qwx等差数列的性质(52张PPT)

等差数列{an}前n项和的性质的应用
例6、已知等差数列 {an}的前10项之和为140，其中奇数项之和为125 ,求第6项。
解：由已知 a1 a2 a10 140
a1 a3 a5 a7 a9 125
则 a2 a4 a6 a8 a10 15
5a6 15
[解]
方法1：∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d.
64 a1＝15， a1＋14d＝8， ∴ 解得 a1＋59d＝20， d＝ 4 . 15 64 4 ∴a75＝a1＋74d＝15＋74×15＝24.
方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列． 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
等差数列．
思考感悟
1．等差数列的通项同一次函数间是什么关系？
提示：(1)当等差数列的公差 d＝0 时，其通项 an＝a1， 是不随自变量变化而变化的常数， 是常函数， 不是一次函数． (2)当等差数列的公差 d≠0 时，其通项 an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋(a1－d)，显然其是关于 n 的一次函数．
M {m m 2n 1, n N , m 60}

练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23, a25=-22 ,Sn为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？ （2）求S （3）求使 S <0的最小的正整数n. (4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
A
等差数列{an}前n项和的性质的应用 例4.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为 .
－110
例5两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且
求
和5
a b5
.
an bn
Sn 7n 1 Tn 4n 27
a5 64 b5 63 an 14n 6 bn 8n 23
[点评] 等差数列中项数成等差的项仍然组成等差 数列，方法 2 正是应用等差数列这一性质解题的．
类型二 [例3]
等差数列的实际应用 有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、
乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单 价为780元，买两台单价为760元，依此类推，每多买一台 则所买各台单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙 商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影 碟机，问去哪一家商场购买花费较少？ [分析] 先求出购买n台时甲商场的售价，再与购买n
2.等差数列{an}前n项和的性质
性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an 此时有:S偶－S奇= nd ,
S偶
an 1
(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= an ,
d 5
等差数列{an}前n项和的性质的应用 例7.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 项的和之比为32:27,则公差为 . 解法二:
5
S 奇 S 偶 354 S 192 偶 由 S 偶 32 S 162 奇 S 27 奇
am－an m－n .
(3){an}是有穷等差数列， 则与首末两项等距离的两项之 a ＋a ＝a ＋a － ＝„＝ 和相等，且等于首末两项之和，即 1 n 2 n 1
ai＋an－i＋1＝„
.
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b 是常 数)是公差为 λd 的等差数列． (5)若数列{an}为等差数列， 则下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)组成公差为 md 的等 差数列． (6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是
例.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .
10
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= .
153
等差数列{an}前n项和的性质
例.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.
2.3.1.等差数列的性质
张家界市第一中学
高一数学组
新知初探
等差数列的性质 若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则有下列性质： (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， a ＋a ＝a ＋a 则 m n p q .
(2)若给出等差数列的第 m 项和第 n 项 am 和 an，则 d＝
S奇 S偶
n n1
及时演练
3.一等差数列共有10项，其中奇数项的和是12.5，偶数项的和是15，求首项和公 差.
首项 a1=0.5,公差 d=0.5.
2.等差数列{an}前n项和的性质
性质3:
为等差数列 n .
S { } n
性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
[分析] 等差数列的首项 a1 和公差 d 是等差数列中最基 本的两个量．本题如果是利用已知条件列出关于 a1 和 d 的 方程(或方程组)．进而求出 a1 和 d，当然可使问题获解．但 若能结合等差数列的几个基本性质进行解题， 可以收到事半 功倍的效果．
[解] (1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14， ∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48. 解得 a14＝12. (2)∵a2＋a5＝a3＋a4， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34. 解得 a2＋a5＝17. 又已知 a2a5＝52，
10 n
1.根据等差数列前n项和，求通项公式.
n1 a1 an S n S n 1 n 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.
d 2 d S n n ( a1 ) n 2 2
3、熟悉等差数列前n项和的性质
作业 ： 1: 等差数列{an}的前ｎ项和Sn满足 S5=95, S8=200,求Sn。
例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( A.63 B.45 C.36 D.27 )
B
例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90
由(1)知
由上得
24 ∴S 有最大值. d 3 7 5 12 13 即 13 6 6n 2 d 2 2
5 12 n 2 d
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和
为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
练习2: 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.
故 a6 3
等差数列{an}前n项和的性质的应用 例7.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的 项的和之比为32:27,则公差为 .
5
解一：设首项为a1,公差为d,则
1211 12a1 2 d 354 65 2d 6(a1 d ) 32 2 17 6a 6 5 2d 1 2
联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. a5－a2 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝ ＝3； 5－2 a5－a2 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝ ＝－3. 5－2 ∴公差 d 为 3 或－3.
[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
典例导悟
类型一 [例 1] 等差数列的性质及应用 已知等差数列{an}，
(1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
又(800－20n)n－600n＝20n(10－n)， 所以，当n<10时，600n<(800－20n)n； 当n＝10时，600n＝(800－20n)n； 当10<n<18时，(800－20n)n<600n； 当n≥18时，440n<600n. 所以当购买台数少于10台时，到乙商场购买花费较 少；当购买10台时，到两商场购买花费相同；当购买多于 10台时，到甲商场购买花费较少．
台时乙商场的售价作差比较．
[解]
设某单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台
售价不低于440元时，售价依台数成等差数列{an}， 则an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n， 解不等式an≥440,800－20n≥440，得n≤18. 当购买台数小于18时，每台售价为(800－20n)元， 在台数大于或等于18时，每台售价440元． 到乙商场购买，每台售价为800×75%＝600(元)．
解:(1)由已知得 a1+2d=12 12a1+6×11d>0 13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2) ∵
1 Sn na1 n( n 1)d 2 1 n(12 2d ) n( n 1)d 2
d 2 5d n (12 )n 2 2
n
∴Sn图象的对称轴为
2.3.1.等差数列的性质
张家界市第一中学
高一数学组
2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sm,S2m－Sm,S3m－S2m, …也成等差数列,公差为
m2d
例.已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和．
S3n=3(b-a).
an S 2 n 1 bn T 2 n 1
两等差数列前n项和与通项的关系
性质5:若Sm=p,Sp =m (m≠p),则 Sp+m=
-(m+p)
性质6:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=
0
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
例1、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。
S偶 S奇 6d
d 5
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例、已知一个等差数列的总项数为奇数,且奇数项之和为77，偶数项之和为66，求中 间项及总项数。
解：由 S奇 S偶 中间项 得中间项为11
又由 S奇 S偶 143
得 n 13
等差数列{an}前n项和的性质的应用
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列 。 3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大
[例2] 若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75的值． [分析] 方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从 而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列， 则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．
2．在等差数列{an}中，若 an＋am＝ap＋aq，则 m＋n＝p ＋q 吗？
提示：不一定，若{an}是常数列，则 m＋n＝p＋q 不一 定成立．若{an}不是常数列，则 m＋n＝p＋q 成立．
3．等差数列的“子数列”有什么性质？
提示：若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差 数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为 2d 的等差数列； (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．