函数的单调性与最值(讲义及答案)
2022-2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义3-2-1 函数的单调性与最值 (解析版)
函数的单调性与最值1 1函数单调性的概念(1)增函数和减函数一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ，区间D ∈I :如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递增(左图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.如果∀x 1 ,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上单调递减(右图).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.注 ① y =1x 在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数.② x 1 ,x 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x 1 ,x 2有三个特征：一是任意性，即任意取x 1 ,x 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．【例】 若函数f(x)的定义域为(0,+∞)且满足f (1)<f (2)<f(3)，则函数f(x)在(0,+∞)上为 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不能确定解析 由于函数单调性的定义突出了x 1,x 2的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选D ．1 (2) 单调性如果函数y =f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y =f(x)的单调区间．注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.② 有的函数无单调性．如函数y ={1, x 为有理数 0, x 为无理数，它的定义域是(−∞,+∞)，但无单调性可言．【例】说下函数y =x 2−2x −3的单调性.解析函数y=x2−2x−3在整个定义域(−∞,+∞)上不具有单调性，但是在(−∞,1]上是减函数，在(1,+∞)上是增函数；【练】函数y=1的单调递减区间是().xA．[0,+∞)B．(−∞,0)C．(−∞,0)和(0,+∞)D．(−∞,0)∪(0,+∞)解析y=1的减区间是(0,+∞),(−∞,0)，不是(0,+∞)∪(−∞,0).x在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上也是减函数，函数y=1x(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数．但不能说函数y=1x因为当x1=−1,x2=1时有f(x1)=−1<f(x2)=1，不满足减函数的定义．21单调性概念的拓展①若y=f(x)递增，x2>x1，则f(x2)>f(x1).②若y=f(x)递增，f(x2)≥f(x1)，则x2≥x1.y=f(x)递减，有类似结论！【例】若y=f(x)递增，比较f(a2)与f(0)大小.答案f(a2)≥f(0).【例】若y=f(x)递增 ,f(1−m)≥f(n) , 比较m+n与1大小.答案m+n≤1.31判断函数单调性的方法①1定义法解题步骤(1) 任取x1 ,x2∈D，且x1<x2；(2) 作差f(x1)−f(x2)；(3) 变形(通常是因式分解和配方)；(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．②1数形结合③1性质法增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.④1复合函数的单调性(1)如果y=f(u)(u∈M) ,u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；比如：F(x)=1x2+x (f(u)=1u和g(x)=x2+x的复合函数)；F(x)=√1−2x (f(u)=√u和g(x)= 1−2x的复合函数)；F(x)=21x(f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).(2) 同增异减设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ，若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；若y=f(u) ,u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.41函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1) ∀x∈I，都有f(x)≤M；(2) ∃x0∈I，使得f(x0)=M；那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.【例1】下图为函数y=f(x)，x [−4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．解析1观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3)，最低点坐标为(−1.5,−2)，所以当x=3时，函数y=f(x)取得最大值y max=3；当x=−1.5时，取得最小值y min=−2．【例2】求函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x+1在区间[3,6]上递增，则f(3)≤f(x)≤f(6)，所以最大值f(x)max=f(6)=13，最小值f(x)min=f(3)=7.【练】求函数f(x)=2x在区间[1,2]上的最大值和最小值.解析函数f(x)=2x在区间[1,2]上递减，则f(2)≤f(x)≤f(1)，所以最大值f(x)max=f(1)=2，最小值f(x)min=f(2)=1.【题型1】判断函数单调性的方法方法 1定义法【典题】判断f(x)=x+4x在(0 ,2) ,(2 ,+∞)的单调性.解析1设元1设0<x1<x2，作差则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)变形=(x1−x2)+4(x2−x1)x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2)(因式分解判断y1−y2正负)定号(1) 假如0<x1<x2<2 ，则0<x1 x2<4 ⇒4x1x2>1⇒1−4x1x2<0 ,又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒y1>y2 , 故函数单调递减；(2) 假如2<x1<x2 , 则x1 x2>4⇒4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,又x1−x2<0 ，所以y1−y2<0⇒y1<y2 , 故函数单调递增；下结论所以函数在(0 ,2)内单调递减，在(2 ,＋∞)内单调递增．点拨1利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.方法21数形结合【典题】求下列函数的单调区间．(1) f(x)=|x2+2x−3|；(2)f(x)=−x2+2|x|+3．解析(1)令g(x)=x2+2x−3=(x+1)2−4．先作出函数g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到函数f(x)= |x2+2x−3|的图象，如图所示．由图象易得：函数f(x)的递增区间是[ −3,−1]，[1,+∞)；函数f(x)的递减区间是( −∞,−3],[ −1,1]．(2)f(x)=−x2+2|x|+3={−x 2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，图象如图所示．由图象可知，函数f(x)的单调区间为( −∞,−1],( −1,0],(0,1],(1,+∞)，其中单调减区间为( −1,0]和(1,+∞)，单调增区间为( −∞,−1]和(0,1]．点拨1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用|x|={x, x≥0−x,x<0把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；2.利用数形结合易得函数的单调性.方法31复合函数的单调性【典题】函数f(x)=√x2+4 x−12 的单调减区间为.【解析】函数f(x)=√x2+4 x−12是由函数f(u)=√u和u(x)=x2+4 x−12组成的复合函数，∵x2+4 x−12≥0 ，∴函数y=f(x)的定义域是x≤−6或x≥2由二次函数图像易得u(x)=x2+4 x−12在(−∞ ,−6]单调递减，在[2 ,＋∞)单调递增，而f(u)=√u在u≥0是单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．【点拨】①研究函数的基本性质，优先考虑定义域；②研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.【巩固练习】1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是( )A．y=2x+1B．y=3x2+1C．y=2xD．y=2x2+x+1答案C2.函数f(x)=x|x−2|的递减区间为()A．( −∞,1)B．(0,1)C．(1,2)D．(0,2)答案C解析当x≥2时，f(x)=x(x －2)=x2－2x，对称轴为x= 1，此时f(x)为增函数，当x<2时，f(x)=－x(x －2)=－x2+2x，对称轴为x=1，抛物线开口向下，当1<x<2时，f(x)为减函数，即函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，故选：C．3.函数f(x)=x1−x的单调增区间是.答案( −∞,1)，(1,+∞)解析f(x)=−(1−x)+11−x =−1+11−x；∴f(x)的图象是由y =−1x的图象沿x 轴向右平移1个单位，然后沿y 轴向下平移一个单位得到；而y =−1x 的单调增区间为( −∞,0)，(0,+∞)； ∴f(x)的单调增区间是( −∞,1)，(1,+∞)． 4.函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是 . 答案 [4,+∞).解析 令x 2−5x +4≥0，解得x ≥4或x ≤1，而函数y =x 2 －5x +4的对称轴是x =52， 故函数y =√x 2−5x +4的单调递增区间是[4,+∞). 5.试用函数单调性的定义判断函数f(x)=2x x−1在区间(0,1)上的单调性．解析 任取x 1,x 2∈(0,1)，且x 1<x 2． 则f (x 1)−f (x 2)=2x 1x 1−1−2x 2x 2−1=2(x 2−x 1)(x 1−1)(x 2−1)．由于0<x 1<x 2<1，x 1−1<0，x 2−1<0，x 2−x 1>0， 故f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以，函数f(x)=2xx−1在(0,1)上是减函数． 【题型2】函数的最值【典题 】函数f(x)=2x −√x −1的值域为 .解析1设t =√x −1≥0，则x =t 2+1，∴f (t )=2(t 2+1)−t =2t 2−t +2=2(t −14)2+158(t ≥0)∴值域为[158,∞)．点拨 本题采取换元法，注意新变量的取值范围.【典题2】若函数f (x )=x 2−2ax +1−a 在[0,2]上的最小值为−1．则a = . 解析1函数f (x )=x 2−2ax +1−a 图象的对称轴为x =a ，图象开口向上， (1)当a ≤0时，函数f(x)在[0,2]上单调递增．则f (x )min =f(0)=1−a ， 由1−a =−1，得a =2，不符合a ≤0；(2)当0<a <2时．则f(x)min =f(a)=a 2−2a 2+1−a =−a 2−a +1， 由−a 2−a +1=−1，得a =−2或a =1，∵0<a <2，∴a =1符合； (3)当a ≥2时，函数f(x)=x 2－2ax +1−a 在[0,2]上单调递减， ∴f(x)min =f(2)=4－4a +1−a =5－5a ，由5−5a =−1，得a =65， ∵a ≥2，∴a =65不符合，综上可得a =1．