河北高二高中数学期中考试带答案解析

河北高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．D．
2.已知，如果与为共线向量，则（）
A．B．C．D．
3.定积分的值为（）
A．B．C．D．
4.函数在点处的切线方程为，则（）
A．-4B．-2C．2D．4
5.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
6.正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值（）
A．B．C．D．
7.函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）
A．B．C．D．
8.观察下列各式：
，，则（）
A．28B．76C．123D．199
9.若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
10.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
11.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）
A．1B．C．D．2
12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为（）
A．B．C．D．
二、填空题
1.若向量，满足条件，则 __________．
2.曲线与直线所围成的平面图形的面积为 .
3.设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．
4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．
三、解答题
1.已知曲线经过点，求：
（1）曲线在点处的切线的方程；
（2）过点的曲线的切线方程.
2.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且
．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
3.已知函数，若曲线在点处的切线斜率为3，且时，有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
4.在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
5.已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为．直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
6.已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
河北高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.下列求导运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A. 错，；
B. 正确；
C．错，
D. 。

2.已知，如果与为共线向量，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设可得，解之得，应选答案D。

3.定积分的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由定积分公式可得，应选答案A。

4.函数在点处的切线方程为，则（）
A．-4B．-2C．2D．4
【答案】C
【解析】本题解析!
由导数的定义可得，应选答案C。

5.有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
【答案】A
【解析】因导数函数的零点不一定都是极值点,故大前提错位,应选A．
【考点】三段论及运用．
6.正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2），
∴=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为θ，
则
【考点】异面直线及其所成的角
7.函数在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】结合原函数的图像可以看出：函数在时有两个极值点，而且是先增后减，然后再增，等价于导函数有两个零点，而且图像是开口向上的抛物线；在是单调递增函数，则导函数的图像在轴上方，应选答案C。

8.观察下列各式：
，，则（）
A．28B．76C．123D．199
【答案】C
【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即
【考点】归纳推理
9.若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设可得在上有解，即函数的图像在上有交点。

因
，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减。

故函数在当时取最大值，最小值是，故当时函数的图像在上有交点，应选答案A。

10.已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题设，即恒成立，也即，解之得，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是如何进行等价转化，当求得函数的导数后，如何建立不等式成为解答本题的难点与突破口，这需要具有一定的思维能力。

由于导函数是开口向下的抛物线，因此不可能恒大于零，因此必须小于等于零。

也即不等式恒成立，进而将问题化为其判别式，然后通过解不等式，从而使得问题获解。

11.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱中，若，点是的中点，所以，所以
，设平面的法向量为，因为
，所以，所以，所以点到平面的距离是
，故选B．
【考点】点到平面的距离的求解．
【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．
12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式
的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设可构造函数，由于，即函数单调递增，而原不等式可化为，即，所以解之得
，应选答案D。

点睛：解答本题的关键是构造函数，也是解答本题的难点与突破口，这需要具有一定的观察能力。

然后对该函数进行求导，借助题设条件判定该函数是单调递增函数，进而将原不等式可化为
，然后借助函数的单调性求出其解集，从而使得问题巧妙获解。

二、填空题
1.若向量，满足条件，则 __________．
【答案】2
【解析】因为向量，所以，则
，解之得，应填答案。

2.曲线与直线所围成的平面图形的面积为 .
【答案】
【解析】联立,交点,,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为
.
【考点】1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.
【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交
点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本
题中，若对进行定积分，，有些麻烦，这里就转化为对进行定积分，要容易很多.
3.设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是__________．【答案】
【解析】由题意问题可化为求函数的最小值。

