1.3.1函数的单调性和最大小值

x
y k (k 0) 的单调区间 x
yk x
单调增区间
k 0
单调减区间 (, 0) ， (0, )
k 0
(, 0) ， (0, )
证明：函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。
证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，取值
且x1<x2，则 f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 x2
例如函数f 最x大= -值x2 +1x∈R
ƒ(0)=1
2 1
1、对任意的 x R都有ƒ(x)≤1.O
2、存在0，使得ƒ(0)=1.
知识要 点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在 实数M满足： （1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
2
2
变式
讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a， （1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增； （2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性， 但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；
（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。
2.设函数f (x)=1-x2，则f (x) ≤2成立吗? f(x)的最 大值是2吗？为什么？
3、函数f (x)的定义域为（a,b），已知点P(x0 , y0 ),对于 自变量x1, x2 , x3 ,有f (x1 ) y0 , f (x2 ) y0 , f (x3 ) y0 ,则函数 f (x)的最小值为y0.
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增， 则函数y=f (x)的最值是什么？
y
当x=m时，f (x)有最
f(n) 小值f (m)，当x=n时,f (x)
mn
有最大值f (n).
O
x
f(m)
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数 y=f(x)的最值是什么？
------函数的最大（小）值
下列两个函数的图象：
观察
y
y
M
M
x
o x0
图1
思
o
x0
x
图2
考 观察这两个函数图象，图中有个最高点，
那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思
考 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
f(x) ≤ M
1是此函数的
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
思考2：函数 y x2 2x3 的单调区间呢？
归纳： 函数 y ax2 bx c(a 0) 的单调性
y ax2 bx c(a 0) 的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c
单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
b 2a
,
练习：判断函数 f (x) x2 2x 的单调区间。
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必 须去掉端点。
单调区间之间必须用“，”隔开，千万不能用 “∪”连接，也不能用“或”，“且”连接。
例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调 增函数， 解不等式 f (2x) < f (1+x)
三、归纳小结 1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画 函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。
x2 x1 x1 x2
由于x1,x2 0, 得x1x2>0,又由x1<x2
得x2-x1>0
作差 变形
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2)
定号
因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数。 下结论
3．证明函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(1)这个单调区间可以是整个定义域 如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数
(2) 这个单调区间也可以是定义域的真子集 如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,
在 [0,+∞)是增函数.
(3)有的函数没有单调性区间
思考函数单调性:
y
0 1
( x是无理数) ( x是有理数)
（二）典型例题 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性 质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； ③函数的单调性是相对某个区间而言，不能 直接说某函数是增函数或减函数。
2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 区间D 叫做y=f(x)的单调区间：
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内 任意x都有 f ( x1 ) f ( x) f ( x2 ) 成立，由此你能得到 什么结论？
如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么 函数f(x)的值域是[a，b]吗？
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
------函数的单调性
一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相
应函数的哪些变化规律：
y
y
y
1
-1
1x
-1
1
1 -1
-1
1
x
-1
1
x
-1
问：随x的增大，y的值有什么变化？
y
10
8
6
4
2
D
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间D逐渐上升
f(n)
mO l n
x
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函 数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
例3.
指出下列函数的单调区间：
y
1 x
y
y
1解：y
1 x
的单调减区间是
(____,_0_)_, _(0_,____)
x
没有单调增区间
O
x 思考1：能不能说y
1 x
在定义域(, 0)
(0, )上
是单调减函数?
思考2：函数 y 1的单调区间是什么？
y
1 x
x
的单调增区间是
(,0),(0,)
归纳：y k (k 0)在 , 0和 0, 上的单调性？
y
f(m)
当x=m时，f (x)有最 大值f (m)，当x=n时，f(x)
n 有最小值f (n).
Om
x
f(n)
(3)若函数f ( x) = a( x - l)2 + h(a < 0,m < l < n)则函
数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
y
f(m)
f(l)
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
来自百度文库
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，D称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间D内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间D内任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
k>0 (,)
k<0
(,)
例2.指出下列函数的单调区间：
y
(1) y x2 2. (2) y x2 2.
解：
2 1
y x2 +2的单调增区间是 (_-_∞___, _0_];
-2 -1 O
-1
y x2 +2的单调减区间是 _[0__,____).
-2
y=-x2+2
12 x
思考1：函数 y (x 1)2 2 的单调区间呢？
由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
诉例我4、们物，理对学于中一的定玻量意的耳气定体律，当p 其Vk体(k积为V正减常小数时) 告，
压强 p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域 取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
p(V1)
p(V2 )
k V1
k V2
k V2 V1 V1V2
作差 变形
（2）存在 x0 I ，使得 f(x0 ) = M.
思 考 能否仿照函数的最大值的定义，给出函数
y=f(x)的最小值的定义呢？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数 M满足： （1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 x0 I，使得 f(x0 ) = M，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
注 意：
1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数 值， 即存在x0∈I，使得f (x0) = M； 2.函数最大（小）值应该是所有函数值中 最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M（f (x)≥M）．
3.最大值和最小值统称为最值。
判断以下说法是否正确。
1、函数f (x) x2(x R),任意x R,都有f (x) 1, 则1为函数f (x)的最大值.
例2. 指出下列函数的单调区间：
(1)y 7x 2 (2)y 2x 4
y
解：(1) y 7x 2的单调增区间是 (,)
2
无单调减区间
(2) y 2x 4的单调减区间是 (,)
y2 o x 7
4
无单调增区间
归纳：函数 y kx b(k 0) 的单调性 o 2 x
y kx b 单调增区间 单调减区间
y
单调递减区间：
f (x) x2 2x ( , 1]
单调递增区间：
1
o
2x
[1 , )
成果运用
若二次函数 f (x) x2 ax 4 在区间 ,1
上单调递增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f (x) x2 ax 4 的对称轴为 x a ,
由图象可知只要 x a 1，即 a 2 即可.
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间D内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数，D 称为 f (x)的单调
由V1，V2∈ (0，+∞)得V1V2>0, 由V1<V2，得V2- V1 >0
又k>0,于是 p(V1) p(V2 ) 0
定号
即 p(V 1) p(V 2)
也就所是以说，，函当数体p积VVk减,少V 时 (，0,压强)是p将减增函大数. .
结论
思考：若f (x)在R上是增函数，且f (x1) f (x2 ), 则x1, x2的大小关系是 例：已知函数f(x)是定义在（-∞，+∞）上的单调 增函数， 解不等式 f (2x) < f (1+x)