人教版数学必修一函数的单调性与最大值
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第2课时函数的最大值、最小值)
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
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第三章 函数的概念与性质
函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数 y＝2x2＋2 在(0，＋∞)上是增函数， 又因为 x∈N*，所以当 x＝1 时， ymin＝2×12＋2＝4. 答案：4
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第三章 函数的概念与性质
图象法求函数的最值 已知函数 f(x)＝－2x，x∈（－∞，0），
本部分内容讲解结束
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3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第3课时 函数奇偶性的概念
课件
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
结合具体函数，了解函数奇偶 函数奇偶性的
性的含义，掌握判断函数奇偶 判断
性的方法
奇、偶函数的 了解函数奇偶性与函数图象对
图象
称性之间的关系
奇、偶函数的 会利用函数的奇偶性解决简单
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
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第三章 函数的概念与性质
4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋1 在(－∞，－2)上递减，在[－2， ＋∞)上递增，求 f(x)在[1，2]上的值域． 解：因为 f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所 以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增．
人教版数学必修一函数的单调性与最大值
人教版数学必修一函数的单调性与最大值-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一、函数的单调性1.增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1< x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取x1，x2”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定x1<x2；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（x1）<f（x2）↔x1<x2（4）有的函数不具有单调性，如函数y={1，x为有理数0，x为无理数，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=1x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的（7）函数在某一点处的单调性无意义例1：如图，是定义在[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数y=f(x)的单调性3.判断函数单调性的方法定义法：①取值：在指定区间内任取x1，x2，且令x1<x2②做差变形：将f(x1)-f(x2)进行化简变形，变形后判断f(x1)-f(x2)的正负③定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论④判断：根据增减函数的定义做出结论例2：用单调性的定义求函数f(x)=2x²+4x在[-1,+∞）上的单调性例3：利用函数单调性的定义证明函数f(x)=1x2在（-∞，0）上是增函数4.函数的最大（小）值（1）函数最大值的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) =M那么我们称M是函数y=f(x)的最大值（2）最值的求法①做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图像中直接观察可得最值②求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到（即最值是否存在）③利用函数单调性求最值：若函数在[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a).最小值为f(b)若函数在[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b).最小值为f(a)例4：如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图像，指出它的最大值、最小值例5：已知2x²-3x≤0，则函数f(x)=x²+x+1的最小值为________最大值为________5.复合函数单调性以复合函数y=f(g(x))为例，其单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减求复合函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域②将符合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)③分别确定这两个函数的单调区间④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)) 为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)) 为减函数例6：已知函数f(x)=2x∈[2,6],试判断函数f(x)在x∈[2,6]上的单调性，x−1并求出函数f(x)在x∈[2,6]上的最大值和最小值的单调性例7：讨论函数f(x)=1x²−x−20练习：1.判断函数f(x)=1x²−1在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明2.已知二次函数f(x)=ax ²+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6，则a 的值为________1.若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为__________2.已知f(x)= {求函数f(x)的定义域和值域3.设函数f(x)={x +2,x >01,x =0−x ,x <0,则满足f(x)≥1的取值范围是_________4.已知函数f(x)={3x +5，x ≤0x +5，0＜x ≤1−2x +8，x >1（1）求f(32),f(1π)，f(-1)的值（2）求f(x)的最大值5.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=__________6.已知函数f(x)=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5.5]（1）求实数a的取值范围，是函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数（2）求f(x)的最小值。
高一数学人教版必修一函数的单调性与最大(小)值
x0
图1
x
x0
o
图2
x
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数 f ( x) 的最小值？
一般地，设函数 y f ( x)的定义域为I， 如果存在实数m满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) m; （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) m . 那么称m是函数 y f ( x)的最小值，记作
在区间 0, m 上的
值域为 2, 3 ，求
m 的范围.
课堂小结：
（1）函数的最大（小）值的概念 （2）求函数的最大（小）值一般方法
①对于熟悉的 一次函数、二次函数、反比例函数等 函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大 （小）值 ②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画 出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利 用单调性求出函数的最值
以上数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这 些数据描绘出了著名的“艾宾浩 斯遗忘曲线”,如图.
y
100 80
60 40
20
o
1
2
3
t
思考1:当时间间隔t逐渐增 y 大你能看出对应的函数值y 100 80 有什么变化趋势？通过这个 60 试验，你打算以后如何对待 40 20 刚学过的知识? o 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例3、求函数f(x)= 3
2x-1
-1<x<2 的最值
x≥2
例4
最新人教A版高中数学必修一课件：3.2.1 第一课时 函数的单调性
二、应用性——强调学以致用
2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水，且任意相等的时间间隔内
所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为
y＝f(t)，则以下函数图象中，可能是y＝f(t)的图象是
()
解析：向圆台形容器(下底比上底直径小)注水，由题意知是匀速注水，容 器内水面的高度y随时间t的增加而增加，但越往上直径越大，故高度升高 得越来越慢．故选D.
