东阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

东阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，
），使f （sin φ）=f （cos φ），则实
数m 的取值范围是（ ） A ．（） B ．（，
]
C ．（
） D ．（
]
2． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0）上的一点，且
=0，
tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），
且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
4． 在ABC ∆中，60A =o
，1b =，其面积为3，则
sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．33
B ．239
C ．83
D ．39
5． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
7．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）
A． B． C． D．
8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）A．B．C．D．
9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
10．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
12．对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1 B-1 C0 D
二、填空题
13．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
14．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
15．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给
出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
18．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
三、解答题
19．如图，椭圆C 1：的离心率为
，x 轴被曲线C 2：y=x 2﹣b 截得的线段长等于椭
圆C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过点M 的两条互相垂直的直线l 1，l 2分别交抛物线于A 、B 两点，交椭圆于D 、E 两点， （Ⅰ）求C 1、C 2的方程；
（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，若
，求直线AB 的方程．
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==α
αsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.
（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.
21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞U ，求实数m 的值； （2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
22．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan A B A B +=g ，又ABC ∆的面积为2
ABC S ∆=
，求a b +的值．
23．已知α、β、是三个平面，且c αβ=I ，a βγ=I ，b αγ=I ，且a b O =I ．求证：、 、三线共点．
24．如图，已知椭圆C：+y2=1，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C另外一个交点为A，且
线段AB的中点E在直线y=x上
（Ⅰ）求直线AB的方程
（Ⅱ）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，证明：OM•ON 为定值．
东阳市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），
∴函数f（x）关于x=m对称，
若φ∈（，），
则sinφ＞cosφ，
则由f（sinφ）=f（cosφ），
则=m，
即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）
当φ∈（，），则φ+∈（，），
则＜sin（φ+）＜，
则＜m＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
3． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，
），且a 2＜，
∴f （x ）＜0的解集为（﹣b ，﹣a 2），g （x ）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f （x ）g （x ）＞0等价为或
，
即a 2＜x ＜或﹣＜x ＜﹣a 2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a 2）∪（a 2，），
故选：A ． 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f （x ）＜0和g （x ）＜0的解集是
解决本题的关键．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积0113sin sin 60322S bc A bc bc =
===，所以4bc =，又1b =，所以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以13a =，则
13239
sin sin sin sin sin 603
a b c a A B C A ++===++，故选B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=
++是解答的关键，属于中档试题． 5． 【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由于
也在此直线上，
所以，当x 1=x 2时，有x 1=x 2=a 为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当x 1≠x 2时，直线的斜率存在，且有
，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
6．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

7．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
8．【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，
故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，
则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，
AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．9．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
10．【答案】A
解析：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=0
满足条，0≤k，S=3，n=1
满足条件1≤k，S=7，n=2
满足条件2≤k，S=13，n=3
满足条件3≤k，S=23，n=4
满足条件4≤k，S=41，n=5
满足条件5≤k，S=75，n=6
…
若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5，
则输入的整数k的最大值为4．
故选：
11．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】由题意，可取，所以
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣4a＞0，
解得a＞4，
∵a是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
14．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时， 直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大， 由
，解得
，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：
38
15．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
16．【答案】②③ 【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),||17,||7,A B A B AB k k =-=(,)317A B ϕ∴=<；
②对：如1y =；③对；2
2
222
(,)2()()
1()
A B A B A
B
A B A B x x x x x x ϕ==
≤-+-++；
④错；12121
21
22
2
2
12(,)()()
1()
x x x x x x x x A B x x e e e e ϕ=
=
-+-+-
121212221()1111,(,)||()x x x x x x e e A B e e e e ϕ+-==+>--因为1(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17．【答案】
．
【解析】解：由于角A 为锐角， ∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且m ．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
18．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})12)(12(2{+-n n 的前1008项的和，即Λ+⨯+⨯=5
32
312S
=
-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152Λ20172016
. 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C 1：的离心率为
，
∴a 2=2b 2， 令x 2﹣b=0可得x=±，
∵x 轴被曲线C 2：y=x 2﹣b 截得的线段长等于椭圆C 1的短轴长， ∴2
=2b ，
∴b=1，
∴C 1、C 2的方程分别为
，y=x 2﹣1； …
（Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1，直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1与y=x 2﹣1联立得x 2﹣k 1x=0 ∴x=0或x=k 1，∴A （k 1，k 12﹣1） 同理可得B （k 2，k 22﹣1）… ∴S 1=|MA||MB|=
•
|k 1||k 2|…
y=k 1x ﹣1与椭圆方程联立，可得D （
），
同理可得E （） …
∴S 2=|MD||ME|=•• …
∴
若则
解得或
∴直线AB 的方程为
或
…
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．
20．【答案】（1）1222=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1.
【解析】
试
题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==α
α
sin cos 2y x （α为参数），消去参数α
得曲线C 的普通方程为12
22
=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θ
θsin cos 1t y t x 代入1222
=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 2
22=-++θθθt t （6分）
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,2
1
[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA .
∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为2
1
. （10分）
考点：参数方程化成普通方程． 21．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)x m m ≤+>解集为(][),22,-∞-+∞U ．
由|2|21x m ≤+，得11
22
m x m --
≤≤+，……………………2分 所以，由122m +=，解得3
2
m =．……………………4分
（2）不等式()2|23|2y y a f x x ≤+++等价于|21||23|22
y
y a x x --+≤+，
由题意知max (|21||23|)22
y
y a x x --+≤+．……………………6分
22．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan 3tan 3A B A B +=g 可得
tan tan 31tan A B
A +=--g tan()3A
B +=∴tan()3
C π-=，∴tan 3C -=，∴tan 3C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为332ABC S ∆=，∴133sin 22ab C =，即1333
222
ab ⨯=6ab =.
又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，∴222
7()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 23．【答案】证明见解析． 【解析】
考点：平面的基本性质与推论．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。