点拨 本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解. 【巩固练习】1.函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是( ) A ．12,−14 B ．2,12 C ．42,−14 D ．最小值是−14，无最大值答案 C解析 y =x 2+3x +2=(x +32)2−14，抛物线的开口向上，对称轴为x =−32，∴在区间[ －5,5]上，当x =−32时，y 有最小值−14；x =5时，y 有最大值42， 函数f(x)=x 2+3x +2在区间[ −5,5]上的最大值、最小值分别是：42，−14．故选：C ．2.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最小值为 ．答案 12解析 ∵f (x )=xx+2=1−2x+2，∴f(x)在[2,4]上为增函数，∴当x =2时，f(x)=x x+2在区间[2,4]上的最小值为f(2)=12．3.已知函数f(x)=x 2+|x −a|+1,x ∈R,a ∈R ．(1)当a =1时，求函数f(x)的最小值；(2)求函数f(x)的最小值为g(a)． 答案 (1) 74 (2) [1,+∞)解析 (1)f(x)=x 2+|x −1|+1={x 2+x,x ≥1x 2−x +2,x <1，由f(x)=x 2+x ⇒f(x)=(x +12)2−14(x ≥1)，可知f(x)≥2; 由f(x)=x 2−x +2⇒f(x)=(x −12)2+74(x <1)，可知f(x)≥74.所以f(x)min =f (12)=74． (2) f(x)={x 2+x −a +1,x ≥ax 2−x +a +1,x <a，1)当a ≥12，f (x )min =f (12)=34+a ； 2)当−12<a <12，f (x )min =f(a)=a 2+1；3)当a ≤−12，f (x )min =f (−12)=34−a ； 所以g(a)={ 34+a,a ≥12a 2+1,−12<a <1234−a,a ≤−12．【题型3】参数范围【典题 】若f(x)={a x ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为 ．解析1若f(x)={ax ,x ≥1−x +3a,x <1是R 上的单调减函数，得则{a >0a 1≤−1+3a ，解得a ≥12，故答案为：[12,+∞)．【典题2】已知函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，则实数b 的值为 ．解析 f(x)=4x−6x−1=4(x−1)−2x−1=−2x−1+4，其图象如图，由图可知，函数f(x)=4x−6x−1在[2,b]上为增函数，又函数f(x)=4x−6x−1的定义域和值域都是[2,b](b >2)，∴f(b)=4b−6b−1=b ，解得b =3．【巩固练习】1.已知函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，则( )A ．a <0,b ≥3B ．a <0,b ≤3C ．a >0,b ≥3D ．a >0,b ≤3答案 D解析 ∵函数f(x)={x 2+3(x ≥0)ax +b(x <0)是R 上的增函数，∴a >0，且 0+3≥0+b ，故选：D ．2.已知函数f(x)={x 2+4x, x ≥04x −x 2, x <0，若f (2−a 2)>f(a)则实数a 的取值范围是( ) A (−∞,−1)∪(2,+∞) B (−1,2) C (−2,1) D (−∞,−2)∪(1,+∞) 答案 C解析 由题知f(x)在R 上是增函数，由题得2−a 2>a ，解得−2<a <1.3.函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，则a的范围为. 答案[0,1]解析根据题意，函数f(x)=ax2−(3a−1)x+a2在[1,+∞)上是增函数，分2种情况讨论：①若a=0，则f(x)=x，在R上为增函数，符合题意；②若a≠0，则有{a>03a−12a≤1，解可得0<a≤1，综合可得：a的取值范围为[0,1].4.若函数y=x2−5x−1的定义域[0,m]，值域为[−294,−1]，则m的取值范围是.。
2023届高考数学一轮复习讲义：第7讲 函数的单调性与最值
第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是或，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得(1)∀x ∈I ，都有 ； (2)∃x 0∈I ，使得结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数222x x y -++=的单调递增区间是（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞-D ．递增区间是(1,1)-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x =B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）函数216y x x =-+_____． 8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；10．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b ac << B ．a b c << C ．c a b << D ．a c b <<2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)[举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7-D ．()(),77,-∞-⋃+∞6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,17．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <-10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________．12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________.13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x .（1）若1a ，求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得函数()f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围第7讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值➢考点1 函数的单调性[名师点睛]确定函数单调性的四种方法 (1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性． 1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23f x x x -- ） A ．(,1]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞【答案】B 【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 所以函数2()23f x x x =--(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数2()23f x x x =--[3,)+∞.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性. 【解】任取1x 、2(11)x ∈-，，且12x x <，(11)1()(1)11a x f x a x x -+==+--，则：21121212()11()()(1)(1)11(1)(1)a x x f x f x a a x x x x --=+-+=----，当0a >时，12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，函数()f x 在(11)-，上单调递减； 当0a <时，12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，函数()f x 在(11)-，上单调递增. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）函数y = ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-， 【答案】C 【解析】令220x x -++≥，解得12x -≤≤， 令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =内递增，∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（ ） A ．(),2-∞ B ．()2,+∞ C ．()2,2- D ．()2,6-【答案】C 【解析】 令13log y u=，2412u x x =-++．由24120u x x =-++>，得26x -<<．因为函数13log y u=是关于u 的递减函数，且()2,2x ∈-时，2412u x x =-++为增函数，所以()213log 412y x x =-++为减函数，所以函数()213log 412y x x =-++的单调减区间是()2,2-．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ） A ．递增区间是(0,)+∞ B ．递减区间是(,1)-∞- C ．递增区间是(,1)-∞- D ．递增区间是(1,1)-【答案】D 【解析】因为函数222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-+=⎨+<⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示：由图可知，递增区间是(1,1)-，递减区间是(,1)-∞-和()1,+∞． 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()()12log g x f x =的单调递增区间为（ ）A ．(],3-∞-，[]0,3B ．[]3,0-，[)3,+∞C ．(),5-∞-，[)0,1D ．(]1,0-，()5,+∞【答案】C 【解析】因为12log y x=在()0,∞+上为减函数，所以只要求()y f x =的单调递减区间，且()0f x >.由图可知，使得函数()y f x =单调递减且满足()0f x >的x 的取值范围是()[),50,1-∞-.因此，函数()()12log g x f x =的单调递增区间为(),5-∞-、[)0,1.故选：C.5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在(),0∞-上是单调递增函数的是（ ） A ．tan y x = B ．()ln y x =-C ．12xy =D ．1y x=-【答案】D 【解析】选项A. 函数tan y x =在(),0∞-上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足； 选项B. 由复合函数的单调性可知函数()ln y x =-在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项C. 函数1122xx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭在(),0∞-上单调递减，故不满足；选项D. 函数1y x=-在(),0∞-上单调递增，故满足，故选：D6．（2022·全国·高三专题练习）函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．