因为 x1，x2∈(－∞，－2)，且 x1＜x2， 所以(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x－1 a－x2x－2 a＝x1a－xa2－xx2－1 a. 因为 a＞0，x2－x1＞0，又由题意知 f(x1)－f(x2)＞0， 所以(x1－a)(x2－a)＞0 恒成立，所以 a≤1， 即 0＜a≤1，所以 a 的取值范围为(0,1]．
答案：(－∞，1)，(1，＋∞)
2．将本例中“y＝－x2＋2|x|＋3”改为“y＝|－x2＋2x＋3|”，如何求解？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋3|的图象如图所示．
由图象可知其单调递增区间为[－1,1]，[3，＋∞)；单调递减区间为 (－∞，－1)，(1,3)．
题型三 函数单调性的应用
[探究发现]
【对点练清】
1．函数f(x)是R上的增函数且f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则
A．a＞b＞0
B．a－b＞0
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
解析：当a＋b＞0时，a＞－b，b＞－a.
∵函数f(x)是R上的增函数，
高中数学必修一：函数的单调性与最值
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2 6．函数 f(x)＝ 在[－2,0]上的最大值与最小值之差为_____． x－ 1
解析：易知 f(x)在[－2,0]上是减函数， 2 4 ∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－ －(－2)＝ . 3 3
4 答案： 3
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课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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3．谨防 3 种失误 (1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义 域优先”为原则．(如冲关演练第 1 题) (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示． (3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，” 连接，不能用“∪”连接．
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[冲关演练] 1．(2017· 全国卷Ⅱ)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( A．(－∞，－2) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(4，＋∞) )
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考点一
确定函数的单调性区间
[考什么·怎么考]
确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是 高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现， 但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.
[典题领悟]
ax 1．试讨论函数 f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
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x－1＋1 1 1 ＋ 解：法一：设－1<x1<x2<1，f(x)＝a ＝ a ， x － 1 x－1
为减函数， 为增函数；
3 x∈2，＋∞时，f(x)＝x2－3x
1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－ 为增函数； x＋1 当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
答案：C
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3．函数 f(x)＝|x－2|x 的单调减区间是 A．[1,2] C．[0,2] B．[－1,0] D．[2，＋∞)
人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性与最值》
二.有关函数最值的几点说明：
1.M首先是一个函数值，它是函数值域内的一个元素；
2.对于定义域I内的全部元素都有f (x) ≤M或f(x) ≥ M成立；
3.函数的最大值、最小值统称为函数的最值。求一个函数的最值时， 如果它的最大值和最小值都存在，那么都要求出；（特别地，当求 出最值时一定要写出对应的自变量的值）
所以对于R内任意x∈R,都有f (x) ≥f (0)=0.
因此x＝0时， 0是函数的f (x)＝x2最小值.
o⑵ x
口答：
2. 函数f (x)＝－x2的最大值 y
由图像可知:
o y x2
x
对于定义域内任意x∈R，都有
f (x)≤f(0)=0
即x＝0时，f (0)=0是函数值中的最大值.
讲授新课
O
1 2 3 4 5 6x
f
(x1 )
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
y
2[(x2 1)(x1 1)] (x1 1)(x2 1)
2
2(x2 x1 ) .
1
1 2 3 4 5 6 x (x1 1)(x2 1)
O
由2 x1 x2 6，得x2 x1 0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x1 1)(x2 1) 0, 于是f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ).
-4
若x∈[t, t ＋2] ,求函数f(x)的最值.
课堂小结
1. 最值的概念 2. 应用图象和单调性求最值的方法.
