新疆乌鲁木齐市名校2019-2020学年中考数学模拟试卷

新疆乌鲁木齐市名校2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题 1．有理数﹣1
2
的倒数是（ ） A ．
12
B ．﹣2
C ．2
D ．1
2．已知关于x 的不等式组314(1)
x x x m --⎧⎨⎩
无解，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≤3
B ．m ＞3
C ．m ＜3
D ．m≥3
3．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，△ABC 的三边所围成的区域面积记为S 1，黑色部分面积记为S 2，其余部分面积记为S 3，则（ ）
A.S 1＝S 2
B.S 1＝S 3
C.S 2＝S 3
D.S 1＝S 2+S 3
4．下列各因式分解正确的是（ ） A ．x 2
+2x ﹣1＝（x ﹣1）2
B ．﹣x 2
+（﹣2）2
＝（x ﹣2）（x+2） C ．x 3﹣4x ＝x （x+2）（x ﹣2）
D ．（x+1）2＝x 2+2x+1
5．在ABC ∆中，E 、F 是BC 边上的三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE 、AF 分BM 为三段的
长分别是x 、y 、z ，若这三段有x y z >>，则::x y z 等于( )
A ．3:2:1
B ．4:2:1
C ．5:2:1
D ．5:3:2 6．下列运算正确的是（ ）
A ．2a ﹣a ＝2
B ．2a+b ＝2ab
C ．﹣a 2
b+2a 2
b ＝a 2
b D ．3a 2
+2a 2
＝5a 4
7．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ） A ．十二边形
B ．十边形
C ．八边形
D ．六边形
8．下列四个数中，最大的数是（ ）
A ．-5
B C ．0
D ．π
9．已知点M （3，﹣2），N （3，﹣1），则线段MN 与x 轴（ ） A ．垂直
B ．平行
C ．相交
D ．不垂直
10．如果点（﹣2，6）在反比例函数k
y x
=的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（ ） A ．（3，4）
B ．（﹣3，﹣4）
C ．（6，2）
D ．（﹣3，4）
11．已知二次函数()2
y x h =-+（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，其对应对的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为（ ）
A.3-或6-
B.1-或6-
C.1-或3-
D.4-或6-
12．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B 的得票为（ ）
A ．300
B ．90
C ．75
D ．85
二、填空题
13．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2
+6x+1＝0的两实数根，则2x 1﹣x 1x 2+2x 2的值为_____． 14．在平面直角坐标系中，若点P(2x ＋6，5x)在第四象限，则x 的取值范围是_________；
15．某高中自主招生考试只考数学和物理，数学与物理成绩按7：3计入综合成绩．已知小明数学成绩为95分，综合成绩为92分，那么小明的物理成绩为_____分． 16．计算(3)(4)a a +-的结果等于_______. 17．不等式5﹣2x ＞﹣3的解集是_____． 18．要使有意义，则的取值范围是__________.
三、解答题
19．如图1，正方形ABCD 中，AB ＝5，点E 为BC 边上一动点，连接AE ，以AE 为边，在线段AE 右侧作正方形AEFG ，连接CF 、DF ．设BE x =．(当点E 与点B 重合时，x 的值为0)，12DF y CF y ==，．小明根据学习函数的经验，对函数12y y 、随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x 与y 1、y 2的几组对应值；
(2)在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点12)()x y ，，，并画出函数y 1，y 2的图象；
(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF 为等腰三角形时，BE 的长度约为 cm ．
20．原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求证：DE＝EF．”
证明的思路是：在AD上取一点M，使AM＝AE，连接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．
阅读了以上材料后，请你解答下列问题：
（1）如图2，如果将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”，“EF⊥DE”改为“∠DEF＝60°”，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如果成立请给出正面，如果不成立请给出反例．
（2）如果将原题中的条件“正方形”改为“正五边形”，请你模仿原题写出一个真命题，并在图3中画出相应的图形．
21．为了了解全校3000名学生对学校设置的足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球共五项球类活动的喜爱情况，在全校范围内随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝，n＝．并补全图中的条形统计图．
（2）请你估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
（3）在抽查的m名学生中，有A、B、C、D等10名学生喜欢羽毛球活动，学校打算从A、B、C、D这4名女生中，选取2名参加全市中学生女子羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法，求同时选中B、C的概率．
22．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝
①线段PB＝，PC＝；
②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P 满足
1
4
PA AB =，直接写出PC BC 的值： ．
23．（10(3)tan 45π︒--. （2）化简：2
(2)(1)x x x ---.
