《空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计、导学案、同步练习

《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》教学设计
【教材分析】
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习空间点、直线、平面之间的位置关系。

教材从观察长方体中点、直线、平面之间的位置关系以及上一节所学点与直线、直线与平面的位置关系开始，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系，通过大量图形、实验、和说理，使学生进一步了解点、直线、平面之间的位置关系。

学习空间点、直线、平面之间的位置关系为下一步学习判断直线与平面的平行、垂直打基础。

【教学目标与核心素养】
【教学重点】
：两条直线的三种位置关系，异面直线的定义，直线与平面的三种位置关系，两个平面之间的两种位置关系；
【教学难点】：异面直线的定义，两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。

【教学过程】
【答案】点在平面内，点不在平面内 二、探索新知
思考1：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
【分析】
，
（一）两直线的位置关系
观察1：黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？ 观察2：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？ 1.定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines ）
2.空间两条直线的位置关系：
3.异面直线的画法：
B A A AB A ''∉∈直线点直线点,D
C B A A ABC
D A ''''∉∈平面点平面点,,//CD AB 直线直线。

中，且交于点在平面与直线直线B ABCD BC AB 。

不同在任何一个平面内与直线直线C C AB '
为表示异面直线不共面的特点，常以平面衬托。

练习：关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？
A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；
B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
D. 不在同一个平面内的两条直线；
E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
【答案】E
思考2：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
【答案】不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
【答案】共3对：AB与CD，AB与GH，EF与GH
（二）直线与平面的位置关系
观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？
思考3：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系？
【答案】直线与平面的位置关系只有三种：
①直线在平面内---有无数个公共点；
②直线与平面相交---有且只有一个公共点；
③直线与平面平行---没有公共点。

4. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

方法;判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数。

5.图形表示：
符号表示：
（三）平面与平面之间的位置关系
观察1:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间
的位置关系有几种？
观察2：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
【答案】桌面与地面平行，墙面与地面：相交。

6.两个平面的位置关系只有两种：即两个平面平行，两个平面相交. （1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线. 图形表示：
符号表示：
注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

探究：如图，在长方体中，连接， 请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子， 并用符号表示这些位置关系。

βα//D C B A ABCD ''''-C D B A ''，
【答案】， 例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。

解：在（1）中，
在（1）中， 例2.如图 直线AB 与直线a 具有怎样的位置关系？为什么？
解：直线AB 与a 是异面直线。

理由如下。

若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行。

设它们确定的平面为，则 。

由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾。

所以直线AB 与a 是异面直线。

方法总结：判断两直线是异面直线的方法：
与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。

B ABCD B A ='平面直线 C D CD B A '''平面直线//.
,,B a A a l ===βαβα .,,,,,P b a P l b P l a b a l ===⊂⊂= βαβα,,,,a B a A B AB ∉⊂∉=ααα βββ⊂∈a B ,ααβα⊂AB α∈A α∉A
(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．( )
(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．( )
(3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．( )
【答案】(1)×(2)×(3)√
2．圆柱的两个底面的位置关系是( )
A．相交B．平行
C．平行或异面D．相交或异面
【答案】B
【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
3．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为．
【答案】①②
【解析】①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．
【解析】根据图形，直线B1C⊂平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．
【教学反思】
判断空间点、直线、平面之间的位置关系应多借助于模型，让学生多观察，发现它们之间的位置关系，多找模型，让学生自己动手去找模型，思考判断。

《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案【学习目标】
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线；
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示；
3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．【教学重点】：两条直线的三种位置关系，异面直线的定义，直线与平面的三种位置关系，两个平面之间的两种位置关系；
【教学难点】：异面直线的定义，两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示。

【知识梳理】
1．异面直线
(1)定义：不同在的两条直线．
(2)异面直线的画法：
2．空间两条直线的位置关系
3．直线与平面的位置关系
4．两个平面的位置关系
【学习过程】
一、探索新知
思考1：我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面，如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
（一）两直线的位置关系
观察1：黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？
观察2：旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？
1.定义：不同在内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
2.空间两条直线的位置关系：
3.异面直线的画法：
为表示异面直线不共面的特点，常以 衬托。

练习：关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
思考2：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
练习：如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果以阴影部分为底面将它还原为正方体，那么，AB ，CD ，EF ，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？
（二）直线与平面的位置关系
观察:一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有哪几种位置关系？
思考：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B 所在直线与长方体六个面所在平面有几种位置关系？
⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧）
异面直线（）（平行直线）（相交直线
共面直线
4. 直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。

