2012年高考数学复习专题---函数的单调性与最大(小)值
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函数的单调性与最大(小)值-高考数学复习
1
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
f(x)在区间[2,6]上的最大值为 1,最小值为5.
解题心得1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最
小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间[b,c]上单调递减(增),则f(x)
能力形成点2
利用函数的单调性求最值
1
例3 已知函数 f(x)= .
-1
(1)判断f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值.
解 (1)函数 f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
证明:任取 x2>x1>1,则
1
1
f(x1)-f(x2)=
−
件 都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
那么就称函数 f(x)在区间 D 上
单调递减
结 单调递增
论 当函数 f(x)在它的定义域上单调 当函数 f(x)在它的定义域上单调
递增时,称它是增函数
递减时,称它是减函数
图
示
结 如果函数 y=f(x)在区间 I 上单调递增或单调递减,那么就说函数 y=f(x)
的上升或下降确定其单调性
导数法
先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间
对于由基本初等函数的和、差构成的函数,可根据各初等函数
性质法
的单调性及f(x)±g(x)的单调性进行判断
对于复合函数y=f(g(x)),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(
复合法
判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规
函数单调性和最大小值课件ppt
变式4
讨论函数 f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性.
解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a， （1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增； （2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性， 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
值随着 _增___大____ ．
2．f (x) = -2x+1
① 从左至右图象上升还是下降 _下__降___? ②在区间（__-_∞_，__+__∞_）___ 上，随着x的增大，f (x)的值 随着 __减__小____ ．
3．f (x) = x2
①在区间 __(_-_∞_,_0_]_____ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _减___小____ ． ② 在区间 _（__0_，__+__∞_）___ 上，f (x)的值随 着x的增大而 _增__大_____ ．
_____________
讨论函数
在(-2,2)内的单调性.
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
y 区间D内随着x的增大，y也增大
(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
单调递减区间：
是定义在R上的单调函数，且
的图
f(x)x 2x （2）求适合
诉例我4、们物，理对学于中一的定玻量意的耳气定体律，当p其Vk体(k积为V正 减常 小时数 ) 告，
压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
「函数的单调性与最大(小)值课件」
1.3．１函数的单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性学习目标要求:1.理解函数单调性的概念；2.掌握判断函数单调性的一般方法；3.体验数形结合思想在函数性质研究中的价值,掌握其应用。
一、函数单调性的概念1:增函数（1)定义:设函数ｆ(ｘ)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时,都有f(x１)<f(x2），那么就说函数ｆ(ｘ）在区间D上是增函数,区间D称为函数f(x)的单调递增区间。
(2)几何意义：函数f(x)的图象在区间D上是上升的,如图所示：２:减函数(1）定义:设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、ｘ2,当x1<x2时,都有f(x１)>f（ｘ2),那么就说函数f(ｘ)在区间D上是减函数,区间D称为函数f(ｘ)的单调递减区间。
（2）几何意义:函数f(x）的图象在区间Ｄ上是下降的，如图所示:3:单调性与单调区间定义：如果函数y=f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(ｘ)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做ｙ＝f(x)的单调区间。
思考:(1）单调性是函数在定义域上的“整体”性质吗?不是,由定义中“定义域I内某个区间D”知函数的单调递增区间或单调递减区间是其定义域的子集,这说明单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在定义域的不同区间可以有不同的单调性。
(２）定义中的“ｘ1、ｘ2”具备什么特征?定义中的x1、x２有以下几个特征：一是任意性,即任意取x１,ｘ2,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小,通常规定x１<x2；三是属于同一个单调递增区间或单调递减区间。
(3）增（减）函数定义的核心是一组不等关系,据此你还能得出什么结论？增函数有>0，减函数有<０二、判断函数单调性的一般方法(1)定义法:利用定义严格判断。
一般步骤如下：①取值:任选定义域中同一单调区间Ｄ上的自变量值x1，ｘ2，且设x1<x２;②作差：求f(x２）－f(x1);③变形:即将②中的差式f(x２)-f(x1）进一步化简变形，变到利于判断f（x２)-ｆ（ｘ1)的正负为止;变形的主要技巧：A、因式分解:当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；B、通分:当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解；C、配方:当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方,便于判断符号;D、分子或分母有理化：当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子或分母有理化,如f(x)=④定号：根据变形结果,确定f(ｘ2)-f（ｘ１)的符号；⑤判断：根据ｘ1与x2的大小关系及f（ｘ1)与f(ｘ2）的大小关系,结合单调性定义得出结论。
函数的单调性与最大(小)值PPT优秀课件1
＝xa2＋＋11－xa1＋＋11 ＝（ （ax＋1＋11））（（xx1－ 2＋x12） ）， 又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以f(x1)－f(x2)>0.
