组合数学中的容斥原理及其应用实例

技术创新33组
合
数
学
申的容斥原理及其应用实例
◊
宝
鸡
文
理
学
院
数
学
与
信
息
科
学
学
院
李
海
侠
容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。

本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，
帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。

容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。

掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常
重要的研究意义。

但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围
坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。

因此，本文在
容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细
说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。

1预备知识
为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。

定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：
|4U4U-U^…|
»,,,,（1）
=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.l
i=l l<i<j<n l<i<j<k<n
|4A4n-n4；|⑵
=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.l
i=l l<i<j<k<n
运用容斥原理和组合販易得
定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”
则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）
冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）
利用容斥原理解题的思想和步骤：J
（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4
ri24y|,---,|4/容易求出。

（2）由题意求出|4|,|4门％|，…,|4门4门…ri4j（'=i，…,"，1"</"）°
（3）如果需要计算S中至少具有某一种性质的所有元素个数时，则利用（1）式求得；如果需要计算S中不具有任一性质的所有元素个数时，则利用（2）式求得，而且这
种反面思考的计数问题最常见；如果s的子集具有对称性，贝»利用（3）式求
得S中至少具有某一种性质的所有元素个数；利用（4）式求得£中不具有任一性质的所有
元素个数。

（4）如果利用定理1和定理2都不能得到所求问题的元素个数，则将定理1和定理2进行相应的转化来解决计数问题。

2容斥原理的若干应用实例
2.1圆排列中的应用
从"个不同元素取出，个元素，按照它们之间的相对位置不分首尾的将它们排成一个圆圈，这种W列方式叫做"个不同元素的〜圆排列。

例1"（"2 7）名代表P”P2,…,P”围着一圆桌就餐，要求P1，P2，P3相邻，P"5不相邻，P6，P7不相邻，贝」有多少种就座方案？
解用S表示"名代表围一圆桌就餐的入座方式集合。

令4,民（7分别表示S中P1，P2, P3相邻、刃与必相邻、卩6与P7相邻入座方式构成的集合，则国=6（”-3儿|B|=|C|=2（”
_2）!,XnB|=|4nc|=12（"_4）!,|BriC|=4（”_3）!,MnBnc|=24（"_5）!,
则由定理1的（1）式得满足条件的就座方案数为卜n歹n可=M u b u c|-肚u c|=国_
gn同-Xnc|+gnBnc|=6（"-3）!-24（”-4）!+24（”-5）!
34囱魁科技2020年•第3期
2.2多重集排列中的应用
多重集指的是集合S=｛m l-x l,m2-x2,---,m n-x n｝,即S中有"类元素，元素兀有％个(z=l,2,-,n)o运用容斥原理可以解决多重集的排列计数问题。

例2对多重集｛3*,3丁,3^｝进行排列，求相同字母不连在一起的排列数。

解设S=｛多重集｛3・x,3・y,3・z｝的所有排列｝,
4=(5中有相邻i个元素都是x的排列｝,i=2,3
B：=｛S中有相邻i个元素都是丁的排列｝,1=2,3
C t=｛S中有相邻i个元素都是z的排列｝,i=2,3
则\s\=—^―=1680,1^1=|B2|=|C2|=----------------= 113!3!3!1111111!1!3!3!1!3!3! 980,|^2052|=|^riC2|=|S2nC2|=-|y-^-|y+-|y-C21.jj)一
3.||=580,|4riB2nC2|=6!-(5!+5!+5!-C^(4!+4!+4!)+C^
•3!)-3(4!+4!+4!-C；・3!)-7・3!=282o
由定理2的(4)式可得相同字母不连在一起的排列数为：
|4n^nQ|=|5|-c]|4|+c^|4n^|-|4AB2nc2|
=1680-3x980+3x580-282=198o
2.3有禁区排列中的应用
对"个元素的全排列做出一定的限制，使某些元素不能排在某些位置上，这就是有禁区的排列问题。

显然"个元素的一种全排列可以看成"个棋子在"X"棋盘上的不同行不同列的一种特殊布局,有禁区的n个元素的一种排列与n个棋子在有禁区的"X"棋盘上的一种布局一一对应。

下面的定理给出了通过棋盘多项式解决有禁区的排列问题，其证明可以通过定理1的(2)式得到，在此省略。

定理3将棋盘C中不能放置棋子的位置看作禁区，记作棋盘4,棋盘C上除4剩下的部分记作棋盘B。

n个棋子至少有一个在棋盘4上布局的方案数记作N[A],棋子在B上布局的方案数记作M»]o令4")表示«个棋子布置到棋盘4的不同方题，贝ij N[B]=”!_片(4)•(”_1)!+2(4)•(”一2)!_…+(-1)"
认4)0!o
例3某公司要安名员工^货，从星期一到星期六每人各送货一天，要求员工甲不在星期一送货，员工乙不在星期二送货，员工丙不在星期三送货，则共有多少种安方法？
解用S表示由6个人送货的全部安排方法组成的集合，则|S|=6!=720o此问题相当于求在如图(a)所示的有禁区棋盘C 中三个棋子进行布局的方案数。