【答案】 (12,1)-，(12,)++∞ (,12)-∞-，(1,12)【解析】作出函数y =|-x 2+2x +1|的图像，如图所示，观察图像得，函数y =|-x 2+2x +1|在(12,1)-和(12,)++∞上单调递增，在(,12)-∞和(1,12)上单调递减，所以原函数的单调增区间是(1，(1)+∞，单调递减区间是(,1-∞，(1,12).故答案为：(1-，(1)++∞；(,1-∞，(1,12)7．（2022·全国·高三专题练习）函数1y =_____． 【答案】[3,6] 【解析】226060x x x x -+≥⇒-≤，解得06x ≤≤，令()()22639x x x x μ=-+=--+，对称轴为3x =，所以函数()x μ在(),3-∞为单调递增；在[)3,+∞上单调递减.所以函数1y =[3,6]. 故答案为：[3,6]8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =________. ①定义域为R ；②值域为(,1)-∞；③对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.【答案】1()12xf x =-（答案不唯一） 【解析】 1()12x f x =-，定义域为R ；102x>，1()112x f x =-<，值域为(,1)-∞； 是增函数，满足对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.故答案为：1()12xf x =-（答案不唯一）. 9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）1x=+lg 4xx -．判断并证明函数f （x ）的单调性；【解】由题意，040x x x ≠⎧⎪-⎨>⎪⎩，解得04x <<故f （x ）的定义域为（0，4） 令441x u x x -==-，lg y u =，由于41u x=-在（0，4）单调递减，lg y u =在(0,)+∞单调递增，因此4lgxy x-=在（0，4）单调递减，又1y x =在（0，4）单调递减，故f （x ）1x =+4lgx x -在（0，4）上单调递减，证明如下： 设0＜x 1＜x 2＜4，则： ()()()()121221121122122144411lg lg lg 4x x x x x x f x f x x x x x x x x x -----=+--=+-， ∵0＜x 1＜x 2＜4，∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0，4﹣x 1＞4﹣x 2＞0，12214114x xx x --＞，＞， ∴()()()()1212211221214401lg 044x x x x x x x x x x x x -----＞，＞，＞， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，4）上单调递减11．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为实数集R 的函数()11222xx f x +-=+．判断函数f （x ）在R 上的单调性，并用定义证明．【解】由题意11211()22212x x x f x +-==-+++， 令1112,2xu y u =+=-+，由于12x u =+在R 上单调递增，112y u=-+在(0,)+∞单调递减，由复合函数单调性可知f （x ）在R 上为减函数. 证明：设∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，所以f （x 1）﹣f （x 2）()()211212112212121212x x x x x x -=-=++++，由于x 1＜x 2，y ＝2x 在R 上单增 所以21220x x -＞，且2x ＞0 所以f （x 1）＞f （x 2）， 所以f （x ）在R 上单调递减．➢考点2 函数单调性的应用1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ， 因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()ee e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e1,0e 1xx -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A2．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()1e ,111,1x x f x x x x-⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则()f x 的最大值为______．【答案】1 【解析】解：(],1x ∈-∞时，()1x f x e -=单调递增，()()1111f x f e -==≤；()1,x ∈+∞时，()1+1f x x x=-单调递减，()11+111f x <-=.所以()f x 的最大值为1． 故答案为：1．3．（2022·河北唐山·二模）已知函数()f x ()()21f x f x >-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】解：()f x 定义域为R ， 又()()-=-f x f x ，所以()f x 是奇函数，当0x =时，()00f =，当0x >时，()=f x ()f x 在()0,∞+上递增， 所以()f x 在定义域R 上递增，又()()21f x f x >-，所以21x x >-，解得13x >，故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ax f x x a-=-在(2,)+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞ B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，2]D ．(-∞，1)(1-⋃，2)【答案】C 【解析】解：根据题意，函数221()11()ax a x a a a f x a x a x a x a--+--===+---， 若()f x 在区间(2,)+∞上单调递减，必有2102a a ⎧->⎨⎩，解可得：1a <-或12a <，即a 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，2]， 故选：C ． [举一反三]1．（2022·辽宁朝阳·高三开学考试）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，记(2)(3)(1),,23f f a f b c -===，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B 【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，122112121212()()()()00f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇔>--， 于是得函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增，而函数()f x 是R 上的偶函数，即(2)(2)22f f b -==，显然有(1)(2)(3)123f f f <<，因此得：a b c <<， 所以a b c <<. 故选：B2．（2022·重庆·模拟预测）设函数()()()32200x xx f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若ln 2a =，0.23b =，0.3log 2c =，则（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>【答案】D 【解析】解：因为()()()32200x x x f x x x -⎧-+>⎪=⎨-≤⎪⎩，又2x y =在()0,∞+上单调递增，2x y -=在()0,∞+上单调递减，则()22xx g x -=-+在()0,∞+上单调递减且()002002g -+==，又()3h x x =-在(),0∞-上单调递减且()3000h =-=，所以()f x 在R 上单调递减，又因为0.20331>=，即1b >，0ln1ln 2lne 1=<<=，即01a <<，0.30.3log 2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，所以()()()f b f a f c <<； 故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】设1x t ，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.4．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，且()f x 在(),1-∞-单调递减，()00f =，则()()210f x f x +<的解集为（ ）A ．()(),20,-∞-⋃+∞B ．()2,0-C ．312,,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为函数()1y f x =-是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =-对称.因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，所以在()1,-+∞上单调递增. 因为()00f =，所以()()200f f -==.所以当()(),20,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x <．由()()210f x f x +<，得20,2210.x x x ⎧-⎨-<+<⎩或或20,212210.x x x -<<⎧⎨+-+⎩或解得312,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C5．（2022·河北·模拟预测）设函数()()212,1,2,1,x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()()340f f x +->的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-⋃+∞ C ．()7,7- D ．()(),77,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】解：因为()()212,12,1x x f x x x ⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()36f =-，()()233126f -=-++=，则()()340f f x +->，即()()()4363f x f f ->-==-，()f x 的函数图象如下所示：由函数图象可知当3x >-时()6f x <且()f x 在(),3∞--上单调递减，所以()()43f x f ->-等价于43x -<-，即1x <，解得11x -<<，即()1,1x ∈-； 故选：A6．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B 【解析】因为分段函数()f x 在R 上的单调函数，由于22y x ax =-开口向上，故在1≥x 上单调递增，故分段函数()f x 在在R 上的单调递增，所以要满足：0212112a aa a>⎧⎪-⎪-≤⎨⎪-≤-⎪⎩，解得：203a <≤ 故选：B7．（2022·全国·高三专题练习）函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],5-∞D ．