函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值
【知识要点】 1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝
f (x )的单调区间．
（3）判断函数单调性的方法
①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。

2．函数的最值
求函数最值的方法：
①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；
②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。

【复习回顾】
一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：
(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b
a
；当x ＜2b a -时，
y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b
a
-
时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b
a
；当x ＜2b a -时，
y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b
a
-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:
①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?
①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？
②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？
③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.简称为：步调一致增函数.
几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。

④定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个
自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数.
几何意义：减函数的从左向右看,图象是的.
例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.
【典例精讲】
题型一函数单调性的判定与证明
(1)单调性的证明
①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下： 第一步：设元，即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1＜x 2； 第二步：作差，即作差f (x 1)－f (x 2)；
第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 第四步：判号，即确定f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； 第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．
其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式． ②利用单调性定义的等价形式证明：
设x 1，x 2∈[m ，n ]，x 1≠x 2，那么
(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔＞0⇔f (x )在区间[m ，n ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔＜0⇔f (x )在区间[m ，n ]上是减函数． (2)复合函数y ＝f (g (x ))的单调性：
复合函数的单调性可简记为“f (x )的单调性相同时y ＝f (g (x ))是增函数，单调性相反时y ＝f (g (x ))是减函数．
(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数y ＝f (g (x ))为例．可按下列步骤操作：
①将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (t )，t ＝g (x )；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数；若为一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数． 例1用定义法求证函数3
()f x x =在R 为增函数
变式1用定义法求证函数()f x =
(0,)+∞增函数
变式2证明：函数
()f x x =在定义域上是减函数
例2求函数y ＝的单调区间．
题型二图像法求函数的单调区间 例3求出下列函数的单调区间：
（1）2()3f x x x =--；
（2）1()f x x x
=+.
（3）34)(2+-=x x x f ；
（4）34)(2+-=x x x f .
变式1用图像法求下列函数的单调区间 (1)
32
()2
x f x x +=
+ (2)2
()|2|f x x x =+ (3)2
()2||1f x x x =--
变式2求函数532+-+=x x y
的单调区间和值域。

题型三抽象函数的单调性
例4(1)已知函数()f x 是减函数，则2
(1)f x x ++与3()4
f 的大小关系是 (2)已知函数()f x 是减函数，解不等式(21)(2)f x f x ->+
(3)已知()f x 是定义在(0,+∞)上的减函数，若2
2
(21)(341)f a a f a a ++<-+成立，则a 的取值范围是______.
变式函数f(x)对任意的a,b ∈R ，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x ＞0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)是R 上的增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m 2-m-2)＜3.
题型四已知函数的单调性求参数的取值范围 例5已知函数2
1,2(),2
ax x f x x x +≤⎧=⎨
>⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围是
变式1若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是_______． 变式2(1)画出已知函数2
()23f x x x =-++的图象；
(2)证明函数2
()23f x x x =-++在区间(-∞,1］上是增函数； (3)当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围. 题型五函数的最值
例6①如图所示，是函数2
221,1,)()y x x y x x y f x =--=-+∈
-+∞=、［、的图象.观察这三个图象的共同特征.
②在函数y =f (x )的图象上任取一点A(x ,y )，如图所示，x 的范围是函数的,y 的范围是函数的。

图1-3-1-12
③怎样理解函数图象最高点的?设点C 的坐标为(x 0,y 0)，用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C ？
④函数最大值的定义？
一般地，设函数y =f (x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)=M. 那么，称M 是函数y =f (x )的最大值.
⑤函数最大值的定义中()f x M ≤即0()()f x f x ≤，这个不等式反映了函数y ()f x =的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？ ⑥函数21,(1,)y x x =-+∈-+∞最大值吗？为什么？点(1,3)-是不是函数
21,(1,)y x x =-+∈-+∞的最高点？
⑦由⑥这个问题你发现了什么值得注意的地方？
⑧类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义. 例7求函数y=
1
2
-x 在区间26［，］上的最大值和最小值.
例8求函数x
x y 4+
=,]3,21
[∈x 的最值。

变式函数y=
1
1
x -在［2,3］上的最小值为()
A.2
B.
12C.13D.-12
【课堂练习】
1．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是() A.y=-x+1B.y=
x C.y=x 2-4x+5D.y=2
x
2．如果函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，则实数a 的取值范围是() A.［-3,+∞)B.(-∞,-3］C.(-∞,3］D.［3,+∞)
3.若一次函数y=f(x)在区间［-1,2］上的最小值为1，最大值为3，则函数f(x)的解析式为__________.
4.设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③>0；④<0.
其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________.(填序号)
5.(1)已知函数2
()42f x x ax =-+在[3,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 (2)已知函数2()42f x x ax =-+在[3,3)-上是单调函数，则a 的取值范围是 6.用定义法求证函数21
()2f x x x
=
+在(0,)+∞减函数
【课外作业】
函数y ＝－x 2的单调减区间是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，0]
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )
A ．－4
B ．－8
C ．8
D ．无法确定 函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( )
A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )
B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b )
C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )
D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
的实数x 的取值范围是（ ） Ａ．(1)-∞， Ｂ．(1)+∞， Ｃ．(0)(01)-∞，， Ｄ．(0)(1)-∞+∞，，
5.若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是________．
6.已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．
7.若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；
(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．
(3)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围.。