新疆生产建设兵团第十四师二二四团中学2017届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年新疆生产建设兵团第十四师二二四团中学高三
（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（只有一个选项符合题意，将正确的选项填写到给出的表格中，否则不得分，每小题5分，共60分）[来
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
2．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）
A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0
3．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）
A．1 B．C． D．﹣1
4．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）
A．5 B．C．2 D．1
5．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．B．C． D．
6．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）
A．1 B．2 C．3 D．5
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数
9．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）
A．B．C．
D．
10．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
11．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）
A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞
12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m
的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行”的充要条件是“a=”．
14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．
15．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．
16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．
三、解答题（共70分）
17．已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
19．已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．
（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；
（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．
20．设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R，求f（x）的单调区间．21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e
（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
2016-2017学年新疆生产建设兵团第十四师二二四团中学高三（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（只有一个选项符合题意，将正确的选项填写到给出的表格中，否则不得分，每小题5分，共60分）[来
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个
【考点】交集及其运算．
【分析】找出集合M与N中的公共元素，确定出两集合的交集，即为集合P，写出集合P 所有的子集，即可得到子集的个数．
【解答】解：∵集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，
∴P={1，3}，
则集合P子集为{1}，{3}，{1，3}，∅共4个．
故选B
2．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）
A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0
【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．
【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值
【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），
∴1﹣0+c=0
故c=﹣1，
∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；
故选A．
3．设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）
A．1 B．C． D．﹣1
【考点】导数的几何意义．
【分析】利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
【解答】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
4．钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）
A．5 B．C．2 D．1
【考点】余弦定理．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB 的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，
∴S=acsinB=，即sinB=，
当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，
当B为锐角时，cosB==，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=．
故选：B．
5．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）
A．B．C． D．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=．
故选：D．
6．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，
∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，
两式相减得4•=10﹣6=4，
即•=1，
故选：A．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】函数的零点．
【分析】根据根的存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．
【解答】解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，
∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，故函数在区间[1，6]上的零点至少有3个，
故选B．
8．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．
|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，
故选：C
9．函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象；正弦函数的图象．
【分析】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：，
当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；
又由sinx≥0[0，π]上恒成立，故函数y=x+sinx[0，π]上在y=x的上方；
当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数；又由sinx≤0[﹣π，0]上恒成立，故函数y=x+sinx[﹣π，0]上在y=x的下方；
又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以A选项对应的图象符合．
故选A．
10．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）
A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
【考点】余弦函数的单调性．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）
=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．
由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，
故选：D．
11．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，则c的取值范围为（）
A．c＜B．c≤C．c≥D．c＞
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，
然后根据函数f（x）有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，
∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，
从而△=1﹣4c＞0，
∴c＜．
故选：A
12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m
的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】正弦函数的定义域和值域．
【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小
时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，
∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．
求得m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行”的充要条件是“a=﹣2”．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行，利用两直线的斜率相等求出a值．
【解答】解：∵直线ax+2y+1=0和直线3x+（a﹣1）y+1=0平行，
∴，
解答a=﹣2，
故答案为﹣2．
14．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．
【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．
【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
15．若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，
∴ln（+x）（﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
16．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
三、解答题（共70分）
17．已知函数f（x）=a（2cos2+sinx）+b
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）的值域是[5，8]，求a，b的值．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．
【分析】函数f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（1）将a=﹣1代入，利用正弦函数的递增区间即可确定出f（x）的递增区间；
（2）根据x的范围求出这个角的范围，确定出正弦函数的值域，根据f（x）的值域，分a 小于0与大于0两种情况考虑，分别列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b的值．
【解答】解：f（x）=a（1+cosx+sinx）+b=asin（x+）+a+b，
（1）当a=﹣1时，由2kπ+≤x+≤2kπ+π，得2kπ+≤x≤2kπ+π，
∴f（x）的单调增区间为[2kπ+，2kπ+π]（k∈Z）；
（2）∵0≤x≤π，∴≤x+≤π，
∴﹣≤sin（x+）≤1，依题意知a≠0，
分两种情况考虑：
1°当a＞0时，，
∴a=3（﹣1），b=5；
2°当a＜0时，，
∴a=﹣3（﹣1），b=8，
综上所述：a=3﹣3，b=5或a=3﹣3，b=8．
18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．
（1）若PB=，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA 中，利用余弦定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得
，即，化简即可求出．
【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣
2PB•ABcos30°==．
∴PA=．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得，即，
化为．∴．
19．已知向量=（sinθ，﹣2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．
（Ⅰ）求sinθ和cosθ的值；
（Ⅱ）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求cosφ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的性质及其运算律．
【分析】（1）根据两向量垂直，求得sinθ和cosθ的关系代入sin2θ+cos2θ=1中求得sinθ和cosθ的值．
（2）先利用φ和θ的范围确定θ﹣φ的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（θ﹣φ）的值，进而利用cosφ=cos[θ﹣（θ﹣ϕ）]根据两角和公式求得答案．
【解答】解：（1）∵与互相垂直，则，
即sinθ=2cosθ，代入sin2θ+cos2θ=1得，又，
∴
（2）∵0＜φ＜，，
∴﹣＜θ﹣φ＜，则cos（θ﹣φ）==，
∴cosφ=cos[θ﹣（θ﹣φ）]=cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）=．
20．设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R，求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，
f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，
令f′（x）＜0，解得：＜x＜，
故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增．
21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e
（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，
∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，
∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上
的最小值为g（）=﹣．
设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．
综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．
22．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负研究函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定α+β=0，αβ=a﹣
1.．构造函数，确定其单调性，即可证明结论．
【解答】解：（Ⅰ）．
当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在
上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
2017年1月2日。