【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值课件 理

热点命题· 突破 02
考点突破 解码命题
确定函数的单调性或单调区间
【例 1】 上的单调性．
k (1)判断函数 f(x)＝x＋ (k>0)在(0，＋∞) x
(2)求函数 y＝log1 (x2－4x＋3)的单调区间．
3
【解】 (1)法 1： 任意取 x1>x2>0， 则
k f(x1)－f(x2)＝x1＋x 1
(1)(2014· 北京卷 )下列函数中，在区间 (0，＋∞)上为增 函数的是( ) B．y＝(x－1)2 D．y＝log0.5(x＋1)
2
A．y＝ x＋1 C．y＝2－x
(2)若函数 f(x)＝log1 (2x2＋x)，则 f(x)的单调递增区间为 ________．
解析：(1)A 项，y＝ x＋1为(－1，＋∞)上的增函数， 故在(0，＋∞)上递增；B 项，y＝(x－1)2 在(－∞，1)上递减， 在(1，＋∞)上递增；C 项，y＝2
x－5 (1)函数 y＝ 在(－1，＋∞)上单调递增，则 a 的 x－a－2 取值范围是( )
A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3
ax (2)已知 f(x)＝ a 4－ x＋2 2
x>1， x≤1 ) 是 R 上的单
调递增函数，则实数 a 的取值范围为( A．(1，＋∞) C．(4,8) B．[4,8) D．(1,8)
答案：(1)C (2)B
解得 4≤a<8，故选 B.
利用单调性求函数的最值
1 1 【例 3】 已知函数 f(x)＝a－x(a>0，x>0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； 1 1 (2)若 f(x)在[ ，2]上的值域是[ ，2]，求 a 的值． 2 2
【解】 (1)证明：设 x2>x1>0，则 x2－x1>0，x1x2>0， 1 1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝( － )－( － ) a x2 a x1 1 1 x2－x1 ＝x －x ＝ x x >0， 1 2 1 2 ∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的． 1 1 (2)∵f(x)在[2，2]上的值域是[2，2]， 1 又 f(x)在[2，2]上单调递增， 1 1 2 ∴f(2)＝2，f(2)＝2，∴a＝5.
必考部分
第二章
函数、导数及其应用
第二节
函数的单调性与最值
主干知识· 整合
热点命题· 突破
课堂实效· 检测
课时作业
主干知识·整合 01
要点梳理 追根求源
函数的单调性
1．单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是______________ 则称函数 f(x) 增函数或减函数，
(2)已知
2－ax＋1，x<1， f(x)＝ x a ，x≥1，
满足对任意 x1≠x2，
fx1－fx2 都有 >0 成立，那么 a 的取值范围是________． x1－x2 利用函数的单调性求参数或参数的取值范 围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性 定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．
(1)对于给出具体解析式的函数， 证明或判断其 在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步 骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论 )求解；②可 导函数则可以利用导数解之． (2)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则 减”， 即 y＝f(u)与 u＝g(x)若具有相同的单调性， 则 y＝f[g(x)] 为增函数，若具有不同的单调性，则 y＝f[g(x)]必为减函数．
答案：B
3．函数 f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：要使 y＝log5(2x＋1)有意义，则 2x＋1>0，即 x> 1 1 －2，而 y＝log5u 为(0，＋∞)上的增函数，当 x>－2时，u 1 ＝2x＋1 也为增函数， 故原函数的单调增区间是(－2， ＋∞)． 1 答案：(－2，＋∞)
2．两函数 f(x)，g(x)在 x∈(a，b)上都是增(减)函数，则 1 f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)· g(x)， 等的单调性与其 fx 正负有关，切不可盲目类比．
3．复合函数的单调性：对于复合函数 y＝f[g(x)]，若 t ＝g(x)在区间(a， b)上是单调函数， 且 y＝f(t)在区间(g(a)， g(b)) 或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若 t＝g(x)与 y＝f(t)的单调性 相同(同时为增或减)，则 y＝f[g(x)]为增函数；若 t＝g(x)与 y ＝f(t)的单调性相反，则 y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异 减．
4．函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么函数 f(x)的定义 域是________；最大值是________；最小值是________．
解析：由图象可知，函数的定义域为[－3,0]∪[2,3]，最 大值为 5，最小值为 1.