由于x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
第17页
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
又∵a≥1， ∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减 ．
第6页
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考点突【例 2－1】 已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；(2)求函数 y＝f(x)在区间 (0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.
A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，
所以 a＝f －12＝f 52，
故b＞a＞c. 答案 D
第14页
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考点突破 考点二 函数单调性的应用 [微题型3] 比较函数值的大小
第10页
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考点突破 考点二 函数单调性的应用
[微题型2] 利用单调性求参数范围
【例 2－2】(1)若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1，2]上 都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1) C．(0，1) D．(0，1] (2)见下一页
由于x1<x2<－1， ∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0， ∴a＋1<0，即a<－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
第17页
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2)
又∵a≥1， ∴f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减 ．
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考点突【例 2－1】 已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实数). (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；(2)求函数 y＝f(x)在区间 (0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.
A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 且在(1，＋∞)上是减函数，
所以 a＝f －12＝f 52，
故b＞a＞c. 答案 D
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考点突破 考点二 函数单调性的应用 [微题型3] 比较函数值的大小
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考点突破 考点二 函数单调性的应用
[微题型2] 利用单调性求参数范围
【例 2－2】(1)若函数 f(x)＝－x2＋2ax 与 g(x)＝x＋a 1在区间[1，2]上 都是减函数，则 a 的取值范围是( ) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1) C．(0，1) D．(0，1] (2)见下一页
2012届高考理科数学一轮复习课件：2.2函数的单调性与最大小值(北师大版)
即 f(x1)－f(x2)>0，所以 f(x1)>f(x2)． 2 故 f(x)＝ 在(－1，＋∞)上为减函数． x＋1 (2)函数 如下： 任取 x1、x2∈[1，＋∞)，且 x2>x1≥1， 则 f(x1)－f(x2)＝ (－x12＋2x1＋1)－(－ x22＋2x2＋ 1)＝ (x22－ x12)＋2(x1－ x2)＝ (x2＋ x1)(x2－ x1)＋2(x1－x2)＝ (x2－ x1)(x2＋ x1－ 2)． f(x)＝－x2＋2x＋1 在[1，＋∞)上为减函数，证明
2 【解析】 (1)函数 f(x)＝ 在(－1，＋∞)上为减函数． x＋1 利用定义证明如下： 任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1<x1<x2， 则有 x1－x2<0， 2x2－x1 2 2 f(x1)－f(x2)＝ － ＝ ， x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1 ∵－1<x1<x2，∴x1＋1>0，x2＋1>0，x2－x1>0. 2x2－x1 ∴ >0， x1＋1x2＋1
分类讨论．
例 1 判断下列函数的单调性并证明 2 (1) f(x)＝ ，x∈(－1，＋∞)； x＋1 (2) f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)； (3) f(x)＝ x＋1，x∈[－1，＋∞)．
【分析】 先判断单调性，再用单调性的定义证明． (1)
采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有 理化的方式进行变形．
(2)单调区间的定义 若函数 f(x) 在区间 D 上是增函数或减函数， 则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性，区间D叫做 f(x)的单调区间．
思考探究1：如果一个函数在定义域的几个 区间上都是增(减)函数，能不能说这个函数在 其定义域上是增(减)函数？ 1
高三总复习数学课件 函数的单调性与最大(小)值
3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f
1 2
的实数x的取
值范围为
()
A.－∞，12
B.－1，12
C.－1，12
D．－1，1
－1≤x≤1， 解析：由题设得x<12，
解得－1≤x<12.