(],3-∞-【答案】D 【解析】解：函数2()2(1)3f x x m x =-+-+的图像的对称轴为2(1)12m x m -=-=--， 因为函数2()2(1)3f x x m x =-+-+在区间(],4-∞上单调递增，所以14m -≥，解得3m ≤-， 所以m 的取值范围为(],3-∞-， 故选：D8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2313,11,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,63⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,,63⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知，()313y a x a =-+在(),1-∞上为减函数，则310a -<， 函数21y x =-+在[)1,+∞上为减函数，且有()3130a a -+≥，所以，310610a a -<⎧⎨-≥⎩，解得1163a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()21x af x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >- B ．1b >- C ．1b ≥- D ．2a <-【答案】AC 【解析】 ()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b.故选：AC10．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a 的范围是_______. 【答案】(2,4]- 【解析】 函数5()3x f x x a +=-+，定义域为(,3)(3,)x a a ∈-∞-⋃-+∞，又322()133x a a a f x x a x a -++++==+-+-+，因为函数5()3x f x x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，所以只需23a y x a +=-+在(1,)+∞上是减函数，因此2031a a +>⎧⎨-≤⎩，解得24a -<≤.故答案为：24a -<≤11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )m ≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)∪(1，4] 【解析】由题意可得4－mx ≥0，x ∈(0，1]恒成立，所以m ≤4()xmin ＝4．当0<m ≤4时，4－mx 单调递减，所以m －1>0，解得1<m ≤4； 当m <0时，4－mx 单调递增，所以m －1<0，解得m <1，所以m <0． 故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(1，4]． 故答案为： (－∞，0)∪(1，4].12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足：①(0)0f =；②在[13]，上是减函数；③(1)(1)f x f x +=-.请写出一个满足以上条件的()f x =___________. 【答案】22x x -+ 【解析】由(1)(1)f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，所以开口向下，对称轴为1x =，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件， 故答案为：22x x -+13．（2022·全国·高三专题练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．（2022·全国·高三专题练习）若函数2()4f x x ax =-+在[]1.3内不单调，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】13(,)22【解析】解：由题意得2()4f x x ax =-+的对称轴为2x a =，因为函数()f x 在[]1.3内不单调，所以123a <<，得1322a <<．故答案为：13(,)22．15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =是定义在R 的递减函数，若对于任意(0x ∈，1]不等式2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围.【解】因为函数()y f x =是定义在R 的递减函数，所以2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+对(0x ∈，1]恒成立2231112mx mx x mx x m ⎧-<+-⇔⎨+-<+⎩在(0x ∈，1]恒成立.整理，当(0x ∈，1]时，2222(1)1mx x m x x ⎧<-⎨-<+⎩恒成立， （1）当1x =，2102m <⎧⎨<⎩，所以12m <；（2）当(0,1)x ∈时，222211x m xx m x ⎧-<⎪⎪⎨+⎪>⎪-⎩恒成立，1,2xy y x ==-都在(0,1)x ∈上为减函数22122x x y x x -∴==-在(0,1)x ∈上为减函数， ∴22122x x ->，222x m x-∴<恒成立⇔12m ≤. 结合当1x =时，12m <①又2222212(1)(1)21,01(1)(1)x x x x x x y y x x x +--+--'===<-++，当(0,1)x ∈ 故211x y x +=-在(0,1)x ∈上是减函数，∴2111x x +<--.211x m x +∴>-恒成立1m ⇔≥-② ∴①、②两式求交集1[1,)2m ∈-由（1）（2）可知当[1m ∈-，1)2时，对任意(0x ∈，1]时，2(31)(1)(2)f mx f mx x f m ->+->+恒成立.16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x x . （1）若1a =，求函数的定义域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在定义域内具有单调性？若存在，求出a 的取值范围. 【解】（1）()f x x ，∴|1|10x +-≥，解得(,2][0,)x ∈-∞-+∞； 所以函数的定义域为(,2][0,)x ∈-∞-+∞.（2）当x a ≥-，211()24f x x x ⎫===-+⎪⎭，在1[,)4+∞递减，此时需满足14a -≥，即14a -≤时，函数()f x 在[,)a -+∞上递减；当x a <-，()f x x x ，在(,2]a -∞-上递减， ∵104a ≤-<，∴20a a ->->，即当14a -≤时，函数()f x 在(,)a -∞-上递减；综上，当14a -≤时，函数()f x 在定义域R 上连续，且单调递减.所以a 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。
数学函数的单调性与最值试题答案及解析
数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2（2）时，递增（3）【解析】易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】本题考查函数的性质、函数的图象和函数的最值等知识，意在考查学生的运用函数解题的意识和数形结合、分类讨论的能力.2.下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由二次函数的图象和余弦函数的图象知，和在无单调性，故A，B错；在单调递增，但无奇偶性，故D错；由的图象知，C正确．【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力．3.已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由题知，，，，.，又，，从而，故选D.【考点】本题考查函数的零点、指数运算、函数的最值等知识，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力.4.已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，可在同一坐标系内，可画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上实根的个数.结合函数图象可知，共有个交点，故选.【考点】本题主要考查函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点等基础知识，意在考查考生对数学知识掌握的熟练程度及转化与化归思想、数形结合思想的应用.5.已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝＋的最小值是．【答案】－．【解析】相对固定b,c，即把b,c视为常数，代数式y＝＋随着正数a的变大而变小，要使y最小，只要a最大，因为A，B，C是平面上任意三点，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，故a的最大值是b＋c，所以y＝＋≥＋＝＋－≥－，即最小值是－．【命题意图】本题考查函数概念及性质等知识，意在考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.6.函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，解得；而函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为.7.已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】∵在区间上满足，∴在区间上是增函数，∵是偶函数，∴，∴，解不等式即可．8.设函数，则函数的零点个数为个．【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点.9.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.10.已知关于x的函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数没有零点，求实数a取值范围.【答案】（1）函数的极小值为；（2）.【解析】解：（1），. 2分当时，,的情况如下表：↘↗（2）. 7分当时，的情况如下表：↘↗因为F(1)=1＞0, 8分若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得, 9分所以此时；10分当时，的情况如下表：↗↘因为,且，所以此时函数总存在零点. 12分（或：当时，当时，令即由于令得，即时，即时存在零点.）综上所述，所求实数a的取值范围是.13分11.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【答案】（1）（2）当时，在,单调递减，在,单调递增；当时,在单调递减当时，在单调递减，在单调递增；【解析】（1）当时，，此时， 2分，又，所以切线方程为：，整理得：；分（2）， 6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； 8分当时，，当即时在恒成立，所以在单调递减； 10分当时，，此时在,单调递减，在单调递增； 12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. 13分12.已知是自然对数的底数，函数。
函数的单调性与最值(讲义)
函数的单调性与最值【知识要点】 1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．（3）判断函数单调性的方法①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。
2．函数的最值求函数最值的方法：①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。
【复习回顾】一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数.简称为：步调一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看,图象是的。
2021届高考数学(理)考点复习：函数的单调性与最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。
高一 函数的单调性及其最值知识点+例题+练习 含答案