方法;判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数。

6.图形表示：
符号表示：
（三）平面与平面之间的位置关系
观察1:如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间
的位置关系有几种？
观察2：教室里的地面与桌面、黑板面所在墙面与地面之间有哪些关系？
6.两个平面的位置关系只有两种：即两个平面平行，两个平面相交.
（1）两个平面平行--- 公共点；
（2）两个平面相交--- 公共直线. 图形表示：
符号表示：
注意：画两个互相平行平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。

探究：如图，在长方体中，连接， 请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子， 并用符号表示这些位置关系。

例1.如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系。

例2.如图 直线AB 与直线a 具有怎样的位置关系？为什么？
方法总结：判断两直线是异面直线的方法：
与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。

【达标检测】 1．判断正误
(1)在空间中，直线不平行就意味着相交．( )
D C B A ABCD ''''-C D B A ''
，,,,,a B a A B AB ∉⊂∉=ααα
(2)直线在平面外是指直线与平面没有交点．( ) (3)两个平面相交的时候，一定交于一条直线．( ) 2．圆柱的两个底面的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．平行或异面 D ．相交或异面
3．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合； ②若l ，m 是异面直线，l ∥α，m ∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为 ．
4．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，分别指出直线B 1C ，D 1B 与正方体六个面所在平面的关系．
参考答案：
思考1.，，
1.任何一个平面 3.
平面 练习 E
思考2.不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。

B A A AB A ''∉∈直线点直线点,D
C B A A ABC
D A ''''∉∈平面点平面点,,//CD AB 直线直线。

中，且交于点在平面与直线直线B ABCD BC AB 。

不同在任何一个平面内与直线直线C C AB
'
练习：共3对：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH 思考3.直线与平面的位置关系只有三种： ①直线在平面内---有无数个公共点； ②直线与平面相交---有且只有一个公共点； ③直线与平面平行---没有公共点。

5.
观察2 桌面与地面平行，墙面与地面：相交。

6.
探究：， 例1.解：在（1）中，
在（1）中， 例2.解：直线AB 与a 是异面直线。

理由如下。

若直线AB 与直线a 不是异面直线，则它们相交或平行。

设它们确定的平面为，则 。

由于经过点B 与直线a 有且仅有一个平面
，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾。

βα//B ABCD B A ='平面直线 C D CD B A '''平面直线//.
,,B a A a l ===βαβα .,,,,,P b a P l b P l a b a l ===⊂⊂= βαβαβββ⊂∈a B ,ααβα⊂AB α∈A α∉A
所以直线AB 与a 是异面直线。