课后作业
1. 阅读教材
2.做课后习题
复习引入
观察下列图像，它们的单调性如何？你能从图像上找出它
们的最高点和最低点吗？
人教A版必修一第一章1.3.1 第1课时单调性与最大(小)值
k≠0)与一次函数(y＝ kx＋b，k≠0)
k＜0
无
R
反比例函数 (y＝kx，k≠0)
k＞0
无
k＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞)
(－∞，0)和 (0，＋∞)
无
二次函数 (y＝ax2＋bx＋c，
a≠0)
a＞0 a＜0
[－2ba，＋∞) (－∞，－2ba]
(－∞，－2ba] [－2ba，＋∞)
• 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，
• 『规律方法』 利用函数的单调性解函数值的不等式就是 利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转
化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件， 以防出错．
• 〔跟踪练习3〕 • 已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求
实数t的取值范围．
[解析] ∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t，∴t>13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．
• 『规律方法』 1.函数单调性的证明方法——定义法 • 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
• 2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为 多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是 分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是 根式，则先“分子有理化”再分解因式．
(2)设x1>x2>－1， 则x1－x2>0，x1＋1>0， x2＋1>0， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21 ＝x12＋x11－xx2＋2 1>0， ∴y1>y2， ∴函数y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
人教版高中数学必修一1.3.1__单调性与最大(小)值_第2课时__函数的最大值、最小值ppt课件
15
3.求函数 f ( x)在区x间2[-1,3]上的最大值和最小值.
【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3] 上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数 值中最大的. 【答案】最大值是9，最小值是0.
对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明 地使用他们的单调性求函数最值
在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是 后退.
——亚里士多德
22
ห้องสมุดไป่ตู้
19
1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体 性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单 调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有 利于问题的解决.
20
谢谢观看！
13
求函数 f (x) 在区3x间[-1,3]的最大值和最小值。
【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数. 【答案】最大值是9，最小值是-3.
14
1. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是(
)
(A)a≥3
D
(C)a≥-3
(B)a≤3 (D)a≤-3
2.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-∞，-2]上递减，在[-2, +∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域为____________. [21,49]
17
5.求函数 f (x) x2在区2间ax[0,4]上的最小值.
【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界 点.根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分
高中数学人教A版必修一函数的单调性与最大小值课件
2020年12月11日星期五
( 高 中 数 学人 教A版 必修一 )1.3.1 -函数的 单调性 与最大 (小)值 课件( 共41张 PPT)
实例分析：画出函数y = x的图象
y y=x
1·
x1
O 1· x
f(x1)
观察函数图象,并指出函数的变化趋势?
( 高 中 数 学人 教A版 必修一 )1.3.1 -函数的 单调性 与最大 (小)值 课件( 共41张 PPT)
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
对比左图和上表,可以发现什么规律?
图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0]
上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小;
图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞
上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.
f (x1)
x1 O
x
2020年12月11日星期五
( 高 中 数 学人 教A版 必修一 )1.3.1 -函数的 单调性 与最大 (小)值 课二次函数的图象
观察函数f(x)=x与f(x)=x2的图象是怎样变化的,它们有怎样 的升降规律?
不同的函数,其图象的变化趋势可能也不同,同一函数在不同 区间上的变化趋势也不一定相同.
函数图象的这种变化规律反映了函数的一个重要性质 --- 函 数的单调性
( 高 中 数 学人 教A版 必修一 )1.3.1 -函数的 单调性 与最大 (小)值 课件( 共41张 PPT)
2020年12月11日星期五
( 高 中 数 学人 教A版 必修一 )1.3.1 -函数的 单调性 与最大 (小)值 课件( 共41张 PPT)
课件_人教版高中数学必修一函数的单调性与最大值PPT课件_优秀版
1
2
作差
=3( x - x ) 变形 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数
。 画出下列函数的图象，并指出函数的单调
1
2
由x <x ，得 x - x <0 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
例题4
求 函 数f (x) x2 2x 3在 区 间[0,a]上 的 最 大 值 和 最 小. 值
若 f(x)x24x4在 区 [a1间 ,a] 上 的 值 [1,8]求 ,域 a的 为值 。
函数值随着自变量x 的增大而增大
函数值随着自变量x 的增大而减小
引入四：
y x2
x 0 1 -1 2 -2 … y 0 1 -1 8 -8 …
y x3
1）图象在y轴右侧随着x 的增加，y的值在增加
2）图象在y轴左侧随着x 的增加，y的值在减小
函数值随着自变量x 的增大而增大
单调性：
y
y f(x)
判号
即 f(x1)<f(x2)
所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
结论
证明单调性：
证明函数 f(x) 为增函数。
2x1在
[
1 2
任意
, ) 上