将棋盘C分为禁区棋盘4(如图 (b))和剩余棋盘B(如图(c))。

则：
1?(^)=1+3x+3x2+x3
&个棋子布置到棋盘4的方案数记作《(4)。

根据定理3得所求排列数为：
何0]=6!-朮4).5!+2(4)・4!-丐(4)・3!+片(4)・2!-与(4).1!
+%(4)・0!=720-3x120+3x24-6=426
2.4一类整除计数中的应用
利用容斥原理可以更好地求解有关整数整除性的个数问题。

利用集合的性质和容斥原理可得如下定理。

定理4设4…,4,为有限集，贝！I:
|(4U4U.・・U4)n可=|4U&u…u心uaHdl =£⑷-S|4介勺|+工|4介勺r)4t|—
i=l l<i<j<n l<i<J<k<n
+(-i)-1|4n4n-n^|
证明：|(4"U…U£)M|
=|4U4U-U4.-1|-|(4U4U-U4.-1)n4.|
=|4U4U-U4.-1|-|(4A4,)U(4n4<)U-U«1n4.)| =EI a-|-E|4g|+工|4，n4riA|—-+(-ir2 i=l lMgvQ-l
|4n/n…"4,1-[|4"4,1+14门4»|+八*+|4»一小4|-
|4n4A4,|-|4n4n4|--K2nA-1AA|+-
+(t)"_2|4介厶…"41-1
Z|4“勺|+S\a^a j n&|—…+(—i严|4run…rui
=|4U4U-U<1U4,|-|4,|
例4求从1到500中能被2,3,7之一整除而不能被5整除的整数个数。

解设44,4,九分别表示从1到500中能被2,3,7,5整除的整数集。

则：
|4|=罟卜250,1划=W=166,|4|=M=71,
4X=
500
_6_
=83,|4(?4|=500
_14_
=35,|4D4j=
500
.10_
舄M=
500
21
=23,|4(1&|=500
15
=33,4n4j=
500
35
=n,|4ri4ri4|=而=16，
14^4X1=導=7,
\a2n n a4\==4,|4n a n^4|=曙=i,
由定理端满足条件的整数个数为:
___3
|(4U4U4)n4|=Sl4|-z|4g|+Z|4gn
i=l
4|-|4g D4“41=250+166+71-(83+35+50+ 23+33+14)+(11+16+7+4)-2=285。

【参考文献】
[1]Krishnamurthy,binatorics:Theory and(下转76页
)
76魁科■技2020年•第3期
场体验、攻关体验等体育快感％能增强学生的创新思维能力，更好地掌握运动技能、提高运动成绩、达到学习目标。

2.4强化技术动作，提高教学效果
利用虚拟仿真技术将学生的训练动作与标准模拟动作显示在同一个屏幕上，在同一角度进行同步对比。

老师和学生一起对动作进行分析，帮助学生找出技术缺陷，可对学生的技术动作做量化分析，如挥拍的速度、力量、重心等，进一步做深层次的“解剖”并给出学生技术动作的指导。

在之后的学习过程中确定科学合理的教学方案，逐个要点进行针对训练，提升
2.5优化教学环境，降低安全系数
乒乓球作为小球运动，是现国民热捧的运动之一。

涉及体育运动都会存在一些安全隐患，乒乓球的课堂教学中也不例外。

通过虚拟仿真技术在乒乓球方向的运用我们可以大幅度的减少人身伤害，在场 地内设置虚拟的项目训练场景、条件，可以有效规避如球桌摆放不平稳，室外地面凹凸不平等问题，降低课堂教学中可能出现的意外与风险网，从而确保学生的安全更好的投入教学与学习中。

3虚拟仿真进入乒乓球课堂教学的可行性
3.1模拟特定环境
在以往的教学过程中由于教学环境的设定、人员的限定和教师水平的受限，学生往往都缺乏实战经验，实战能力都有待提高，通过虚拟仿真技术进入乒乓球的教学中，设立积极参与、互动的学习情境，模拟特定的环境、特定的对手，让学生可以有充足的实战练习同时可以选定不同的对手甚至国家队的选手来巩固与提高自己的技能，有效地准备比赛并提高学生的实战能力，从而使学生掌握乒乓球的理论、技术、战术，自觉自愿的形成一种开放、自主、互动的学习模式，增强学生的科学素养。