1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0) 结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x 2”．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(5)所有的单调函数都有最值．( × )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( × )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________． 答案 ①解析 对于①，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x －x 在(0，＋∞)内是减函数；②，③，④函数在(0，＋∞)上均不单调．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6.3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减， 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， 则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1.4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 答案 2 25解析 可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________． 答案 (1)① (2)(－∞，－2) (3)(－∞，－1]，[0,1] 解析 (1)y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)， ∴在区间(0，＋∞)上为增函数．(2)因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．(3)由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数. 命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．综上，当a >0时，f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x )在(－1,1)上单调递增． 引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数在(－1,1)上为减函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．证明 方法一 任意取x 1>x 2>0，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2.当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0， 有f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在[a ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．方法二 f ′(x )＝1－a x 2，令f ′(x )>0，则1－ax2>0，解得x >a 或x <－a (舍)．令f ′(x )<0，则1－ax 2<0，解得－a <x <a .∵x >0，∴0<x <a .故f (x )在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )>0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3>0，即a >－3，所以－3<a ≤0. ②当0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3. 所以a ＋3>0，a >－3，所以0<a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]． 思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 答案 (1)2 (2)25解析 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系) 答案 < >解析 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1.命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________．(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)[32，2) 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是__________．(2)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 (1)(8,9] (2)(0,1]解析 (1)2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.(2)由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例 (14分)函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2.思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f (x 2)－f (x 1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f ”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f (M )<f (N )的形式． 规范解答(1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1] ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，[4分]∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[11分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[14分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法．[失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)答案 ①解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求； ②中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；③中，f (x )＝e x 是增函数；④中，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上是增函数．2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [1，＋∞)解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．答案 b <a <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (3)，即b <a <c .4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．答案 [0，34] 解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎨⎧ a >0，－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34， 综上a 的取值范围是0≤a ≤34. 6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log ，x x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.9．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1.(1)求f (1)，f (19)的值； (2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1易得f (1)＝0.而f (9)＝f (3)＋f (3)＝－1－1＝－2，且f (9)＋f ⎝⎛⎭⎫19＝f (1)＝0，故f ⎝⎛⎭⎫19＝2. (2)设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<0， 由f (xy )＝f (x )＋f (y )得f (x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1<f (x 1)， 所以f (x )是减函数．由条件①及(1)的结果得：f [x (2－x )]<f ⎝⎛⎭⎫19，其中0<x <2，由函数f (x )在R 上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x (2－x )>19，0<x <2，由此解得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－223，1＋223. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x <2，－x ＋3，x ≥2.当0<x <2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x ≥2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.12．定义新运算：当a ≥b 时，ab ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．答案 6解析 由已知，得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， 当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， 所以g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上是增函数． 所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， 所以h (x )max ＝h (2)＝2，所以a >2.。
函数的单调性与最值(含例题详细讲解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集 符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]． 答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减． 综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1.＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区 间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
第二章-§3-函数的单调性和最值高中数学必修第一册北师大版
1
是增函数.
知识点4 复合函数的单调性
例4-7 (2024·山东省高密市期中)已知函数 在定义域[0, +∞)上单调递减，则
[−, ]
[−, ]
1 − 2 的定义域是________，单调递减区间是________.
【解析】∵ 的定义域为[0, +∞),
∴ 1 − 2 ≥ 0,即 2 ≤ 1,故−1 ≤ ≤ 1.
∴ − > 0,2 − 1 > 0,2 + > 0,1 + > 0,
∴
− 2 −1
1 + 2 +
> 0,
即 1 > 2 ,
∴ 函数 在 −, +∞ 上单调递减.
同理可得，函数 =
综上可得，函数 =
+
+
+
+
> > 0 在 −∞, − 上单调递减.
方法帮|关键能力构建
题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解
例8 函数 =
+
+
−∞, − 和 −, +∞
> > 0 的单调递减区间为____________________.
【解析】（定义法） 由题意知函数 的定义域是(−∞, −) ∪ −, +∞
（［大前提］研究函数的单调性时，一定要坚持定义域优先原则）.