24．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB 是⊙C 的切线，切点为点D ，直线AC 交⊙C 于点E 、F ，且CF=
1
2
AC ， （1）求证：△ABF 是直角三角形．
（2）若AC ＝6，则直接回答BF 的长是多少．
25．某专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其进价和售价如下表所示。

已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店决定对甲种运动鞋每双优惠a(60<a<80)元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
【参考答案】*** 一、选择题
13．﹣13． 14．﹣3＜x ＜0 15．
16．212a a -- 17．x ＜4 18．
三、解答题
19．(1)见解析；(2)见解析；(3)2.59.
【解析】
【分析】
（1）画图、测量可得；
（2）依据表中的数据，描点、连线即可得；
（3）由题意得出△CDF是等腰三角形时BE的长度即为y1与y2交点的横坐标，据此可得答案．
【详解】
(1)补全表格如下：
(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为2.5906，
故答案为：2.59．
【点睛】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握函数思想的运用及函数图象的画法、数形结合思想的运用．
20．（1）原结论还成立，即DE＝EF．（2）正五边形ABCMN中，E在AB上，F在外角∠CBH的角平分线上，∠NEF＝108°，那么NE＝EF．证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，根据△MDE≌△BEF（ASA）来推出结论：DE=EF；
（2）在AD上取一点M，使AM=AE，连接ME，求出正五边形ABCMN的内角等于108°，在等腰三角形AME
中求得∠AEM=∠AME=180108
36.
2
-
=再根据三角形的外角得∠NME=108°+36°=144°，BG是外角∠
CBH的角平分线，所以很容易求得∠DME=∠EBF，因为∠FEB+∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠ADE=∠FEB，到这里，证明△MDE≌△BEF，再根据全等三角形的性质证明DE=EF．
【详解】
解：（1）原结论还成立，即DE＝EF．
在AD上取一点M，使AM＝AE，连接ME，
∵△ABD是等边三角形，
∵∠A＝60°，AM＝AE，∴∠AEM＝∠AME＝60°
∴∠DME＝60°+60°＝120°，
∵∠DBH＝120°，BG平分∠DBH，∴∠EBF＝60°+60°＝120°，
∴∠DME＝∠EBF
∵∠DEF＝60°，
∴∠DAE＝∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠FEB，
又∵DM＝EB，
∴△MDE≌△BEF，
∴DE＝EF．
（2）如图，正五边形ABCMN中，E在AB上，F在外角∠CBH的角平分线上，∠NEF＝108°，那么NE＝EF．
证明：在AD上取一点M，使AM＝AE，连接ME，
在正五边形ABCMN中，
∵
52
180108
5
A
-
∠=⨯=︒，AM＝AE，
180108
36.
2
AEM AME
∴
-
∠∠==
=，
∴∠NME＝108°+36°＝144°，
∵∠CBH＝180﹣108＝72°，BG平分∠CBH，∴∠EBF＝108°+36°＝144°，
∴∠DME＝∠EBF
∵∠NEF＝108°，
∴∠DAE＝∠DEF，
∴∠FEB+∠DEF＝∠DAE+∠ADE，
∴∠ADE＝∠FEB，
又∵DM＝EB，∴△MDE≌△BEF，
∴DE＝EF．
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，多边形内角与外角，正方形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
21．（1）100，5；（2）600；（3）1
6
.
