高二数学上学期期末考试试题普通班理 试题(共14页)

育才(yùcái)2021-2021学年度上学期期末考试
高二数学〔普理〕
时间是：120分钟分值：150分
一、选择题(一共12小题,每一小题5分,一共60分)
1.以下选项里面，说法正确的选项是()
A．命题“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题是真命题
B．设a，b是向量，命题“假设a＝－b，那么|a|＝|b|〞的否命题是真命题
C．命题“p∨q〞为真命题，那么命题p和q均为真命题
D．命题“∃x∈R，x2－x＞0”的否认是“∀x∈R，x2－x≤0”
2.“对x∈R，关于x的不等式f(x)＞0有解〞等价于()
A．∃x0∈R，使得f(x0)＞0成立 B．∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立
C．∀x∈R，f(x)＞0成立 D．∀x∈R，f(x)≤0成立
C以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，那么C的方程是
() A．－y2＝1 B．－＋y2＝1 C．－＝1 D．－＝1
mx2－my2＝n，假设mn<0，那么该方程所表示的曲线是()
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
y2＝6x焦点的弦长为12，那么此弦所在直线的倾斜角是()
A．或者 B．或者 C．或者 D．
＋＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为()
A． B． C． D．
p：∃x∈，cos 2x＋cos x－m＝0的否认为假命题(mìng tí)，那么实数m 的取值范围是()
A． B． C． [－1,2] D．
p：∃x∈R，x2＋1＜2x；命题q：假设mx2－mx－1＜0恒成立，那么－4＜
m≤0，那么()
A．“p〞是假命题 B．“q〞是真命题 C．“p∧q〞为真命题
D．“p∨q〞为真命题
F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积为()
A． B． C． D．
x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，那么·的最小值为() A． 1 B． 0 C．－2 D．－
＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，假如线段PF1的中点在y轴上，那么|PF
|是|PF2|的() A． 7倍 B． 5倍 C． 4倍 D． 3
1
倍
C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.假设|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，那么C的离心率为()
A． B． C． D．
二、填空题(一共4小题(xiǎo tí),每一小题5分,一共20分) p：x＞2或者x＜；q：x＞2或者x＜－1，那么p是q的________条件．
C：＋y2＝1的弦AB过点(－1,0)，那么弦AB中点的轨迹方程是________．
15.命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，那么a的取值范围是
________．
x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x
轴上的正射影分别为D，C.假设梯形ABCD的面积为12，那么p＝________.
三、解答题(一共6小题,一共70分) p：函数f(x)＝x2－2mx＋4在[2，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的不等式
mx2＋4(m－2)x＋4＞0的解集为R.假设p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m
的取值范围．
18.求合适以下条件的双曲线的HY方程．
(1)焦点F1(0，－6)，F2(0,6)，双曲线上的一点P到F1，F2的间隔的差的绝对
值等于8； (2)与椭圆＋＝1一共焦点且过点(3，)．
19.如图，直线(zhíxiàn)l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)务实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的方程．
F
，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C 1
相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的间隔为2. (1)求椭圆C的焦距；(2)假如＝2，求椭圆C的方程．
C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(O为原点)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)假设直线l1：y＝kx＋与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且
·>2，求k的取值范围．
E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点(duān diǎn)是直角三角形的3个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公一共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2＝λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值．
答案(dá àn)解析
【解析】∃x∈R，x2－x＞0的否认是∀x∈R，x2－x≤0.
【解析】由命题的转化关系易知A正确．
【解析】∵F(0，±1)，长轴端点(0，±2)，∴双曲线中a＝1，c＝2，∴b2＝3，
又焦点在y轴上，应选B.
【解析】方程mx2－my2＝n可化为－mn<0时，<0，故该方程表示焦点在y轴上的双曲线．
【解析】由焦点弦长公式|AB|＝，得＝12，∴sinθ＝.∴θ＝
或者或者或者.应选B.
【解析】椭圆离心率e＝，即＝⇒＝，∴＝，那么1＋＝. ∴双曲线的离心率为e′＝.应选B.
【解析(jiě xī)】依题意，cos 2x＋cos x－m＝0在x∈上恒成立，即cos 2x＋cos x＝m.令f(x)＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2－，由于x∈，所以cos x∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．
【解析】对于命题p，x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，即对任意的x∈R，都有x2＋
1≥2x，因此命题p是假命题．
对于命题q，假设mx2－mx－1＜0恒成立，
那么当m＝0时，mx2－mx－1＜0恒成立；
当m≠0时，由mx2－mx－1＜0恒成立得即－4＜m＜0.
因此假设mx2－mx－1＜0恒成立，那么－4＜m≤0，故命题q是真命题．
因此，“p〞是真命题，“q〞是假命题，“p∧q〞是假命题，“p∨q〞是真命题，应选D.
【解析】由抛物线方程得抛物线焦点坐标为F，易得AB的方程为y＝(x－)．
方法一由得4y2－12y－9＝0，yA＋yB＝3，yAyB＝－.
故|
yA －
yB
|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
方法二由得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.
根据(gēnjù)抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋AB的方程可化为4x－4y －3＝0，
所以原点到直线AB的间隔为h＝＝.因此S△OAB＝|AB|·h＝.
【解析】设点P(x0，y0)，那么－＝1，由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，那么·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝－x0－2＋.由双曲线方程得
＝3(－1)，故·＝4－x0－5(x0≥1)，可得当x0＝1时，·
有最小值－2，应选C.