x1<x证2，明则：f(设x 1 x)1 ,x2f是(x [2) 12 ,2 x 1) 上1 任 意两2 x 彻个2 实底1 数，且 遇到根号
取值 作差
1.已知 f(x)在R上单调递减， (1)比较 f(a2 1)与f(a)的大小； (2)若f(m2) f(3)，求 m的取值范 . 围
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点1、函数单调性的定义：对于某区间内任意给定的两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) ，则f(x)在该区间上是增函数；而如果总有f(x1)≥f(x2) ，则f(x)在该区间上是减函数；特别地，如果总有f(x1)＜f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格增函数；如果总有f(x1)＞f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格减函数。
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
3、利用定义证明函数单调性的步骤：①取值x1和x2，并令x1<x2；②做差f(x1)-f(x2) 并变形，通过因式分解/通分/配方/分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向（即因式相乘/除的形式）变形；③判断f(x1)-f(x2)符号，有参数时，需要分类讨论；④得出结论。
4、判断含参数的函数的单调性时，注意对参数进行分类讨论。
函数的单调区间可以直接由图像判断，从左到右是上升的，则是单调递增区间，从左到右是下降的，则是单调递减区间。
5、复合函数的单调性：同增异减。
即对于复合函数y=f[g(x)]，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相异，则y=f[g(x)]是减函数。
6、基础函数的单调性：①一次函数y=kx+b，k＞0时是增函数，k＜0时是减函数。
②反比例函数y=k/x，当k＞0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，k＜0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是增函数。
③二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时开口向上，对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，当a＜0时开口向下，对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
④幂函数y=x a，a＞0时，在第一象限是增函数，a＜0时，在第一象限是减函数，其他象限的情况根据奇偶性来判断。
⑤指数函数y=a x，0＜a＜1时，是减函数，a＞1时，是增函数。
人教A版高中数学必修一1.3.1+函数的单调性和最大小值+教案
函数单调性与最大(小)值（第一课时）一、二、教材分析:《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已经学习了函数的概念、定义域、值域、表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，也了解了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数单调性的定义，对于函数单调性的判断也主要根据图像观察得到，而本小节内容，正是对初中有关内容的一个深化和提高，给出了具体的函数在某个区间上是增函数还是减函数的定义，并明确指出函数的单调性是相对于那个区间的，还介绍了判断函数单调性的两种方法，做到将图像与定义证明结合在一起的思想。
函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。
这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。
首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。
这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。
二、学情分析:学生已经学习了函数的概念、定义域和值域，因此他们具有了一定的抽象概括、类比归纳，符号表达的能力，在此基础上进一步研究函数的性质，对于他们来说不是太难。
但由于函数的图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本次教学时，要充分使用信息技术创设教学情境，这样有利于学生更好地观察和探究函数的单调性、最值等性质，同时还要特别注意让学生经历这些概念形成的过程。
三、教学目标:1、知识与技能：理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。
掌握函数增减性的证明：掌握判断简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。
2、过程与方法：能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。
通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。
3、情感态度与价值观：借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题在高一数学必修一的学习中，函数的单调性与最值问题是非常重要的一部分内容。
它不仅是后续数学学习的基础，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
首先，我们来理解一下什么是函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。
如果函数值随着自变量的增大而增大，我们就说这个函数在某个区间上是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那么这个函数在这个区间上就是单调递减的。
为了判断函数的单调性，我们通常会采用定义法。
假设给定函数$f(x)＄，定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1<x_2$时，如果都有$f(x_1)＜f(x_2)＄，那么就称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递增的；如果都有$f(x_1)＞f(x_2)＄，则称函数$f(x)＄在区间$D$上是单调递减的。
比如说，对于一次函数$y ＝ 2x ＋ 1$，我们可以任取两个自变量的值$x_1$和$x_2$，且$x_1 ＜ x_2$。
那么$f(x_1) ＝ 2x_1 ＋ 1$，＄f(x_2) ＝ 2x_2 ＋ 1$。
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$2x_1 ＜ 2x_2$，从而$f(x_1)＜ f(x_2)＄，所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。
再比如，二次函数$y ＝ x^2$。
当$x ＜ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐减小，函数是单调递减的；当$x ＞ 0$时，随着$x$的增大，＄y$的值逐渐增大，函数是单调递增的。
除了定义法，我们还可以通过函数的导数来判断单调性。
这对于一些复杂的函数会更加方便和高效，但这是后续学习的内容，在高一阶段，我们主要还是掌握定义法。
接下来，我们谈谈函数的最值问题。
函数的最大值和最小值，简单理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。
如果函数在某个区间上是单调递增的，那么在区间的左端点处取得最小值，在右端点处取得最大值；如果函数在某个区间上是单调递减的，那么在区间的右端点处取得最小值，在左端点处取得最大值。
高中数学人教版必修一单调性与最大值
y
4、函数f ( x)=x2在定义域内是增函数.