答案：B
4．(人教B版必修第一册P103·T5改编)函数f(x)＝
3 2x－1
解析：因为 f(x)＝|x2－6x＋8|＝
x－2－x26＋x＋6x8－，8x，≥24<，x<4， x2－6x＋8，x≤2，
函数图象如图所示．由图可知
函数 f(x)的单调减区间为(－∞，2)和(3,4)．
答案：AC
()
3．(多选)在下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，fxx11－ －fx2x2<0的是
(3)y＝ax＋
b x
(a>0，b>0)的单调递增区间为
－∞，－
b a
和
ba，＋∞，单调递减区间为－
ba，0和0，
ba.
(4)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减
函数．
(5)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同
增异减”．
2．掌握以下几个注意点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪” 连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概 念，显然N⊆M.
意；对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上
高考理科数学《函数的单调性与最大(小)值》课件
所以函数 y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单
调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(5)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单
调性．
解法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝（x1a－（1x）2－（xx12）－1），
解：先作出函数 y＝x2－4x＋3 的图象，由于绝对值的作用，把 图象在 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y＝|x2－4x＋3|的图象，
如图所示．
由图可知 f(x)在(－∞，1]和[2，3]上为减函数，在[1，2]和[3， ＋∞)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调
递减区间为(－∞，1]，[2，3]．
(5)已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax.证明：当 a≥1 时，
函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x12＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x112－ ＋x22x22＋1－a(x1－x2)
2
＝x2－3x＋2，y＝log1u(u>0)，由于内层函数 u＝x2－3x＋2
2
在 x∈(－∞，1)上单调递减，外层函数 y＝log1u 在 u∈(0，
2
＋∞)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 y＝log1(x2
2
－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选 A.
(3)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(5)试讨论函数 f(x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单
调性．
解法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝（x1a－（1x）2－（xx12）－1），
解：先作出函数 y＝x2－4x＋3 的图象，由于绝对值的作用，把 图象在 x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数 y＝|x2－4x＋3|的图象，
如图所示．
由图可知 f(x)在(－∞，1]和[2，3]上为减函数，在[1，2]和[3， ＋∞)上为增函数，故 f(x)的单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调
递减区间为(－∞，1]，[2，3]．
(5)已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax.证明：当 a≥1 时，
函数 f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2 ＝ x12＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x112－ ＋x22x22＋1－a(x1－x2)
2
＝x2－3x＋2，y＝log1u(u>0)，由于内层函数 u＝x2－3x＋2
2
在 x∈(－∞，1)上单调递减，外层函数 y＝log1u 在 u∈(0，
2
＋∞)上单调递减，由复合函数单调性可知，函数 y＝log1(x2
2
－3x＋2)的单调递增区间是(－∞，1)．故选 A.
(3)函数 f(x)＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
高考数学考点回归总复习课件 第六讲 函数的单调性与最大(小)值
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f (x1) f (x2 ) 0. x1 x2
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一
函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接 法､图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 D上是减函数
自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)
在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;
B.1,
C.,0 0,1
D.,0 1,
答案:D
4.(2011 福建模拟)已知函数y 1 x
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个 命题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
类型三
求函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数, 常用配方法.
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单 调性,然后利用单调性求最值.
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常 用此法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时,一 般采用此法.
④ f (x1) f (x2 ) 0. x1 x2
其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一
函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接 法､图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说函数f(x)在区间 D上是减函数
自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)
在这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;
B.1,
C.,0 0,1
D.,0 1,
答案:D
4.(2011 福建模拟)已知函数y 1 x
为M,最小值为m,则 m 的值为( ) M
A. 1
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个 命题:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
类型三
求函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数, 常用配方法.
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单 调性,然后利用单调性求最值.
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常 用此法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时,一 般采用此法.
单调性与最大(小)值 课件
【解】 (1)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2 ＋2，
∴二次函数图象的对称轴为x＝1－a，要使f(x)在(－∞，4] 上是减函数，只要1－a≥4，∴a≤－3.
(2)要使f(x)的增区间为[4，＋∞)，只有对称轴x＝1－a＝ 4，∴a＝－3.