答案：[－3,0]∪[2,3] 5
1
1 5．函数 f(x)＝1－ 在[1,2]上的最大值和最小值分别 x＋1 是________．
答案：(1)3 (2)－4 1 －2
区间 D 叫做 f(x)的单调 在这一区间上具有(严格的)单调性，_______
区间．
1．单调区间与函数定义域有何关系？ 提示：单调区间是定义域的子区间．
1 2．函数 f(x)＝ x 的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 吗？ 1 提示：不是，f(x)＝ x的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋ ∞)，中间不能用“∪”，也不能用“或”联结．
1 解析：f(x)＝1－ 在[1,2]上是增函数， x＋1 2 1 所以 f(x)max＝f(2)＝3，f(x)min＝f(1)＝2.
2 1 答案：3，2
1． 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集 合或不等式表示，如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
x－5 a－3 解析：(1)y＝ ＝1＋ ， x－a－2 x－a＋2 由函数在(－1，＋∞)上单调递增，
a－3<0 有 a＋2≤－1
，解得 a≤－3.
(2)因为 f(x)是 R 上的单调递增函数， a>1， 4－a>0， 2 所以可得 a a≥4－ ＋2. 2
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( A．y＝－x＋D．y＝ x
答案：B
2．函数
x＋1，x≥0， f(x)＝ x－1，x<0
在 R 上是(
)
A．减函数 C．先减后增
B．增函数 D．无单调性
解析：函数 f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定 义可知，此函数在 R 上是增函数．
解析：(1)由于
1 y＝3x 在
R 上递减，y＝log2(x＋2)在[－
1,1]上递增，所以 f(x)在[－1,1]上单调递减，故 f(x)在[－1,1] 上的最大值为 f(－1)＝3. x2 (2)因为 f(x)＝ ，所以 f′(x)＝ x－3
x2′· x－3－x2x－3′ xx－6 ＝ ，又 x∈[1,2]，所以 x x－32 x－32 －6<0， 所以 f′(x)<0， 故 f(x)在[1,2]上为减函数， 所以 f(x)min 1 ＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(1)＝－2.
【解析】
(1)当 a＝0 时，f(x)＝2x－3，在定义域 R 上
是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 1 当 a≠0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x＝－ ， a 因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增， 1 1 所以 a<0，且－ ≥4，解得 0>a≥－ . a 4 1 综合上述得－4≤a≤0.
1 f(x)的单调增区间为－∞，－2.
1 (2)－∞，－2
答案：(1)A
已知函数单调性求参数
【例 2】 (1)如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－ ∞，4)上是单调递增的，则实数 a 的取值范围是( 1 A．a>－4 1 C．－4≤a<0 1 B．a≥－4 1 D．－4≤a≤0 )
函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I，都有 条件 f(x)≤M； ①对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M；
②存在 x0∈I，使得 f(x0) ②存在 x0∈I，使得 f(x0) ＝M. ＝M. M 为最大值 M 为最小值
结论
最值与函数的值域有何关系？ 提示： 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小 元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最 值不一定存在．
k 当 x1>x2≥ k时，x1－x2>0,1－ >0， x1x2 有 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， k 此时，函数 f(x)＝x＋x(k>0)在[ k，＋∞)上为增函数； k 综上可知，函数 f(x)＝x＋x(k>0)在(0， k]上为减函数； 在[ k，＋∞)上为增函数． k k 法 2：f′(x)＝1－x2，令 f′(x)>0，则 1－x2>0， k 解得 x> k或 x<－ k(舍)．令 f′(x)<0，则 1－x2<0，
解得－ k<x< k.∵x>0，∴0<x< k. ∴f(x)在(0， k)上为减函数；在( k，＋∞)上为增函数， 也称为 f(x)在(0， k]上为减函数；在[ k，＋∞)上为增函数． (2)令 u＝x2－4x＋3， 原函数可以看作 y＝log1 u 与 u＝x2
3
－4x＋3 的复合函数． 令 u＝x2－4x＋3>0.则 x<1 或 x>3. ∴函数 y＝log1 (x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，