1 > 2 ,
又等价于ቊ
或ቊ
即ቊ
或
1 < 2
1 − 2 < 0
1 − 2 > 0,
ቊ
1 < 2 ,
第3讲 函数的单调性和最值的处理途径(解析版)
第3讲 函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一 定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。
第2节 函数的单调性与最值(经典练习及答案详解)
第2节 函数的单调性与最值知识梳理1.函数的单调性 (1)增函数与减函数(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×解析(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x 答案A解析易知A中y＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数，B ，C 中函数y ＝x 2－x 与y ＝ln x －x 在(0，＋∞)内不单调，D 中y ＝e x 在(0，＋∞)内是增函数.3.函数y ＝xx －1在区间[2，3]上的最大值是________.答案 2解析 函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2，3]上递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.4.(2021·长沙检测)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞).5.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A.是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增B.是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12单调递减C.是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递增D.是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递减答案 D解析f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12，关于原点对称， 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C ；又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x ＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， ∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减.故选D. 6.(2021·聊城检测)函数f (x )＝9x 2＋x －1的最小值为________. 答案 9解析 ∵f (x )的定义域为[1，＋∞)， 且y ＝9x 2与y ＝x －1在[1，＋∞)内均为增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝9.考点一 确定函数的单调性(区间)1.(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 12 B.y ＝2－x C.y ＝log 12xD.y ＝1x答案 A解析 由图象知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增. 故选A.2.函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数.则本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质，得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.3.(2021·重庆联考)下列函数的图象既关于直线x ＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是( ) A.y ＝sin πx B.y ＝|x －1| C.y ＝cos πxD.y ＝e x ＋e －x答案 C解析 A 中，当x ＝1时，y ＝sin π＝0≠±1，所以y ＝sin πx 不关于直线x ＝1对称，则A 错误.B 中，y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，－x ＋1，x <1，在区间[－1，0]上为减函数，则B 错误.D 中，y ＝f (x )＝e x ＋e －x ，则f (0)＝2，f (2)＝e 2＋e －2，则f (0)≠f (2)，所以y ＝e x ＋e－x 不关于直线x ＝1对称，则D 错误.4.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.答案 [0，1)解析由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g (x )的递减区间是[0，1). 感悟升华 1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法.2.函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点二 函数的最值(值域)【例1】 (1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.(2)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 答案 (1)3 (2)1解析 (1)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)法一 在同一坐标系中， 作函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 感悟升华 1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练1】 (1)已知1≤x ≤5，则下列函数中，最小值为4的是( ) A.y ＝4x ＋1xB.y ＝x ＋4x ＋1C.y ＝－x 2＋2x ＋3D.y ＝5＋ln x －1x(2)(多选题)(2021·淄博质检)对于实数x ，记[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x )＝x －[x ]，则下列说法中正确的是( ) A.f (－3.9)＝f (4.1) B.函数f (x )的最大值为1 C.函数f (x )的最小值为0 D.方程f (x )－12＝0有无数个根 答案 (1)D (2)ACD解析 (1)函数y ＝4x ＋1x 在[1，5]上递增，所以4x ＋1x ≥5，A 不符合题意；因为x≥1，所以y＝x＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意.易知函数y＝5＋ln x－1x在(0，＋∞)上递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5＋ln 1－11＝4，D符合题意.(2)f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；方程f(x)－12＝0的解为x＝k＋12(k∈Z)，D正确.故选ACD.考点三函数单调性的应用角度1利用单调性比较大小【例2】(1)(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝1e x＋1－12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为()A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<cD.a<b<c(2)(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝x－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则()A.c>b>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b答案(1)C(2)D解析(1)函数f(x)＝1e x＋1－12是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，∴f (40.7)<f (21.3)<f (log 38)，即b <a <c . (2)由f (－x )－f (x )＝0，知f (x )是偶函数， 易知f (x )＝x －2－x 在[0，＋∞)上单调递增.因为a ＝f (－31.2)＝f (31.2)，c ＝f (log 30.2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35)，且31.2>3，1＝log 33<log 35<log 327＝3，0<3－0.2<1，即31.2>log 35>3－0.2>0，所以f (31.2)>f (log 35)>f (3－0.2)，即a >c >b . 角度2 求解函数不等式【例3】 (1)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是________.(2)(2021·青岛联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，若不等式f (ax ＋2)≤f (－1)对于任意x ∈[1，2]恒成立，则a 的最大值为________.答案 (1)(－5，－2)∪(2，5) (2)－1解析 (1)因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.(2)由于f (x )满足f (x )＝f (－x )，可知f (x )的图象关于y 轴对称， ∵f (x )在(－∞，0]上单调递减， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增.根据f (x )的图象特征可得－1≤ax ＋2≤1在[1，2]上恒成立， 得－3x ≤a ≤－1x 在[1，2]上恒成立， 所以－32≤a ≤－1，故a 的最大值为－1. 角度3 求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2020·九江三校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x ，x <2，34x 2－3x ＋4，x ≥2，若不等式a≤f (x )≤b 的解集恰好为[a ，b ]，则b －a ＝________.(2)(2021·衡水中学检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥4，2ax －3，x <4，对任意x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)4 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 解析 (1)易知f (x )在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x <2时，22－x > 22－2＝1， ∴f (x )min ＝f (2)＝1，又a ≤f (x )≤b 的解集恰好为[a ，b ]. ∴必然有a ≤1，此时22－1＝2，所以b ≥2. 依题设，34b 2－3b ＋4＝b ，解得b ＝4或b ＝43(舍). 令22－x ＝4，得x ＝0，所以a ＝0，于是b －a ＝4. (2)依题设，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥4，2ax －3，x <4在R 上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，8a －3≤2，解得0<a ≤58. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58.感悟升华 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练2】 (1)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32) C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 (2)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________. 答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析 (1)因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34). 又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)<f (2－23)<f (2－32). 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314<f (2－23)<f (2－32). (2)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0， 所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. 构造函数破解不等式(方程)问题对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.【典例】(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2答案 B解析 由指数和对数的运算性质可得2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .故选B.素养升华 1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )”时要充分借助选项与提供的信息.【训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A.ln(y －x ＋1)>0B.ln(y －x ＋1)<0C.ln|x－y|>0D.ln|x－y|<0答案A解析原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.A级基础巩固一、选择题1.(2021·青岛一中月考)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为()A.(－∞，－2)B.(2，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案A解析f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令t＝x2－4，易知t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，又y＝log12t是减函数，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2).2.(2021·宜宾调研)下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，f（x2）－f（x1）x2－x1>0的是()A.f(x)＝x－1B.f(x)＝log2|x|C.f(x)＝cos xD.f(x)＝2x＋1答案B解析 满足条件的函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∵f (x )＝x －1为奇函数，f (x )＝2x ＋1非奇非偶，f (x )＝cos x 为周期函数，且在(0，＋∞)上不单调，∴A ，C ，D 项均不正确，只有f (x )＝log 2|x |为偶函数，且在(0，＋∞)上递增.3.(2021·南昌四校联考)已知函数f (x )＝3x －2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.c <a <bC.b <a <cD.b <c <a答案 D解析 对f (x )＝3x －2cos x 求导得f ′(x )＝3＋2sin x ，则有f ′(x )＝3＋2sin x >0在R 上恒成立，则f (x )在R 上为增函数.又2＝log 24<log 27<3<32，所以b <c <a .4.若函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2) 答案 D解析 函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0.∴m 的取值范围是[－1，2).5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x <0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 答案 C解析 由分段函数f (x )在R 上单调递减，可得0<a <1，根据二次函数图象及性质，可得－4a －32≥0，解得a ≤34，又由3a ≥log a (0＋1)＋1得3a ≥1，解得a ≥13.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34. 6.定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( )A.2B.3C.4D.6 答案 C解析 画出函数M ＝max{2x ，2x －3，6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.二、填空题7.若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 8.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 9.(2021·山东师大附中调研)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1， ＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减， 又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.三、解答题10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1).(1)求方程f (x )＝0的解；(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0得－3<x <1. ∴f (x )的定义域为(－3，1).则f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)，x ∈(－3，1)，令f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，解得x ＝－1－3或x ＝－1＋3，经检验，均满足原方程成立.故f (x )＝0的解为x ＝－1± 3.(2)由(1)得f (x )＝log a [－(x ＋1)2＋4]，x ∈(－3，1)，由于0<－(x ＋1)2＋4≤4，且a ∈(0，1)，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，由题意可得log a 4＝－1，解得a ＝14，满足条件.所以a 的值为14.11.已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围.解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1 ＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)，即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2.∴x 的取值范围是(－∞，2).B 级 能力提升12.(多选题)(2021·长沙调研)函数f (x )的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得函数f (x )满足：①f (x )在[a ，b ]内是单调函数；②f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]，则称区间[a ，b ]为y ＝f (x )的k 级“理想区间”.下列结论正确的是( )A.函数f (x )＝x 2存在1级“理想区间”B.函数f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”C.函数f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)存在3级“理想区间” D.函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2不存在4级“理想区间” 答案 ABC解析 易知[0，1]是f (x )＝x 2的1级“理想区间”，故A 正确；由于g (x )＝e x －2x 无零点，因此f (x )＝e x 不存在2级“理想区间”，故B 正确；由h (x )＝4x x 2＋1－3x ＝0(x ≥0)，得x ＝0或x ＝33，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33是f (x )＝4x x 2＋1(x ≥0)的一个3级“理想区间”，C 正确；易知y ＝tan x 的图象与直线y ＝4x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内有三个交点，因此f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2有4级“理想区间”，故D 错误.13.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)解析 作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.14.已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2(a >0，且a ≠1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围.解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0， 当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }.(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数.则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋a x －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立. ∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞).由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.故a 的取值范围为(2，＋∞).。
必修一函数的单调性与最值(含答案)
∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.