3.2虚拟动作重演
虚拟仿真技术通过各种传感器和智能
化仪器对学生进行耀采集与分析，能够
得到实时的反馈，同时还能捕捉到器材的
数据购。

比如，乒乓球的拉下旋球动作，
数据可以直观呈现出不足之处，如重心没
有下降，击球时棚E握不对，弓I拍动作不
到位等问题，根据这些采集的数据呈现出
来问题，老师可以对学生进行有目的性的
指导，弥补我们肉眼的短处，同时对照数
据和动作重演画面更加直观的让学生知道
哪里需要改进，达到镜面的效果，让学生
更快更简单的掌握技术动作要领，提高学
习效率，做到"用数据说话”保证教学的
科学性。

3.3增强学生体能
虚拟仿真稣运用于皿球课堂
教学中，采用课堂教学与课外老师监督练
习的模式，提高学生参与意识、增加学生
参与频率，通过同学之间进行比较，制定
自己的小目标，建立f竞争模式使学生
每次的练习都全身心的投入，更有利于提
高学生的成绩和竞技意识从而提高体能。

3.4提高运动技能
在乒乓球课堂教学中运用虚拟仿真技
术，能创造优越学习环境和营造良好练习
氛围％学生在练习时可利用实时数据的
显示可以直接进行比较、分析并实时纠
正，还可将学生与优蘇动员的瞬进行
比较巾，即能培养学生观察能力和动作分
析能力，又有利于学生错误动作的及时纠
正，使学生的技术动作更加准确规范，能
够明显提高学生的运动技能％
4结语
课軽学的质量直接影响心培养质
量，教学手段的创新是教学改革中的重要
方面。

随着科学林的綁，虚拟仿真技
术已迅速融入人们的日常生活中，极大地
丰富了人们的生活方式。

由于起步较晚，
虚拟仿真技术进入课堂的研究大多停留基
础理论层面，在应用层面研究成果薄弱还
处于初级阶段。

笔珮为虚拟仿真稣进
入乒乓球课堂教学具有很大的发展空间，
是现代课堂教学的—HCT端。

虚拟仿真
为教学手段带来活力，改变了传统式的教
学手段，同时还能保证教学内容与手段的
匹配，适应了教学改革的新趋势，做到理
论与实践的有机统一，引导学生发现问
题、分析问题、解决问题这有利于学生创
新性思维的培养。

总之，虚拟仿真进入乒
乓球课堂教学将是体育教育教学的f重
要研究方向。

【参考文献】
[1]王卫国，胡今鸿,刘宏国.外高校虚
拟仿真实验教学现状与发展[J]•实验室研
究与探索,2015,34(5):214-219
[2]邵瑞芳.虚拟仿真技术在体育专业
术课课堂教学中的应用研究[D].杭州:杭卅
师范大学,2018
[3]陈强.高校体育教学困境及改革方
向[J].体育世界(学术版),2019(10):122-123
[4]孙月舟，沈勇.体育教学与运动训练
中的虚拟仿真技术辅助手段研究[J].哈尔
滨师范大学自然科学学报,2006,22(6):105-
107
[5]邢中有.虚拟仿真技术在体育专业
术科课堂教学中的运用研究U].许昌学院
学报,201&37(8):84-88
[6]陈红卫，袁伟.虚拟仿真在课堂教学
中的应用一以微机原理与接口技术课堂教
学为例[J].长春教育学院学报,2014,30(7):3
—5
[7]宋丽.应用虚拟现实技术对竞技体
育进行仿真训练的探讨[J]•西安邮电学
报,2007,12(6):171-173
基金项目：1、2019年度湖南省大学
生创新创业训练计划项目(1442);2、
湖南省教育厅科学研究项目优秀青年项目
(18B313)0
(上接34页)Applications[M].Ellis Horwood Limited,1986
[2]姜建国，岳建国.组合数学(第二版)[M].西安:电子科技大学出版社,2003
⑶崔军.容斥原理及其简单应用口新疆广播电视大学学报,2006,10(4):42-44
[4]张桂芝，安永红.容斥原理的若干应用[J].呼伦贝尔学院学报,2010,18(4):111-113
[5]姜宁，李菲菲.容斥原理在更列问题中的应用实例[J].数学学习与研究,2012,3:139
⑹周斌.组合数学的容斥原理与递归关系在数论中的应用研究实例[JJ.西安文理学院学报(自然科学版),2017,20(4):5-10
[7]张深林.夫妻排列问题的推广与证明口闽江学院学报,201&39⑸:17-21
[8]唐善刚.容斥原理及在环形错排计数中的应用几云南大学学报(自然科学版),2018,40(3):405-414
[9]唐善刚.与群作用于集合的等价类计数有关的组合恒等式[J]冲山大学学报(自然科学版),2019,58⑸:137-144
基金项目：1、陕西省自然科学基础研究计划项目(2015M1008);2、宝鸡文理学院博士科研项目(ZK2018069)。