规律技巧 注意本题(1)与(2)的不同之处，(1)只要对称轴 在x＝4的右侧或与其重合，而(2)中对称轴必须与x＝4重合．对 于此类题目，可以画图分析作答．
单调性和最大（小）值
1.单调性定义 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子集而言的，有 些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数 在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能 是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如函数 y＝ 1.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则这个函 数在定义域内不存在单调性．
∴x1－x2<0,0<x1x2<1，∴x11x2>1,1－x11x2<0， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． ∴f(x)在(0,1)上为减函数．
规律技巧 在用定义判断或证明函数的单调性时，其方 法步骤是：①在定义域区间内任取两个值x1，x2，不妨设 x1<x2；②作差fx1－fx2，变形配方、因式分解或通分等确 定符号，当符号不易确定时，要分情况讨论；③写出结论.
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在下列条件 下，分别求实数a的取值范围．
(1)f(x)在区间(－∞，4]上是减函数； (2)f(x)的增区间为[4，＋∞)． 【分析】 函数f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛 物线，在对称轴左侧为减函数，在对称轴右侧是增函数，因此 本题找出对称轴，便可作答．
单调性与最大(小)值_课件3
【解】(1)(图象法)由于 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11（（xx＜≥00）），， 即 y＝－－（（xx－＋11））22＋＋22（（xx＜≥00）），. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，
1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．
(2)(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－x－1＋1 1＝
函数的单调性与最大（小）值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某
定 个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
义
___f_(x_1_)_<_f(_x_2_) _____，那么 就说函数f(x)在区间D上是 增函数
__f_(x_1_)_>_f(_x_2_) ，那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数
函数 f(x)在(－1，1)上递增．
求函数的单调区间与确定单调性的方法： (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复 合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域、再利用单调性定义． (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象 易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
即a4>－1a2>0
，解得 a∈[4，8)．
a≥4－a2＋2
所以f21＝12， 即 f（2）＝2，
a1－2＝12， 解得
1a－12＝2，
a＝25.
忽视函数的定义域致误
(2014·江苏无锡模拟)已知函数 f(x)＝
x2＋1，x≥0，则满足不等式 1，x<0，
f(1－x2)>f(2x)的
2.2 函数的单调性与最大(小)值
解
方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
ax1 ax2 则f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 x1 1 x2 1 a ( x2 x1 )(x1 x2 1) . 2 2 ( x1 1)(x2 1) ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
________ 区间D 叫做f（x）的单调区间.
2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足 ①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 f（x）≥M ； 都有___________ f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 f （ x 0） = M _____________. f （x ）=M _______________.
x2 2 x1 2 0, 于是f(x2)-f(x1)= a a x2 1 x1 1 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
x2 x1
3 (a 1), 方法二 x 1 求导数得 f ' ( x) a x ln a 3 2 , ( x 1) 3 x 0, ∵a>1,∴当x>-1时，a ln a>0, 2 ( x 1) f ( x) a x 1
0
条件
结论
M为最大值
M为最小值
基础自测
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 (B )
A.y=-x+1
B. y= x 2 2 C.y=x -4x+5 D. y x 2 2 解析 ∵y=-x+1,y=x -4x+5, y 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
第2讲 函数的单调性与最大(小)值
因为
1>
3 2>
22，所以
b＝f(
3 2 )>f(
22)＝a，c＝f(
26)＝f(2－
26)．因为
2 2
<2－
6 2<
23，所以
b>c>a，故选
A．
考向 2 解函数不等式
例5 已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 ________．
因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋ 2＝2，
所以，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－∞，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， f(x)在(－∞，1)上单调递增．
考 点 二 函数的最值
例3
(1)函数
f(x)
＝
(
1 3
)x
－
log2(x＋4)
在
区
间
[
－
2
，
2]
上
的
最
大
值
为
________．
因为函数 y＝(13)x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减，
所以函数 f(x)＝(13)x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减，
所以函数 f(x)的最大值为
f(－2)＝(13)－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8.
答案：8
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
D 易知 f(x)＝2x－x－1 1在(1，＋∞)上单调递增，又 5> 3> 2， 故 f( 5)>f( 3)>f( 2)，即 c>b>a.