【解析】
【分析】
（1）篮球30人占30%，可得总人数，由此可以计算出n，求出足球人数=100-30-20-10-5=35人，即可解决问题；
（2）用样本估计总体的思想即可解决问题．
（3）画出树状图即可解决问题． 【详解】
（1）由题意m ＝30÷30%＝100，排球占
(13)(57)[(25)23](21)n S n n n n =-++-++
+--+-+--=-＝5%，
∴n ＝5，
足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人， 条形图如图所示，
故答案为100，5．
（2）若全校共有3000名学生，该校约有3000×20
100
＝600名学生喜爱打乒乓球． （3）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴同时选中B 、C 的概率为16
． 【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
22．（1）①，PA 2
+PB 2
＝PQ 2
，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3）4
【解析】 【分析】
（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB ，根据题意求出PB ，作CH ⊥AB 于H ，根据直角三角形的性质求出CH ，根据勾股定理求出PC ；
②证明△ACP ≌△BCQ ，根据全等三角形的性质得到PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°，得∠PBQ ＝90°，根据勾股定理计算；
（2）连接BQ ，仿照（1）②的方法证明；
（3）分点P 在线段AB 上、点P 在线段AB 上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）①∵△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝6， ∴AB
＝
，
∴PB ＝AB ﹣PA ＝
﹣
＝
， 作CH ⊥AB 于H ， ∵CA ＝CB ，CH ⊥AB ， ∴AH ＝HB ＝
12AB ＝
，CH ＝1
2
AB ＝
∴PH ＝AH ﹣AP
， ∴PC
故答案为：
；
2 ②PA 2
+PB 2
＝PQ 2
，
理由如下：如图①，连接QB ， ∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°， ∴∠ACP ＝∠BCQ ， 在△ACP 和△BCQ 中，
CA CB
ACP BCQ CP CQ =⎧⎪
∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ACP ≌△BCQ ，
∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°， ∴∠PBQ ＝90°， ∴BQ 2+PB 2＝PQ 2， ∴PA 2+PB 2＝PQ 2， 故答案为：PA 2+PB 2＝PQ 2； （2）如图②，连接BQ ， ∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°， ∴∠ACP ＝∠BCQ ， 在△ACP 和△BCQ 中，
CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪
∠=⎨⎪=⎩
， ∴△ACP ≌△BCQ ，
∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°， ∴∠PBQ ＝90°， ∴BQ 2+PB 2＝PQ 2， ∴PA 2+PB 2＝PQ 2；
（3）当点P 在线段AB 上时，由（1
）①得，PC AC ==
； 当点P 在线段BA 的延长线上时， 设BC ＝2x ，则AB ＝
，
∵△ABC 是等腰直角三角形，CH ⊥AB ，
∴AH ＝CH ＝1
2
AB
x ， ∵
1
4
PA AB =， ∴AB ＝4PA ， ∴PA ＝
14AB
＝2
x ∴PH ＝PA+AH
＝
x ， 由勾股定理得，PC
x ，
∴22PC
BC
x =
=
．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23．（1）5；（2）-3x+4 【解析】 【分析】
(1)第一项计算算术平方根，第二项计算零指数幂，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.
（2）利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算. 【详解】
（1）解：原式5115=+-=
（2）解：原式224434x x x x x =-+-+=-+ 【点睛】
本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值. 24．(1)见解析
【解析】 【分析】
（1）连接DC ，根据AB 是⊙C 的切线，所以CD ⊥AB ，根据CD=
1
2
AC ，得出∠A=30°，因为AC=BC ，从而求得∠ACB 的度数，证明△BCD ≌△BCF ，可得∠BFC=∠BDC=90°，结论得证；
（2）由（1）知BF=AD ，然后在Rt △ACD 中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AD ，从而得到
BF的长．
【详解】
（1）证明：如图，连接CD，则CF=CD，
∵AB是⊙C的切线．
∴CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，
∵CF
1
AC 2
=，
∴CD=CF
1
AC 2
=，
∴∠A=30°
∵AC=BC∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠ACB=120°，
∠BCD=∠BCF=60°，
又∵BC=BC，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC=∠BDC=90°，
∴△ABF是直角三角形．
（2）解：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=BF，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，
∴CD
1
2
=AC=3，
∴AD=
∴
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
25．（1）m＝150；（2）该专卖店有9种进货方案；（3）此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双．
【解析】
【分析】
（1）根据“用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同”列出方程并解答；
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200−x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【详解】
（1）依题意得：
3000240030
m m =- ， 解得：m ＝150， 经检验：m ＝150是原方程的根，
∴m ＝150；
（2）设购进甲种运动鞋x 双，则乙种运动鞋（200﹣x ）双，根据题意得
(300150)(200120)(200)21700(300150)(200120)(200)22300x x x x -+--⎧⎨-+--⎩
……， 解得：8137
≤x≤90， ∵x 为正整数，
∴该专卖店有9种进货方案；
（3）设总利润为W 元，则
W ＝（300﹣150﹣a ）x+（200﹣120）（200﹣x ）＝（70﹣a ）x+16000，
①当60＜a ＜70时，70﹣a ＞0，W 随x 的增大而增大，当x ＝90时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋90双，购进乙种运动鞋110双；
②当a ＝70时，70﹣a ＝0，W ＝16000，（2）中所有方案获利都一样；
③当70＜a ＜80时，70﹣a ＜0，W 随x 的增大而减小，当x ＝82时，W 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系；解题时需要根据一次项系数的情况分情况讨论．。