因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函
数单调递增。

又，，应填答案。

点睛：解答本题的关键是运用等价转化与化归的数学思想将已知问题进行转化。

即转化为求函数的最小值。

求解时，先对函数解析式进行求导，进而求出极值点，然后再求出其最小值为，从而使得
问题获解。

4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为__________．
【答案】
【解析】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即，要使用料最省即求全面积的=πr2+2πrh==
最小值，而S
全面积
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S
=πr2+2πrh==，利用基本不等式可求用料最小时的r
全面积
解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
=πr2+2πrh==
S
全面积
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S
=πr2+2πrh==
全面积
==27π
当且仅当即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．
三、解答题
1.已知曲线经过点，求：
（1）曲线在点处的切线的方程；
（2）过点的曲线的切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】【试题分析】（１）运用导数的几何意义先求斜率再运用直线的点斜式方程求解；（２）先设切点坐标再借助导数的几何意义求斜率，运用直线的点斜式方程求解：
（1）将代入中得，∴，∴，
∴曲线在点处切线的斜率为，
∴曲线在点处的切线方程为，即；
（2）∵点不在曲线上，设过点的曲线的切线与曲线相切于点，
则切线斜率，由于，∴，
∴切点，切线斜率，切线方程为，即．
2.如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且
．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.
试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得
（1）证明：
，所以.
（2），设平面的一个法向量为，
由，得，即，解得，可取
设侧面的一个法向量为，由，及
可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得
所以.即所求二面角的大小为.
【考点】空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.
3.已知函数，若曲线在点处的切线斜率为3，且时，有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）在上的最大值为13，最小值为-11.
【解析】【试题分析】（１）运用导数的几何意义建立方程组求解；（２）导数与函数单调性之间的关系分析探求：因，故
（1）由题意得，，解得，
经检验得时，有极小值，所以；
（2）由（1）知，．令，得，
的值随的变化情况如下表：
极小值
∵，，，，
∴在上的最大值为13，最小值为-11．
点睛：本题以含两个参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查导数的几何意义及导数与函数的单调性＼极值（最值）的关系等方面的综合运用。

求解本题的第一问时，先运用导数的几何意义建立方程组求出，
求出函数的解析式；解答第二问时，先对函数解析式求导，再求函数的极值点，借助导数与函数单调性之间的关系分析探求出其最大值和最小值使得问题获解。

4.在平面四边形中，，，将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由平面平面，得到，进而证得平面，即可利用面面垂直的判定
定理，作出证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设直线与平面所成的角，利用线面角的计算公式，即可求解直线与平面所成角的正弦值．
试题解析：（1）平面平面，平面平面平面平面，又平面．
（2）过点在平面内作，由（1）知平面平面．
以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得，
则，设平面的法向量，
则，即，取，得平面的法向量，设直线与平面的所成
角为，则，
即直线与平面的所成角的正弦值为．
【考点】平面与平面垂直的判定与证明；线面角的求解．
5.已知曲线上的动点满足到点的距离比到直线的距离小1．
（1）求曲线的方程；
（2）动点在直线上，过点分别作曲线的切线，切点为．直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】（1）x2=4y；（2）直线AB过定点（0，2）.
【解析】（1）由已知动点满足到点的距离比到直线的距离小1，可得：动点满足到点的距离与到直线的距离相等．利用抛物线的定义可知：点的轨迹是抛物线；（2）设，设切线的切点为，由得，利用导数可得，利用向量计算公式即可得出
，解出，即可得出切点，，进而得到切线方程.
试题解析：(1)因为动点满足到点的距离比到直线的距离小1,所以动点满足到点的距离与直线的距离相等.
所以曲线是以为焦点为准线的抛物线,所以曲线的方程是:.
(2)设,切点为,由得,所以,所以,解得:,所以
,
,化简直线方程得:，
所以直线恒过定点.
6.已知函数．
（1）若，求函数的极值和单调区间；
（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，有极小值为．的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）.
【解析】（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．
试题解析：（1）当，，
令，得，
又的定义域为，由得，由，得，
所以时，有极小值为，
的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且，令，得到．若在区间上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于．
当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为．
由，得，即.
当，即时，
①若，则对成立，所以在区间上单调递减，
则在区间上的最小值为．
显然，在区间上的最小值小于不成立．
②若，即时，则有
所以在区间上的最小值为，
由，得，解得，即，
综上，由①②可知：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.
【方法点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力．。