．
几何体为四棱锥，作出直观图，计算棱长即可得出答案．
【解答】
解：由三视图可知几何体为四棱锥S-ABCD，如图所示：
由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，
顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，
由主视图可知SM=，
∴AM=，SA==2．
由对称性可知SB=SA=2．
∴几何体最长的棱长度为2．
故选：B．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，属于中档题．g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，即函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【解答】
解：由题意，函数，
g（x）=f（x）-mx+2m在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，
即函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，
分别作出函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象，如图所示：
由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点P（2，0）的直线，
当h（x）过（1，1）时，m=-1，此时两个函数有两个交点，
当h（x）=m（x-2）经过B（0，）时，有1个交点，
此时m=-，
所以要使函数f（x）和h（x）=m（x-2）的图象在（-1，1]内有两个交点，
则m∈[-1，），
故选：C．
13.【答案】（，1）
【解析】解：不等式ln（2x-1）＜0化为0＜2x-1＜1，
＜x＜1，
∴不等式的解集为．
故答案为：．
根据对数函数的定义与性质，求解即可．
本题考查了对数函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
14.【答案】x-2y=0或x+y-3=0
【解析】解：当直线过原点（0，0），可设方程为y=kx，代入（2，1）可得k=，故直线方程为y=x，即x-2y=0；
当直线不过原点，可设方程为，代入（2，1）可得a=3，
故直线方程为，即x+y-3=0，
故答案为：x-2y=0或x+y-3=0．
【分析】
当直线过原点（0，0），可设方程为y=kx；当直线不过原点，可设方程为，分别代入点的坐标可求．
本题考查直线的截距式方程和化为一般式方程的能力，体现了分类讨论的思想．15.【答案】4
【解析】解：∵f（x）=log2x及函数g（x）=2x的图
象关于y=x对称，
∴由图象知A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x
对称，
则有y1=x2，y2=x1，
则=x12+y12，
∵A在函数（0≤x≤2）的图象，
∴x12+y12=4，
故答案为：4．
结合同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于y=x对称，进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用互为反函数的图象关于y=x对称，利用数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】{b|b≥2或b≤0}．
【解析】解：由于f（x）=x2+bx+2，x∈R．则当x=-时，f（x）min=-，
又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，
则函数y必须要能够取到最小值，即-≤-，
得到b≤0或b≥2，
所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}．
故答案为：{b|b≥2或b≤0}．
首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小
值小于-
本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）m=0时，两条直线不垂直，舍去．
m≠0时，∵l1⊥l2，
∴-×=-1，解得m=．
综上可得：m=．
（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．
经过验证m=3时两条直线重合，舍去．
∴m=-1时，l1∥l2．
【解析】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（1）对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
（2）由m（m-2）-3=0，解得：m=3或-1．
经过验证m=3时两条直线重合，舍去．
18.【答案】解：（1）证明：作PE⊥AD于E，
连结CE，
∵PA=AC，∠PAD=∠DAC，AE是公共边，
∴△PAE≌△CAE，
∴∠PEA=∠CEA，
∵PE⊥AD，
∴CE⊥AD，
又PE⊂平面PEC，CE⊂平面PEC，且PE∩CE=E，
∴AD⊥平面PEC，
又PC⊂平面PEC，
∴AD⊥PC；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩平面ABCD=AD，
又PE⊥AD，PE⊂平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
又△PAD为等边三角形，PA=2，
∴，
易知△PAD≌△CAD，
故平行四边形ABCD为有一个角为60°的边长为2的菱形，
∴
故四棱锥P-ABCD的体积
．
【解析】（1）作PE⊥AD，连接EC，利用全等，易得线面垂直，进而得证；（2）利用（1）中的PE为高，结合题中条件可知底面为菱形，求解不难．此题考查了线面垂直，棱锥体积等，难度适中．
19.【答案】解：（1）证明：任取x1，x2∈．且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）
=（x1-x2）+
=；
∵0＜x1＜x2≤，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜5，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴函数在上为减函数；
注：不是利用定义证明不得分．…………………………6分
（2）解：令t=2x，因为x∈[-2，-1]，所以，
则y=t2-mt+5＞0在上恒成立，即在上恒成立．
由（1）知………………………………10分
故…………………………………………………………12分
【解析】（1）利用函数的单调性的定义，化简证明即可．
（2）令t=2x，函数化为y=t2-mt+5＞0在上恒成立，即在上恒
成立．求解函数的最小值，推出结果即可．
本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】证明：（1）连结AB1和B1C，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥B1C，
∵EF⊥A1D，∴EF⊥B1C，
又∵EF⊥AC，AC∩B1C=C，∴EF⊥平面AB1C， (3)
分
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，
BC1∩D1C1=C1，
∴B1C⊥平面BC1D1，又BD1⊂平面BC1D1
∴B1C⊥BD1，
同理可证，B1A⊥BD1，B1A∩B1C=B1，∴BD1⊥平面
AB1C，………………………………………………6分
故EF∥BD1．…………………………………………………………8分
（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），
由（1）EF∥BD1知，直线D1F和BE必相交，…………………………………………………………9分
不妨设BE∩D1F=G，
则G∈平面AA1D1D，G∈平面ABCD，
又∵平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，∴G∈AD，
故BE、D1F、DA三条直线交于一点．……………………………………12分
【解析】（1）连结AB1和B1C，A1D∥B1C，从而EF⊥B1C，EF⊥AC，进而EF⊥平面AB1C，B1C⊥平面BC1D1，B1C⊥BD1，同理可证B1A⊥BD1，从而BD1⊥平面AB1C，由此能证明EF∥BD1．
（2）由题意得EF小于BD1（或者D1F和BE不平行），由EF∥BD1知，直线D1F和BE 必相交，设BE∩D1F=G，推导出G∈AD，由此能证明BE、D1F、DA三条直线交于一点．本题考查线线平行的证明，考查三条直线交于一点的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.【答案】解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x2-4x+3=0，得x=1或x=3．
∴三个交点分别为（0，3），（1，0），（3，0），
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入得：，解得：
，
即圆C的方程为x2+y2-4x-4y+3=0，其标准方程为：（x-2）2+（y-2）2=5；
（2）由（1）知C（2，2），由题意，解得：m=3或m=-7；
（3）设点C到直线y=2x+m的距离为d，则，
则，解得：．
【解析】（1）求出三个交点的坐标，设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三个点坐标代入求解即可得圆C的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，即可求出实数m的值；
（3）点C到直线y=2x+m的距离为d，求解即可实数m的值．
本题考查了圆的标准方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
22.【答案】解：（1）由f2（x）+3f（x）≥4得，f（x）≥1或f（x）≤-4，
即log2x≥1或log2x≤-4，
因此，不等式的解集为……………………4分
（2）令F（x）=0，得m=f2（x）+3f（x），
令t=f（x）=log2x，因为x∈[1，2]，所以t∈[0，1]
即m=t2+3t，其中t∈[0，1]
故m∈[0，4]……………………………………………………8分
（3）G（x）=2x，即g（x）+h（x）=2x
因此，因为g（x）为奇函数，h（x）为偶函数
得，解之得：，…………10分
所以，，
因此，g（-1）＜h（-1）…………………………………………12分
另法：h（-1）-g（-1）=h（1）+g（1）=G（1）=2＞0，所以，g（-1）＜h（-1）
【解析】（1）求出函数值的不等式，然后利用对数函数的性质求解即可．
（2）利用换元法，结合二次函数的性质转化求解即可．
（3）化简函数的解析式利用函数的奇偶性，转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，不等式的解法函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力．。