函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值

【知识要点】 1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝

f (x )的单调区间．

（3）判断函数单调性的方法

①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。

2．函数的最值

求函数最值的方法：

①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；

②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。

【复习回顾】

一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b

a

；当x ＜2b a -时，

y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b

a

-

时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b

a

；当x ＜2b a -时，

y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b

a

-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:

①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？

②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？

③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1

几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。

④定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个

自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数.

几何意义：减函数的从左向右看,图象是的.

例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.

点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

【典例精讲】

题型一函数单调性的判定与证明

(1)单调性的证明

①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下： 第一步：设元，即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1＜x 2； 第二步：作差，即作差f (x 1)－f (x 2)；

第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 第四步：判号，即确定f (x 1)－f (x 2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； 第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论．

其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式． ②利用单调性定义的等价形式证明：

设x 1，x 2∈[m ，n ]，x 1≠x 2，那么

(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔＞0⇔f (x )在区间[m ，n ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔＜0⇔f (x )在区间[m ，n ]上是减函数． (2)复合函数y ＝f (g (x ))的单调性：

复合函数的单调性可简记为“f (x )的单调性相同时y ＝f (g (x ))是增函数，单调性相反时y ＝f (g (x ))是减函数．

(3)判断复合函数单调性的步骤：以复合函数y ＝f (g (x ))为例．可按下列步骤操作：

①将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (t )，t ＝g (x )；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间；④若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数；若为一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数． 例1用定义法求证函数3

()f x x =在R 为增函数

变式1用定义法求证函数()f x =

(0,)+∞增函数

变式2证明：函数

()f x x =在定义域上是减函数

例2求函数y ＝的单调区间．

题型二图像法求函数的单调区间 例3求出下列函数的单调区间：

（1）2()3f x x x =--；

（2）1()f x x x

=+.

（3）34)(2+-=x x x f ；

（4）34)(2+-=x x x f .

变式1用图像法求下列函数的单调区间 (1)

32

()2

x f x x +=

+ (2)2

()|2|f x x x =+ (3)2

()2||1f x x x =--

变式2求函数532+-+=x x y

的单调区间和值域。

题型三抽象函数的单调性

例4(1)已知函数()f x 是减函数，则2

(1)f x x ++与3()4

f 的大小关系是 (2)已知函数()f x 是减函数，解不等式(21)(2)f x f x ->+

(3)已知()f x 是定义在(0,+∞)上的减函数，若2

2

(21)(341)f a a f a a ++<-+成立，则a 的取值范围是______.

变式函数f(x)对任意的a,b ∈R ，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x ＞0时，f(x)＞1.

(1)求证：f(x)是R 上的增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m 2-m-2)＜3.