达标检测
1.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 2【答案】B
【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行． 3.【答案】①②
【解析】①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．
4.【解析】 根据图形，直线B 1C ⊂平面B 1C ，直线B 1C ∥平面A 1D ，与其余四个面相交，直线D 1B 与正方体六个面均相交．
《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习
一、选择题
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为
A ．相交
B ．平行
C ．异面而且垂直
D ．异面但不垂直
2．若直线，直线，则直线a 与b 的位置关系是（ ） A ．相交
B ．异面
C ．异面或平行
D ．平行
3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．不能确定
4．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （ ）
(
)//a αb α⊂
A ．异面
B ．相交
C ．平行
D ．垂直
5．（多选题）已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A ．，，，
B ．，，，
C ．，
D ．，,
6．（多选题）如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．直线与是相交直线
B ．直线与是平行直线
C ．直线与是异面直线
D ．直线与是异面直线
二、填空题
7．以下四个命题中, 正确命题的个数是_________.
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面; ③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.
8．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:
A B C ，，l αβ，∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂A α∈A β∈B α∈B AB βαβ∈⇒=l
αA l A α∈⇒∉A α∈∈A l l l A αα⊄⇒⋂=1111ABCD A B C D -,M N 111,C D C
C AM 1CC AM BN BN 1MB AM 1DD
（1）点与平面:__________； （2）点与平面:__________； （3）直线与平面:__________； （4）直线与平面:__________； （5）平面与平面:__________；
9．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和
在原正方体中相互异面的有__________对.
10．(1)平面平面_______;
(2)平面平面________.
三、解答题
11．按下列叙述画出图形(不必写出画法):，，，，
，
.
C βA αAB αC
D ααβAB CD EF
GH 1AB 11AC =11AC CA ⋂AC
=m α
β=a α⊂b β⊂a m N ⋂=M m ∈//b m
12．如图，若P 是所在平面外一点，，，N 为垂足.M 为AB 的中点，求证：PN 与MC 为异面直线.
《8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系》同步练习答案解析
一、选择题
1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为
A ．相交
B ．平行
C ．异面而且垂直
D ．异面但不垂直 【答案】D
【解析】利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D
2．若直线，直线，则直线a 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面
C ．异面或平行
D ．平行
【答案】C
【解析】由题意直线a ∥α，直线b ⊂α，可得直线a ，b 一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行
故选C.
3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A ．平行
B ．相交
ABC PA PB ≠PN AB
⊥(
)//a αb α⊂
C ．平行或相交
D ．不能确定
【答案】C 【解析】
如下图所示：由图可知，两个平面平行或相交，故选C ．
4．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l （ ） A ．异面 B ．相交
C ．平行
D ．垂直
【答案】D
【解析】若直线l ∥α，α内至少有一条直线与l 垂直， 当l 与α相交时，α内至少有一条直线与l 垂直． 当l ⊂α，α内至少有一条直线与l 垂直． 故选D ．
5．（多选题）已知表示不同的点，表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A ．，，，
B ．，，，
C ．，
D ．，, 【答案】ABD 【解析】
【分析】对于选项A:由公理1知,,故选项A 正确;
对于选项B ：因为表示不同的平面，由公理3知,平面相交,且,
故选项B 正确;
对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时，若交点为A ，则
，故选项C 错误；
A B C ，，l αβ，∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂A α∈A β∈B α∈B AB βαβ∈⇒=l
αA l A α∈⇒∉A α∈∈A l l l A αα⊄⇒⋂=l α⊂αβ，αβ，
AB αβ=l α⊄l α//l a l αA α∈
对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立; 故选:ABD
6．（多选题）如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．直线与是相交直线
B ．直线与是平行直线
C ．直线与是异面直线
D ．直线与是异面直线
【答案】CD
【解析】直线与是异面直线，直线与也是异面直线，故A 、B 错误 直线与是异面直线，直线与是异面直线，故C 、D 正确. 故选CD. 二、填空题
7．以下四个命题中, 正确命题的个数是_________.
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面; ③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.
【答案】1
【解析】正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②从条件看出两平面有三个公共点A 、B 、C ，但是若A 、B 、C 共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性，若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 可能异面；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，空间四边形的四个定点就不共面．
故答案为：1.
1111ABCD A B C D ,M N 111,C D C
C AM 1CC AM BN BN 1MB AM 1D
D AM 1CC AM BN BN 1MB AM 1DD
8．如图，试用适当的符号表示下列点､直线和平面之间的关系:
（1）点与平面:__________；
（2）点与平面:__________；
（3）直线与平面:__________；
（4）直线与平面:__________；
（5）平面与平面:__________；
【答案】
【解析】（1）点不在平面内，所以；（2）点不在平面内，所以；（3）直线与平面相交于点，所以；（4）直线在平面内，所以
；
（5）平面与平面相交，且交线为，所以. 9．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.
【答案】3
【解析】画出展开图复原的几何体，所以C 与G 重合，F ，B 重合，
所以：四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有：
AB 与GH ，AB 与CD ，GH 与EF ，
共有3对．
故答案为3．
C βA αAB αC
D ααβC β∉A αAB B α⋂=CD α⊂BD αβ⋂=C βC β∉A αA αAB αB AB B α⋂=CD αCD α⊂αβBD BD αβ⋂=AB CD EF
GH
10．(1)平面平面_______;
(2)平面平面________.
【答案】 AC
【解析】
由图可知，（1）平面平面，
（2）平面平面 AC
故答案为：（1）；（2）AC
三、解答题
1AB 11AC =11AC CA ⋂AC
=11A
B 1AB 11A
C =11A B 11AC CA ⋂AC =11A B
11．按下列叙述画出图形(不必写出画法):，，，，，.
【答案】图形见解析
【解析】
12．如图，若P 是所在平面外一点，，，N 为垂足.M 为AB 的中点，求证：PN 与MC 为异面直线.
【答案】见解析
【解析】证明：∵,,为垂足,是的中点,
∴点与点不重合
∵平面,平面,平面,
∴由异面直线的判定定理可知,直线与为异面直线
m αβ=a α⊂b β⊂a m N ⋂=M m ∈//b
m ABC PA PB ≠PN AB
⊥PA PB ≠PN AB ⊥N M AB N M N ∈ABC P ∉ABC CM ⊂ABC N CM ∉PN MC。