浙教版初中数学九年级概率的求法及应用--知识讲解

概率的求法及应用--知识讲解
【学习目标】
1.能运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率；
2.理解频率与概率的区别与联系；
3.会通过重复试验，估计事件发生的概率；
4.学会运用概率知识来解决一些简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.
1.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2.画树状图法
当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n 和事件A 包含其中的结果数m ；
（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=
n m . 要点二、频率与概率
1.定义
频率：在相同条件下重复n 次实验，事件A 发生的次数m 与实验总次数n 的比值.
概率：事件A 的频率
n
m 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系
在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
要点诠释：
（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率
是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
要点三、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
要点诠释：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
【典型例题】
类型一、用列举法求概率
1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A ．13
B ．14
C ．12
D ．34
【答案】B.
【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为14
. 【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.
举一反三：
【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A ．13
B ．12
C ．14
D ．34
【答案】C.
【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）.
A ．13
B
C
D 【答案】D.
2.光明中学组织学生开展社会实践活动，调查某社区居民对消防知识的了解程度（A ：特别熟悉，B ：有所了解，C ：不知道），在该社区随机抽取了100名居民进行问卷调查，将调查结果制成如图所示的统计图，根据统计图解答下列问题：
（1）若该社区有居民900人，是估计对消防知识“特别熟悉”的居民人数；
（2）该社区的管理人员有男、女各2名，若从中选2名参加消防知识培训，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中一男一女的概率．
【答案与解析】（1）在调查的居民中，对消防知识“特别熟悉”的居民所占的百分比为：25
255520
++
×100%=25%，
该社区对消防知识“特别熟悉”的居民人数估计为900×25%=225（人）；
（2）记A1、A2表示两个男性管理人员，B1，B2表示两个女性管理人员，列表或树状图如下：
故恰好选中一男一女的概率为：
82 123
=．
【总结升华】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图、列表法与树状图法．
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）
A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
类型三、利用频率估计概率
4. （2016•南通一模）在一个不透明的盒子中装有n 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是（ ）
A ．10
B ．14
C ．16
D ．40
【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【答案】A ．
【解析】
解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，
∴=0.4，
解得：n=10．
故选A ．
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
5.（2015•本溪）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）
A ．16个
B ． 20个
C ． 25个
D ．30个
【思路点拨】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【答案】A.
【解析】设红球有x 个，根据题意得，
4：（4+x ）=1：5，
解得x=16．
故选A ．
【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.
举一反三：
【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .
【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率．
（2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为
5
3，则需要再加入几个红球？ 【答案】
类型四、概率的简单应用
6.（2015•朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．
甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．
（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；
（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）
【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
【答案与解析】
解：（1）甲同学的方案公平．理由如下：
=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；
所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：，
故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．
【总结升华】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
举一反三：
【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，
黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1
2
.
（1）试求袋中蓝球的个数.
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.
【答案】（1）1个；
（2）P（两次摸到白球）=1
6
.。