单调性与最大(小)值_课件9
【方法点评】 1.用定义证明函数单调性 的一般步骤
(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两 个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))， 并通过通分、配方、因式分解等方法，向 有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号， 确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号， 当符号不确定时，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论
【解析】 依据增函数的定义可知，对于 ①③，当自变量增大时，相对应的函数值 也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增 函数．
【答案】 ①③
5．函数 y＝x＋x 1的值域为________． 【解析】 y＝x＋x 1＝x＋x＋1－1 1＝1－x＋1 1， 由函数的图象得 y＜1 或 y＞1， ∴值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
那么就说函数f(x)在区 那么就说函数f(x)在区
间D上是增函数
间D上是减函数
增函数
减函数
图 象 描 述 自左向右看图象是
__上__升_的___
自左向右看图象是 _下__降__的___
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是__增__函__数__或 __减__函_数__，则称函数f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性，___区__间_D__叫做f(x)的
是( )
A．3
3 B.4
C．2
3 D.2
【解析】 数形结合如右图，要使值域为 [0,2]，(b-a)min=1-14=34
【答案】 B
4．设 x1，x2 为 y＝f(x)的定义域内的任意两个 变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0； ③f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0； ④f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0. 其 中 能 推 出 函 数 y＝ f(x) 为 增 函 数 的 命 题 为 ________．
第10讲函数的单调性与最大(小)值(原卷版)
第10讲 函数的单调性与最大（小）值1．理解函数的单调性及其意义，明确增函数、减函数的图象特征； 2．能根据图象写出函数的单调区间，并能利用定义进行证明； 3．理解函数的最大（小）值及其几何意义，会求一些简单函数的最值。
一、函数的单调性 1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数； 当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势 下降趋势3、函数的单调区间：若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间． 【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 二、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x )＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≤M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最大值，记作y max ＝f (x 0)．2、最小值：对于函数y ＝f (x )，其定义域为D ，如果存在x 0∈D ，f (x )＝M ，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )≥M ，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值，即当x ＝x 0时，f (x 0)是函数y ＝f (x )的最小值，记作y min ＝f (x 0)．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．三、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设x 1，x 2为该区间内任意的两个值，且x 1＜x 2②作差变形：做差f （x 1）f （x 2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。
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2 x12 1 0, x2 1 0, | x1 x2 | 1,
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )( x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)( x2 1)
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
解
方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
ax1 ax2 2 x12 1 x2 1 a( x2 x1 )( x1 x2 1) . 2 2 ( x1 1)( x2 1) ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0, 则f ( x1 ) f ( x2 )
0
条件
结论
M为最大值
M为最小值
基础自测
143;1
B. y= x 2 2 C.y=x -4x+5 D. y x 2 2 解析 ∵y=-x+1,y=x -4x+5, y 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
以看出在（0，2）上都是减函数.
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 A.有且只有一个 C.至多有一个 B.有2个 D.以上均不对 （C ）
解析
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
x2 2 x1 2 0, 于是f(x2)-f(x1)= a a x2 1 x1 1 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
x2 x1
方法二
3 f ( x) a 1 (a 1), x 1
x
求导数得 f ' ( x) a x ln a
3 , 2 ( x 1)
∵a>1,∴当x>-1时，axln
3 0, a>0, 2 ( x 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
解析
依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推 出函数y=f（x）为增函数.
题型分类
题型一 函数单调性的判断
x
深度剖析
x2 【例1】已知函数 f ( x) a (a 1). x 1 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
思维启迪 证明 方法一 （1）用函数单调性的定义. 任取x1,x2∈(-1,+∞), （2）用导数法. 不妨设x1<x2,则x2-x1>0, a x2 x1 1且a x1 0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
a x2 a x1 a x1 (a x2 x1 1) 0,
x2 2 x1 2 ( x2 2)( x1 1) ( x1 2)( x2 1) x2 1 x1 1 ( x1 1)( x2 1) 3( x2 x1 ) 0, ( x2 1)( x1 1)
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 f (| 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1)
1 |) f (1) x
（C）
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
1 解析 由已知条件：| | 1, x
| x | 1 不等式等价于 ,
解得-1<x<1,且x≠0.