(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，
其对称轴为x= .
①当 ≤ a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a< <a+1，即-2<a<0时，f(x)min=f( )=- +2.
由已知条件得 ≤ ,则a≤2,f(2)=11-2a≥7.
答案：［7,+∞)
8.【解析】∵5x-2≥0,∴x≥ ,∴y≥0.
又y= (当且仅当x= 时取等号).
答案：
9.【解析】由已知x1≠x2,都有 <0，知f(x)在R上为减函数，则需
解得0<a≤ .
答案：(0, ］
10.【解析】(1)当x>0时，f(x)= .
当a>1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有 ,得a=2,综上知a=2.
4.【解析】选 . 由函数解析式知f(x)在(-∞,4)和（4，+∞）都是减函数，又 ∴减区间有两个(-∞,4)和（4，+∞）.
5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)= ,
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
11.（2012·南平模拟）已知函数f(x)=ax2-2x+1.
专题2.2 函数的单调性与最值(解析版)
第二篇函数、导数及其应用专题2.2 函数的单调性与最值【考纲要求】理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义【命题趋势】函数的单调性和最值是高考中的热点问题，考查内容经常是利用单调性求最值或者求参数的取值范围【核心素养】本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养【素养清单•基础知识】1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【素养清单•常用结论】在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f(x)的单调性相反；(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．【真题体验】1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知，则（）A．B．C ．D．【答案】B【解析】即则．故选B．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为（）A ．B．C ．D．【答案】A【解析】因为，，，即，所以.故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较.3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a>b，则（）A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，但，则A错，排除A；由，知B错，排除B；取，满足，但，则D错，排除D；因为幂函数是增函数，，所以，即a3−b3>0，C正确.故选C．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而.故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，因为，所以，即，解得，所以故选D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．7．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|【答案】B【解析】由所给选项知只有y＝x3的定义域是R且为增函数．故选B．8．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0【答案】C【解析】当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，则a＝2；当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2，所以a＝±2.故选C．9．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为__________．【答案】(－∞，－2)【解析】函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝log12t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log12t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．10．设a为常数，函数f(x)＝x2－4x＋3.若f(x＋a)在[0，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．【答案】[2，＋∞)【解析】因为f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，所以f(x＋a)＝(x＋a－2)2－1，且当x∈[2－a，＋∞)时，函数f(x＋a)单调递增，所以2－a≤0，所以a≥2.【考法拓展•题型解码】考法一确定函数的单调性或单调区间解题技巧；确定函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．【例1】判断并证明函数f(x)＝axx－1(其中a≠0)在x∈(－1,1)上的单调性．【答案】见解析【解析】设－1<x1<x2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 【例2】 求下列函数的单调区间．(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)．【答案】见解析【解析】 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象，如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 考法二 求函数的最值(值域)解题技巧：求函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法：先确定函数单调性或函数的图象，再由单调性或函数的图象求最值(值域)． (2)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)． (3)分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的最值(值域)经常使用“分离常数法”求解．(4)配方法：配方法是求“二次函数型函数”最值(值域)的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的最值(值域)问题，均可使用配方法．另外，还可用判别式法、有界性法等来求最值(值域)．【例3】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为__________．(2)函数y ＝x ＋x －1的最小值为__________． 【答案】(1)2 (2)1【解析】 (1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.(2)令t ＝x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥y (0)＝1.故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1. 【例4】 求下列函数的值域．(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ；(3)y ＝x ＋4＋9－x 2；(4)y ＝2x 2＋4x －7x 2＋2x ＋3；(5)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 【答案】见解析【解析】(1)(有界性法)由y ＝5x －14x ＋2，得x ＝2y ＋15－4y .因为－3≤x ≤－1，所以－3≤2y ＋15－4y≤－1，解得85≤y ≤3，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤85，3.(2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54.所以t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，所以函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，54. (3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋4.因为0≤θ≤π，所以π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1.所以1≤y ≤32＋4，所以函数的值域为[1,32＋4]． (4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7，整理得(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0，显然y ≠2，将上式看作关于x 的一元二次方程，易知原函数的定义域为R ，则上述关于x 的一元二次方程有实根，所以[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0，解不等式得－92≤y ≤2，又y ≠2，所以原函数的值域为⎣⎡⎭⎫－92，2.(5)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出点B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于一点P ，此时距离之和最小，所以y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，所以函数的值域为[10，＋∞)．考法三 函数单调性的应用 归纳总结(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． (3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例5】 (1)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b【答案】C【解析】由f (x )是奇函数可得a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .(2)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C ．⎣⎡⎭⎫－14，0 D ．⎣⎡⎦⎤－14，0 【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.故选D ．【例6】 (2019·兰州模拟)函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)＜2. 【答案】见解析【解析】(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，因为当x >0时，f (x )>1，所以f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在R 上为增函数． (2)因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，所以f (1)＝2，所以f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，因为f (x )在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)． 【易错警示】易错点 混淆“单调区间”和“区间上单调”【典例】 若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4的单调减区间是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是__________． 【错解】：a ≤－3 函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a ≥4，即a ≤－3.【错因分析】：错解中混淆了“单调区间”和“区间上单调”两个概念，把单调区间误认为是在区间上单调． 【正解】：a ＝－3 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以有1－a ＝4，即a ＝－3. 误区防范“单调区间”与“在区间上单调”的区分：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域． (2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．【跟踪训练】 若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________． 【答案】(0，＋∞)，{}0【解析】因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0. 