近年届高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时训练25平面向量的概念及线性运算文(2021年整理)

2019届高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时跟踪训练25 平面向量的概念及线性运算文
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课时跟踪训练（二十五） 平面向量的概念及线性运算
[基础巩固］
一、选择题
1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )
A.AB ，
→
＝错误!
B.错误!＋错误!＝错误!
C.AB →－AD ，
→＝错误!
D 。

AD ，
→
＋错误!＝0
［解析] A 显然正确,由平行四边形法则知B 正确．C 中错误!－错误!＝
错误!,所以错误．D 中错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝0。

[答案] C
2．若a ，b 是向量,则“a ＝b ”是“｜a ｜＝｜b |”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
［解析］ 两个向量相等指的是大小相等方向相同,所以a ＝b 是|a |＝｜
b |的充分不必要条件,故选A 。

［答案] A
3．(2017·吉林大学附属中学第五次摸底）在梯形ABCD 中，错误!＝3错误!，则错误!＝（ )
A ．－错误!错误!＋错误!错误!
B ．－错误!错误!＋错误!错误!
C.错误!错误!－错误!D．－错误!错误!＋错误!
[解析]在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形,则错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!。

故选D.
[答案］D
4．（2017·贵州省高招适应性考试)已知向量e1与e2不共线，且向量错误!＝e1＋m e2，错误!＝n e1＋e2，若A，B,C三点共线,则实数m，n满足的条件是（) A．mn＝1 B．mn＝－1
C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1
[解析]解法一：因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ,使得错误!＝λ错误!，所以有e1＋m e2＝nλe1＋λe2，由此可得错误!所以mn＝1。

解法二：因为A，B,C三点共线，所以必有错误!＝错误!，所以mn＝1。

[答案］A
5．（2017·河北三市联考)已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e
－e2，且mn≠0,若a∥b，则错误!等于（）
1
A．－错误!B。

错误!
C．－2 D．2
［解析］∵a∥b,∴a＝λb,即m e1＋2e2＝λ(n e1－e2)，则错误!故错误!＝－2。

[答案]C
6．（2017·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P 为该平面上一点,且2错误!＝2错误!＋错误!，则（)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
[解析］ ∵2错误!＝2错误!＋错误!,∴2错误!－2错误!＝错误!,即2错误!＝
错误!，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.
［答案］ B
7．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上,且错误!＝2错误!，点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合)，若错误!＝x 错误!＋（1－x )错误!，则x 的取值范围是（ ）
A 。

错误!
B 。

错误!
C 。

错误!
D.错误!
[解析］ 由错误!＝x 错误!＋（1－x ）错误!，得错误!－错误!＝x （错误!－
错误!），∴错误!＝x 错误!＝－2x 错误!，又点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合),
∴0〈－2x 〈1，∴－错误!<x <0.
［答案］ C
8。

如图，在△ABC 中，∠A ＝60°,∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4,且错误!＝错误!错误!＋λ错误!（λ∈R )，则AD 的长为（ ）
A ．2 3
B ．3错误!
C ．4错误!
D ．5错误!
［解析] 因为B ，D ，C 三点共线,所以有错误!＋λ＝1，解得λ＝错误!，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ,N ，则错误!＝错误!错误!,AM →
＝错误!错误!，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3错误!。

［答案］ B 二、填空题
9．（2018·河北邯郸模拟)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
[解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ ＝0,1－2μ＝0,解得λ＝μ＝错误!.
[答案] 错误!
10．(2018·四川成都期中）在△ABC 中,错误!＝a ，错误!＝b ,M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ,则错误!＝________(用a ,b 表示）．
［解析］ 如图所示，AP ，
→
＝错误!＋错误!
＝－CA ，
→
＋2
3
错误! ＝－CA →
＋错误!×错误!（错误!＋错误!） ＝－错误!＋错误!错误!＋错误!错误! ＝－错误!错误!＋错误!错误! ＝－错误!a ＋错误!b . [答案] －错误!a ＋错误!b
［能力提升]
11．（2017·河北衡水中学三调考)在△ABC 中，错误!＝错误!错误!,若P 是直线BN 上的一点,且满足错误!＝m 错误!＋错误!错误!，则实数m 的值为（ ）
A ．－4
B ．－1
C ．1
D ．4
［解析］ 根据题意设错误!＝n 错误!(n ∈R ），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋n 错误!＝错误!＋n （错误!－错误!)＝错误!＋n 错误!＝（1－n )错误!＋错误!错误!，又错误!＝m 错误!＋错误!错误!，∴错误!解得错误!故选B.
[答案］ B
12．（2017·河南中原名校联考）如图所示,矩形ABCD 的对角线相交于点
O ，E 为AO 的中点,若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），则λ2＋μ
2
＝( )
A 。

错误! B.错误! C ．1
D 。

错误!
［解析] 错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!DA →
＋错误!(错误!＋错误!）＝错误!错误!－错误!错误!,所以λ＝错误!，μ＝－错误!,故λ2
＋μ2
＝错误!，故选A 。

［答案] A
13．（2017·河北石家庄一模）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若错误!＝λ错误!＋μ错误!(λ,μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是（ ）
A ．（0,1）
B ．(1，＋∞)
C ．(1,错误!]
D ．(－1，0）
［解析] 设错误!＝m 错误!，则m 〉1,因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以
m 错误!＝λ错误!＋μ错误!,即错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，又知A ,B ，D 三点
共线,所以错误!＋错误!＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ〉1,故选B.
［答案]B
14．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足错误!＝错误!错误!，则点P一定为三角形ABC的（)
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心）
C．重心
D．AB边的中点
［解析]设AB的中点为M，则错误!错误!＋错误!错误!＝错误!，∴错误!＝错误!(错误!＋2错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!，即3错误!＝错误!＋2错误!，也就是错误!＝2错误!，∴P,M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．
［答案］B
15．已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!，则△ABP的面积为________．
[解析]由错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!,得错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!－3错误!，∴4错误!＋2(错误!－错误!)＝0,∴2错误!＝错误!，由此可得PA 与CB平行且｜CB｜＝2｜PA|，故△ABP的面积为△ABC的面积的一半．又△ABC的面积为12，故△ABP的面积为6。

［答案]6
16．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
（1）求错误!＋错误!＋错误!；
(2）若PQ过△ABO的重心G，且错误!＝a，错误!＝b,错误!＝
m a，错误!＝n b，求证：错误!＋错误!＝3。

[解](1）∵错误!＋错误!＝2错误!,又2错误!＝－错误!,
∴错误!＋错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＝0.
（2）证明:显然错误!＝错误!（a＋b）．
因为G是△ABO的重心，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（a＋b)．
由P，G，Q三点共线，得错误!∥错误!，
所以，有且只有一个实数λ,使错误!＝λ错误!.
而错误!＝错误!－错误!＝错误!(a＋b）－m a
＝错误!a＋错误!b,
错误!＝错误!－错误!＝n b－错误!（a＋b)＝－错误!a＋错误!b,所以错误!a＋错误!b＝λ错误!。

又因为a，b不共线,
所以错误!消去λ，
整理得3mn＝m＋n，故错误!＋错误!＝3.。