下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 ④ f ( x1 ) f ( x2 ) 0. x1 x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
x 0
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则 (D ) A. k 1 B. k 1 2 2 C. k 1 D. k 1 2 2 解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,
1 则2k+1<0，即 k . 2
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D 上是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 ___________ 上升的
自左向右看图象是 __________ 下降的
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________ 增函数 或________ 减函数 ，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
§2.2 函数的单调性与最大(小)值 基础知识
要点梳理
1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数
自主学习
定 义
一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有 定 义 f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数
________ 区间D 叫做f（x）的单调区间.
2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足 ①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 f（x）≥M ； 都有___________ f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 f （ x 0） = M _____________. f （x ）=M _______________.
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
因此，当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数； 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,
( x2 x1 )( x1 x2 1) 0. 2 2 ( x1 1)( x2 1)
数则可以利用导数解之.
ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x) 2 , x∈(-1,1)的单 x 1 调性（其中a≠0）.
解
方法一 根据单调性的定义求解.
设-1<x1<x2<1,
ax1 ax2 2 x12 1 x2 1 a( x2 x1 )( x1 x2 1) . 2 2 ( x1 1)( x2 1) ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0, 则f ( x1 ) f ( x2 )
0
条件
结论
M为最大值
M为最小值
基础自测
143;1
B. y= x 2 2 C.y=x -4x+5 D. y x 2 2 解析 ∵y=-x+1,y=x -4x+5, y 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图象上可
以看出在（0，2）上都是减函数.
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 A.有且只有一个 C.至多有一个 B.有2个 D.以上均不对 （C ）
解析
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.
x2 2 x1 2 0, 于是f(x2)-f(x1)= a a x2 1 x1 1 故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
x2 x1
方法二
3 f ( x) a 1 (a 1), x 1
x
求导数得 f ' ( x) a x ln a
3 , 2 ( x 1)
∵a>1,∴当x>-1时，axln
3 0, a>0, 2 ( x 1)
f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立， 则f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步
骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函
解析
依据增函数的定义可知，对于①③，当自变
量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推 出函数y=f（x）为增函数.
题型分类
题型一 函数单调性的判断
x
深度剖析
x2 【例1】已知函数 f ( x) a (a 1). x 1 证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
思维启迪 证明 方法一 （1）用函数单调性的定义. 任取x1,x2∈(-1,+∞), （2）用导数法. 不妨设x1<x2,则x2-x1>0, a x2 x1 1且a x1 0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
a x2 a x1 a x1 (a x2 x1 1) 0,
x2 2 x1 2 ( x2 2)( x1 1) ( x1 2)( x2 1) x2 1 x1 1 ( x1 1)( x2 1) 3( x2 x1 ) 0, ( x2 1)( x1 1)
3.已知f(x)为R上的减函数，则满足 f (| 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1)
1 |) f (1) x
（C）
C.(-1,0)∪(0,1)
D.（-∞,-1)∪(1,+∞)
1 解析 由已知条件：| | 1, x
| x | 1 不等式等价于 ,
解得-1<x<1,且x≠0.
下几个命题： ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0； ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；
f ( x1 ) f ( x2 ) ③ 0; x1 x2 ④ f ( x1 ) f ( x2 ) 0. x1 x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
x 0
4.函数y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数，则 (D ) A. k 1 B. k 1 2 2 C. k 1 D. k 1 2 2 解析 使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是减函数,
1 则2k+1<0，即 k . 2
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量，有以
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D 上是减函数
图 象 描 述
自左向右看图象是 ___________ 上升的
自左向右看图象是 __________ 下降的
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________ 增函数 或________ 减函数 ，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，
§2.2 函数的单调性与最大(小)值 基础知识
要点梳理
1.函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数
自主学习
定 义
一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有 定 义 f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数
________ 区间D 叫做f（x）的单调区间.
2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数
M满足 ①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都 f（x）≥M ； 都有___________ f（x）≤M ； 有____________ ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 f （ x 0） = M _____________. f （x ）=M _______________.