【递进题组】1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】D【解析】 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 【答案】C【解析】由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，排除A ，D 项；B 项中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；C 项中，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23 D ．⎣⎡⎭⎫12，23 【答案】A【解析】由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13化为f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13.可知|2x －1|<13，解得13<x <23.故选A ． 4．函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】 [3，＋∞)【解析】 因为函数f (x )＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ≤0在(0,2)内恒成立，即a ≥32x在(0,2)内恒成立，而32x <3，故a ≥3.5．若对∀x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数g (x )＝2xx 2＋1＋f (x )＋3在[－2 019，2 019]上的最大值M 与最小值m 的和M ＋m ＝__________. 【答案】 6【解析】 对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝0，有f (0)＝f (0)＋f (0)，则f (0)＝0，令y ＝－x ，有f (0)＝f (x )＋f (－x )，则f (x )＋f (－x )＝0.所以f (x )为奇函数，又设函数φ(x )＝2xx 2＋1，φ(x )为奇函数，则g (x )＝φ(x )＋f (x )＋3，而φ(x )＋f (x )为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，所以奇函数g (x )－3的最大值为M －3，最小值为m －3，且M －3＋m －3＝0，所以M ＋m ＝6. 【考卷送检】 一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3－x 为减函数．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2019·烟台九中期末)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1D ．1【答案】B【解析】 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即m ＝－2.4．(2019·南昌二中月考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，34 B ．⎝⎛⎦⎤0，34 C ．⎣⎡⎭⎫0，34 D ．⎣⎡⎦⎤0，34 【答案】D【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 5．(2019·黄石二中期中)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12【答案】C【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.因此f (x )在定义域内为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D ．二、填空题7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.【答案】 6【解析】 易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，所以a ＋b ＝6.8．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________． 【答案】 [3，＋∞)【解析】 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的增区间为[3，＋∞)． 9．已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎦⎤－12，2 【解析】 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12 t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12 (x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －－a 2≤1，g (1)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2. 三、解答题10．已知函数f (x )＝x ＋2x .(1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2,8]上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 (1)定义域为{x |x ≠0}．又f (x )＝1＋2x ，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 1－⎝⎛⎭⎫1＋2x 2＝2x 1－2x 2＝2(x 2－x 1)x 1x 2.又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2,8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.11．(2019·福州一中期中)已知f (x )＝xx －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减 ，求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：任取x 1＜x 2＜－2，则作差可得f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任取1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]． 12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2.因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，所以2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．13．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 【答案】见解析【解析】 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
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8. 函数 f (x)=ax2-(5a-2)x-4 在[2，+∞)上是增函数，则 a 的取值 范围是__________________．
9. 已知 f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且 f (x 2) f (1 x) ， 则 x 的取值范围是__________________．
10. 判断函数 f (x) x2 1 在(0，+∞)上的单调性，并用定义证明． x
（1）利用单调性定义证明函数 f (x)在[3，5]上的单调性；
（2）求函数 f (x)的最小值和最大值．
15. 已知函数 f (x) x2 2ax 2 ，x∈[-5，5]． （1）当 a 1 时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y f (x) 在区间[-5，5]上是单 调函数．
2. （1）函数 f (x)=x2-2x 的单调递增区间是_______________；
（2）函数 f (x) 1 x 的单调递减区间是_________________； 1 x
（3）函数 f (x) x2 2 | x | 3 的单调递增区间是__________．
3. 已知 f (x)，g(x)定义在同一区间上，f (x)是增函数，g(x)是减函
4
【参考答案】
知识点睛 一、函数的单调性 1. （1） f (x1) f (x2 ) ，增函数
（2） f (x1) f (x2 ) ，减函数 二、函数的最值 1. （1）对任意的 x I ，都有 f (x) ≤ M
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M 2. （1）对任意的 x I ，都有 f (x) ≥ M
2
6. 已知函数 f (x)在 R 上是减函数，则满足 f (| 1 |) f (1) 的实数 x x
的取值范围是（ ）
A．(1，1)
B．(，1)
C．(，0)∪(，1)
D．(∞，1)∪(1，+∞)
7. 如果函数 f (x) x2 (1 a)x 2 在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数 a 的取值范围是__________________．
B． f ( 3) f (a2 a 1) 4
C． f ( 3) ≥ f (a2 a 1) 4
D． f ( ≤ f (a2 a 1) 4
5. 已知函数 f (x)在 R 上是减函数，a，b∈R，且 a+b<0，则下列 不等式一定成立的是（ ） A． f (a) f (b) f (a) f (b) B． f (a) f (b) f (a) f (b) C． f (a) f (b) f (a) f (b) D． f (a) f (b) f (a) f (b)
4 14. （1）证明略
（2）函数 f (x) 的最小值为-4，最大值为-2 15. （1）函数 f (x) 的最小值为 1，最大值为 37；
（2） a ≤ 5，a ≥ 5
5
三、最值计算的方法 1. 利用二次函数的性质（配方法） 2. 利用图象求函数的最大（小）值 3. 利用函数单调性判断函数的最大（小）值
1
精讲精练
1. 下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是（ ）
A． y 3 4x
B． y 1 x 1
C． y x2 x 1
D． y 2x2 5x 2
二、函数的最值 1. 最大值
设函数 y f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）______________________；（2）_____________________． 那么，M 是函数 y f (x) 的最大值． 2. 最小值 设函数 y f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）______________________；（2）_____________________． 那么，M 是函数 y f (x) 的最小值．
（2）存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M 精讲精练 1. D 2. （1） (1， )
（2） ( ，1) ，(1， ) （3） (1，0) ，(1， ) 3. B 4. C 5. B 6. C 7. [9， ) 8. [0，2] 9. [1，3)
2 10. 略 11. 略 12. 3 13. 15
函数的单调性与最值（讲义）
知识点睛
一、函数的单调性 1. 设函数 y f (x) 的定义域为 I，D⊆I，对x1，x2∈D，
当 x1<x2 时， （1）若________，则函数 y f (x) 在区间 D 上是_________； （2）若________，则函数 y f (x) 在区间 D 上是_________． 区间 D 就叫做 y f (x) 的单调区间． 2. 利用定义证明函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性，一般步 骤如下： （1）取值（设 x1，x2 是区间 D 上的任意两个实数值，且 x1<x2） （2）作差变形（作差 f (x1) f (x2 ) ，并通常利用因式分解、 配方等方法，向有利于判断差的正负的方向变形） （3）定号，下结论（判断 f (x1) f (x2 ) 的正负，当符号不确 定时，可以进行分类讨论，再确定差的符号，最后根据定义 得出结论）
数，且 g(x)≠0，则（ ）
A．f (x)+g(x)是减函数
B．f (x)-g(x)是增函数
C．f (x)·g(x)是减函数
D． f (x) 是增函数 g(x)
4. 若函数 f (x)的定义域为 R，且在(0，+∞)上是减函数，则下列
不等式成立的是（ ）
A． f ( 3) f (a2 a 1) 4
11. 判断函数 f (x) x 4 在[2，+∞)上的单调性，并用定义证明. x
3
12. 函数 y 2x2 1，x N* 的最小值是________．
13. 若 0 t ≤ 1 ，则代数式 1 t 的最小值是________．
4
t
14.
已知函数
f (x)
x 2
1 x
，x∈[3，5]．