高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》全集汇编含答案解析

【最新】数学《不等式》专题解析
一、选择题
1．已知函数()2
f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大值
为（ ） A ．12 B ．13
C ．14
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，作出不等式组所表示的平面区域，又
()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．
【详解】
由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：
可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为1
22
b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，
并将目标函数()242z f a b ==+变形为
1
22
b a z =-+
进行平移，找到截距的最大值．
2．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则z x y =-的最小值为（ ）
A ．4
B ．0
C ．2-
D ．4-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 又由360
1x y y -+=⎧⎨
=⎩
，解得(3,1)A -，
所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
3．若实数,x y 满足不等式组2,
36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】
【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由20
0x y x y +-=⎧⎨
-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】A 【解析】
()22
0{,440
a f x ac
b b a
c >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，
()(
)11111120f a c f b +∴=+≥≥=+=' 当且仅当()
()
120f a c f ='时，不等式取等号，故
的最小值为
5．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．(
)2f x =D ．()4
2x
x f x e e
=+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. (
)2f x =
=
，故(
)f x ≥
，C 错误； D. (
)4222x
x f x e e =+-≥=，当4x
x
e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2
D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.
【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
7．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函
数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
8．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为
（ ） A ．
22
B ．
25 C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据2
2x
y +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线
10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z +≥恒成立，只需(
)
22
min
z x y
≥+，
因为2
2x
y +表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小， 其中最小值距离为22
1211d -==
+，则2
12d =，即12z ≤
所以数z 的最大值1
2
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合2
2x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．
9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a 的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
11．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
122253
31212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛≥+⨯=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
13．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩
剟
…，则x y y +的取值范围是( )
A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
作出不等式
12
1
x y
x
+
⎧
⎨
-
⎩
剟
„
表示的平面区域，整理得：
x y
y
+
1
x
y
=+，利用y
x
表示点()
,x y 与原点的连线斜率，即可求得
1
1
3
x
y
-<-
„，问题得解．
【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：
x y
y
+
1
x
y
=+
易知
y
k
x
=表示点(),x y与原点的连线斜率，
当点()
,x y在()
1.3
A-处时，
y
k
x
=取得最小值-3.
且斜率k小于直线1
x y
+=的斜率-1，
故31
k
-≤<-，则
1
1
3
x
y
-<-
„，
故
2
3
x y
y
+
<„.
故选B
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
14．已知函数
1
()cos2(2)sin
2
f x m x m x
=+-，其中12
m
≤≤，若函数()
f x的最大值记为()
g m，则()
g m的最小值为（）
A．
1
4
-B．1C．3
-D31
【答案】D
【解析】
【分析】
2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+
，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，结合12m ≤≤可得()2211
22(2)31144t m m m g m y m m m =-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222
m t m m -==-∈，所以 (
)2211
22(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
3
m =时，等号成立. 故选：D
【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
15．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q
+的最小值为（ ） A ．2
B ．52
C ．94
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到
11p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==， ()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14q p +
=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423
q p ==时取得等号． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
16．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+=
()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
17．若函数()sin 2x x f x e e x -=-+，则满足2(21)()0f x f x -+>的x 的取值范围为（ ）
A ．1(1,)2-
B ．1(,1)(,)2-∞-+∞U
C ．1(,1)2-
D ．1(,)(1,)2
-∞-⋃+∞ 【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为增函数，再把()
()2210f x f x -+>化为221x x ->-，求出解集即可．
【详解】
解：函数()sin2x x f x e e x -=-+，定义域为R ，
且满足()()sin 2x x f x e e x --=-+- ()()sin2x x e e x f x -=--+=-，
∴()f x 为R 上的奇函数；
又()'2cos222cos20x x f x e e x x x -=++≥+≥恒成立，
∴()f x 为R 上的单调增函数；
又(
)()2210f x f x -+>， 得()()()221f x f x f x ->-=-，
∴221x x ->-，
即2210x x +->，
解得1x <-或12
x >， 所以x 的取值范围是()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞
⎪⎝⎭． 故选B ．
【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．
18．已知实数x y ，满足1030350x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，则()22(4)2z x y =-+-的最小值为（ ） A
B ．5
C ．3
D ．52
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．
【详解】
解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
……
„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，
则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，22
22523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52
z =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
19．设m ，n 为正数，且2m n +=，则
1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．74 D ．95
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案；
【详解】
当2m n +=时，
Q 131111212
n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+ Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12m n +=+时，即3122
m n ==，取等号， ∴139125
n m n ++≥++. 故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞
B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞ 【答案】C
【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x ≤+
对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x
+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。