【解析】方法一由题意，知F1(－3,0)，F2(3,0)，设P(x，y)，由于线段PF1
的中点在y轴上，所以点P的横坐标x满足＝0，解得x＝3，即PF2⊥x 轴，△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a
＝4，由勾股定理得|PF1|2－|PF2|2＝4c2＝36，两式联立可得|PF1|－|PF2|＝
3，和|PF1|＋|PF2|＝4，联立得4(|PF1|－|PF2|)＝3(|PF1|＋|PF2|)，即
|PF1|＝7|PF2|.
方法二由方法一，知P(3，y)，代入＋＝1中，得y2＝，故|PF2|＝. 又|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故|PF1|＝4－＝，∴|PF1|＝7|PF2|.
【解析(jiě xī)】在△ABF中，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|·cos∠ABF
＝100＋64－2×10×8×＝36.∴|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，∴△ABF为直角三角形
且∠AFB＝90°.由椭圆的中心对称性可知O为AB的中点，∴c＝|FO|＝|AB|＝5.
由椭圆的对称性可知点A到右焦点F2的间隔 |AF2|＝|BF|＝8.
由椭圆的定义可知2a＝|AF|＋|AF2|＝14，∴a＝7，∴e＝＝，故D正确．
【解析】p：≤x≤2.q：－1≤x≤2.p⇒q，但q⇏p.
∴p是q的充分不必要条件．
14.x2＋x＋3y2＝0
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点C为(x，y)，假设直线AB斜率存在，
那么
由①－②，得＋(y1＋y2)×＝0，即＋2y×＝0，整理得x2＋x＋3y2＝0.
假设AB斜率不存在，C(－1,0)也满足上式．
综上所述，AB中点的轨迹方程为x2＋x＋3y2＝0.
15.[－8，＋∞)
【解析】当1≤x≤2时，3≤x2＋2x≤8，假如“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋
a≥0”为真命题应有－a≤8，所以a≥－8.
【解析(jiě xī)】如图，抛物线焦点为，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y－＝x，即y＝x＋.
联立消去y得x2－2px－p2＝0，∴x1＝(1＋)p，x2＝(1－)p. ∴|AD|＋|BC|＝y1＋y2＝x1＋＋x2＋＝2p＋p＝3p，|CD|＝|x1－x2|＝2p. 由S梯形ABCD＝(|AD|＋|BC|)·|CD|＝·3p·2p＝12，解得p2＝4，∴p＝±2.
∵p＞0，∴p＝2.
p为真，因为函数的对称轴为x＝m，那么m≤2.
假设命题q为真，当m＝0时，原不等式为－8x＋4＞0，显然不成立．
当m≠0时，那么有⇒1＜m＜4.
因为p∨q为真，p∧q为假，所以命题p，q一真一假．
故或者
解得m≤1或者2＜m＜4.
所以m的取值范围为(－∞，1]∪(2,4)．
18.解(1)∵双曲线的焦点在y轴上，∴设它的HY方程为－＝1(a>0，
b>0)．
∵2a＝8,2c＝12，∴a＝4，c＝6，∴b2＝62－42＝20.
∴所求双曲线的HY方程为－＝1.
(2)椭圆(tuǒyuán)＋＝1的焦点为(2，0)，(－2，0)．
依题意，所求双曲线的焦点在x轴上，可以设双曲线的HY方程为－＝1，那么a2＋b2＝20.
又∵双曲线过点(3，)，∴－＝1.∴a2＝20－2，b2＝2.
∴所求双曲线的HY方程为－＝1.
19.解(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，将其代入x2＝4y，得yA(2,1)．
∵圆A与抛物线C的准线相切，
∴圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的间隔，即r＝|1－(－1)|＝2.
∴圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
20.(1)设椭圆C的焦距为2c，由可得F1到直线l的间隔c＝2，故c＝2. 所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程为y＝(x －2)．
联立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0，
解得y 1＝，y 2＝.因为(yīn wèi)＝2，所
以－y 1＝2y 2. 即
＝2·
，得aa 2－b 2＝4，所以b ＝
.
故椭圆C 的方程为＋＝1.
21.(1)设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)． 由得a ＝
，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.
所以双曲线C 的方程为－y 2＝1.
(2)将y ＝kx ＋
代入－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kx －9＝0.
由直线l 与双曲线交于不同的两点， 得
即k 2≠且k 2<1.①
设A (xA ，yA )，B (xB ，yB )，那么xA ＋xB ＝，xAxB ＝，
由
·
>2，得xAxB ＋yAyB >2，而
xAxB
＋yAyB ＝xAxB ＋(kxA ＋)(kxB ＋)＝(k 2＋1)xAxB ＋
k (xA ＋xB )＋2 ＝(k 2＋1)·＋
k ·
＋2＝
.
于是>2，即>0.
解此不等式，得<k 2<3.②
由①②，得<k2<1.
故k的取值范围(fànwéi)为∪.
22.(1)解由，a＝b，那么椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋18－2b2＝0.①
方程①根的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3.
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋T的坐标为(2,1)．(2)证明由可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得
所以P点坐标为，|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组可得3x2＋4mx＋4m2－12＝0.②
方程②根的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－<m<.
由②得x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|PA|＝＝，
同理，|PB|＝，
所以(suǒyǐ)|PA|·|PB|＝＝
＝＝m2.
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
内容总结。