山东省蒙阴县第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

山东省蒙阴县第一中学2017-2018学年高一上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合{}1,2A =，{}2,4B =，则A B = （ ） A ．{}2 B ．{}1,2
C ．{}1,2,4
D ．{}1,4
【答案】C
考点：并集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.函数lg(1)
()1
x f x x +=
-的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞
C ．(1,1)(1,)
-+∞
D ．[1,1)(1,)-+∞
【答案】C 【解析】
试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10
10
x x +>⎧⎨-≠⎩，解得(1,1)(1,)x ∈-+∞ .
考点：定义域.
3.已知幂函数()f x 图象过点，则(9)f =（ ） A ．3
B ．9
C ．3-
D ．1
【答案】A 【解析】
试题分析：设()f x x α
=，代入，求得1
2
α=，所以()1
2993f ==.
考点：幂函数.
4.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，2
1
()f x x x
=+
，则(1)f -=（ ） A ．2- B ．0 C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
试题分析：()()()11112f f -=-=-+=-. 考点：分段函数,函数的奇偶性.
5.已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +=（ ） A ．0 B ．
12
C ．
13
D ．1-
【答案】C
考点：函数的奇偶性.
6.三个数2
0.6a =，2log 0.6b =，0.6
2c =之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<
【答案】B 【解析】
试题分析：2log 10b <=，0
01,21a c <<>=，所以b a c <<. 考点：比较大小．
7.函数x
y a =与log a y x =-（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象形状只能是（ ）
【答案】A 【解析】
试题分析：,log x a y a y x ==-单调性相反，所以首先排除C ，D ，对数真数大于零，排除B ，故选A.
考点：函数图象与性质.
8.函数3()24x f x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3
【答案】C
考点：零点与二分法.
9.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且为增函数，若(2)(32)0f a f a -+-<，则a 的取值范围 是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(1,)-+∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(,1)-∞
【答案】A 【解析】
试题分析：由于函数为奇函数，故()(2)(32)23f a f a f a -<--=-，因为函数为增函数，所以223,1a a a -<->. 考点：函数的奇偶性与单调性. 10.函数1()lg
1x
f x x
+=-的图象关于（ ）对称
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．原点
D ．y x =
【答案】C 【解析】
试题分析：由于()()1lg 1x
f x f x x
--==-+，函数为奇函数，所以关于原点对称. 考点：函数的奇偶性. 11.函数(3),1
()log ,1a
a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是R 上的增函数，则a 的取值范围是
（ ） A ．()0,1 B ．()1,3 C ．()2,3
D ．3
[,3)2
【答案】
D
考点：分段函数图象与性质.
【思路点晴】本题考查分段函数图象与性质.由于分段函数在R 上单调递增，所以首先在每一段上是增函数，一次函数斜率要大于零，对数函数底数要大于1，即30
1
a a ->⎧⎨
>⎩；还需要满足
的是在区间的分段点的函数值，左边函数值要不大于右边函数值，即3log 1a a a --≤，由此解得a 的取值范围.区间端点函数值如果不连续递增，是不能说在R 上递增的.
12.设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(2,0)(0,2)- C
．
(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(,2)(0,2)-∞- 【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意，画出函数图象如下图所示，由图可知x 与()f x 异号的区间是
(2,0)(0,2)- .
考点：函数的奇偶性与单调性.
【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法.由于函数是奇函数，所以图象关于原点对称，结合()20f =和函数在()0,+∞上单调递增，可以画出函数在()0,+∞上的函数图象，根据对称性画出(),0-∞上的图象.如果函数是偶函数，则图象关于y 轴对称，()f
x 的图象也关于y 轴对称.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.函数2log (2)3a y x =-+（0a >，且1a ≠）恒过定点的坐标为 ． 【答案】()3,3 【解析】
试题分析：真数为1时，过定点，即21x -=时，3y =，故定点为()3,3. 考点：函数恒过定点.
14.已知函数2,1,()(1),1,x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩
则2(log 3)f 的值是 ．
【答案】
3
2
考点：分段函数求值.
15.若函数()|21|x f x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】()0,1 【解析】
试题分析：令()0f x =，所以21x m =-有两个交点，画出21x
-的图象如下图所示，由图
可知()0,1m ∈.
考点：函数图象与性质.
【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令
()0f x =，变为两个函数,21x y m y ==-，先画出21x -的图象，然后将x 轴下方的图象
向上翻折，得到21x
y =-的图象，由图可知，()0,1m ∈有两个交点.
16.给出下列四种说法：
（1）函数x y a =（0a >，1a ≠）与函数2
y x =的定义域相同；
（2）函数2x
y =与函数3log y x =互为反函数；
（3）函数23log (23)y x x =--的单调增区间是[1,)+∞； （4）函数||
3x y =的值域为[1,)+∞． 其中所有正确的序号是 ． 【答案】（1）（4）
考点：函数性质.
【思路点晴】本题考查函数的奇偶性，单调性和对称性.还考查了定义域，反函数等知识.对于（1）指数函数和幂函数2x 的定义域都为R .对于（2）指数函数x
y a =和同底的对数函数log a y x =互为反函数.对于
（3）求解对数有关的复合函数单调性的时候，要首先求出定义域，即要解2
230x x -->求出定义域，进一步才能由对称轴求单调区间.（4）是考查偶函数图象的画法.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.计算以下式子的值：
（1）21
3
21(2016)2()4
--+；
（2）4log 235log 81lg20lg54log 1++++． 【答案】（1）5；（2）8.
考点：指数与对数运算.
18.已知集合{}|121A x m x m =-≤≤+，1|3819x B x ⎧
⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
． （1）当2m =时，求A B ，A B ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）{}|14A B x x =-≤≤ ，{}|25A B x x =-≤≤ ；（2）3m ≥. 【解析】
试题分析：（1）2m =，{}|15A x x =-≤≤，求解{}|24B x x =-≤≤，由此求得A B ，
A B ；（2）由于B A ⊆，列不等式12,
214,
m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥.
考点：集合交集,并集.
19.已知函数2
()2(1)2f x x a x =+-+，[]2,4x ∈-．
（1）当2a =时，求()f x 的最大值与最小值；
（2）在区间[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）min ()(1)1f x f =-=，max ()(4)26f x f ==；（2）{}
|33a a a ≤-≥或. 【解析】
试题分析：（1）当2a =时，2()22f x x x =++，对称轴1x =-，所以最小值是()1f -，最大值是()4f ；（2）要是函数在区间[]2,4-上单调，则对称轴在这个区间的左边或右边，即
14a -≥或12a -≤-，解得{}|33a a a ≤-≥或.
试题解析：
当2a =时，2()22f x x x =++，
函数()f x 在[]2,1--上为减函数，在[]1,4-上为增函数， ∴min ()(1)1f x f =-=，max ()(4)26f x f ==． ∵2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴方程是1x a =-， 又()f x 在[]2,4-上是单调函数， ∴14a -≥或12a -≤-， ∴3a ≤-或3a ≥，
∴a 的取值范围为{}
|33a a a ≤-≥或． 考点：函数值域,函数单调性.
20.某公司生产一种产品每年需投入固定成本为3万元，此外每生产1百件这种产品还需要增加投
入1万元（总成本=固定成本+生产成本）．已知销售收入满足函数：
20.25,012,
()26,12,
x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨
>⎩其 中x （百件）为年产量，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉）． （1）请把年利润y 表示为当年生产量x 的函数；（利润=销售收入-总成本） （2）当年产量为多少百件时，公司所获利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）20.243,012,
23,12.
x x x y x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩；（2）10x =百件时，max 17y =万元.
试题解析：
（1）年利润为：20.243,012,
23,12.
x x x y x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩
（2）当012x ≤≤时，20.243y x x =-+-； 当10x =时，max 17y =（万元）；
当12x >时，23y x =-为减函数，11y <， ∴10x =百件时，max 17y =（万元）．
答：当年产量为10百件时，公司所获利润最大，最大利润为17万元． 考点：函数实际应用问题.
21.已知函数()log (2)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，0a >且1a ≠，设函数
()()()h x f x g x =+．
（1）当2a =时，求()h x 的定义域和值域； （2）当()()f x g x >时，求x 的取值范围．
【答案】（1）定义域为{}|22x x -<<，值域为(,2]-∞；（2）当1a >时，x 的取值范围为
{}|02x x <<，当01a <<时，x 的取值范围为{}|20x x -<<.
试题解析：
（1）由20,20,
x x +>⎧⎨->⎩得22x -<<，
∴()h x 的定义域为{}|22x x -<<，
∴22()log (4)h x x =-，
令24u x =-，则04u <≤，
∴2log 2u ≤，即22log (4)2x -≤，
∴()h x 的值域为(,2]-∞．
（2）∵()()f x g x >，∴log (2)log (2)a a x x +>-，
当1a >时，22,20,
x x x +>-⎧⎨->⎩∴02x <<；
当01a <<时，22,20,x x x +<-⎧⎨
+>⎩∴20x -<<， 综上所述，当1a >时，x 的取值范围为{}|02x x <<；当01a <<时，x 的取值范围为{}|20x x -<<．
考点：函数定义域值域与不等式.
【方法点晴】本题主要考查对数函数的定义域，考查函数的单调性.定义域的主要类型有：分母不为零，对数真数大于零，被开方数为非负数等.要求函数的值域，先求出定义域，然后在定义域内利用单调性求解值域.对数函数比较大小时，要注意底数的影响，当底数1>时，函
数为增函数，当底数属于()0,1时，函数为减函数.
22.已知函数21()21
x x f x -=+． （1）判断()f x 的奇偶性；
（2）用定义证明()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数；
（3）若对任意的[]1,5x ∈，()f x m >恒成立，求m 的取值范围．
【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）13
m <.
（2）212()12121
x x x f x -==-++， 任取1x ，2x 且12x x <，则21121212222(22)()()2121(21)(21)
x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<，
又1210x +>，2210x +>，
∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，
∴()f x 为R 上的增函数．
（3）由（2）知：()f x 为[]1,5上的增函数，
∴min 1()3f x =，∴13
m <， ∴m 的取值范围为1|3m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．
考点：函数的奇偶性与单调性.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性的证明，考查函数单调性的证明，考查恒成立问题的处理方法.第一问证明奇偶性，也就是要证明()()f x f x -=还是()()f x f x -=-，如果两种都不是，那就是非奇非偶函数.要记得先求定义域，奇函数和偶函数定义域都关于原点对称.第二问用定义法来证明单调性，作差之后要写成几个因式的积或商的形式.。