(3)单调性是针对函数的定义域内的某个区间而言，不O 一定整1 个定2义x 域内都具有单调性. ——在谈单调性时一定要强调区间
高中数学人教版必修一单调性与最大 值
高中数学人教版必修一单调性与最大 值
5、函数f ( x)=x2在x 0处是增函数.
(1)函数单调性是对定义域某个区间而言，单独一点，由于其函数值 是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题.
高中数学人教版必修一单调性与最大 值
图象
定义域 图象变 化趋势
函数值 f(x) 大 小的变 化规律
函数f ( x) x2
y
函数f ( x) x2在区间(，0)上
3
y=x2
是减函数
2 1
函数f ( x) x2在区间(0, )上
(
-2
-1 ，0+12)
x
是增函数
问题：
在 y 轴左侧呈“下降怎”么趋用势准确的数学符号语言说明：
C. y 1 D. y x2 4 x
C 3、 函数y | x 2 | 在区间[3, 0]上是（ ）
A.单调递减 B.单调递增 C.先减后增 D.先增后减
三、练习巩固
4、(1)二次函数 y=x2﹣2x+1 的单调递增区间是： [1,+∞)
(2)二次函数 y=﹣x2﹣2x+1 的单调递增区间是： (-∞,1]
y y=x2
4 3 2 1
-2 -1 O 1 2 x
函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0)， (1)对于任意x∈R，都有 f(x) ≥0 ， (2)存在x = __0_，有__f(_0_)_=__0___， 我们就说f(x)有 最小值为0 。
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二、函数的最大值与最小值的几何意义
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低 点，它们不一定只有一个．
常考题型
一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
那么，称M是函一数y＝f(求x)的函最数大值的．最值
理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
函数的最值与值域、单调性之间的联系
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
1 单调性与最大（小）值 (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. 如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在 顶点处取得.
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在 顶点处取得. 一、函数的最大值与最小值
1. (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a). 函数的最值与值域、单调性之间的联系 (2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得. 1 单调性与最大（小）值 利用函数的单调性求最值 那么，称M是函数y＝f(x)的最大值． 一、函数的最大值与最小值 1 单调性与最大（小）值
人教A版必修1高一数学.1单调性与最大值-【完整版】
任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 x1
1 -
x2
=
x2 - x1 x1x2
由于x1,x2 0,+ 得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0
所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2).
函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
（2）在区间（- ∞ ，0）上，同理可得到函数
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增， 则函数y=f (x)的最值是什么？
y
当x=m时，f (x)有最
f(n) 小值f (m)，当x=n时,f (x)
mn
有最大值f (n).
O
x
f(m)
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10
2 (-4.9)
数有最大值
5
o 123 4
t h = 4 (-4.9)18 - 14.72 29
4 (-4.9)
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此 时距离地面的高度约为29m.
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思 考 （1）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1
时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?
y
3
1
012 x
思 考 （2）对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1,
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以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
课程 在这里,我想讲几点最关键的策略,以帮助教师在课堂上合理安排学 生活动。今天,我们的主题简短、明确并易于实践。 目标如下: (1)帮助教师了解当学生没有事情可做时,会出现什么状况; (2)给教师提供几个规划课堂的好方法首先,以这几个问题开始
●你是否曾经在给学生布置任务时,要求所有人在同样的时间里 完成? 你是否曾注意到,布置任务时要求的时间越长,有些学生磨蹭的时间 就越长?
教师在管理课堂时,遇到的很大一个问题就是时间管理。优秀 的课堂管理者会努力避免在课堂上出现令学生感到无所事事的 情形。从上课铃到下课铃的整个课堂时间里,他们会保证学生的 注意力一直在学习上,从开始上课直到下课离开,都不会有人闲 下来。
管好课堂时间的五点建议 1.计划充分。教师要为课堂教学准备出足够的内容(要有意义
最大值 ymax=f(x0) 最小值 ymin=f(x1)
复习回顾
D 1、下列说法正确的是（ ）
A.若存在x1, x2 D，当x1 x2时，f ( x1) f ( x2 )，则f ( x)是 区间D上的增函数；
B.函数y 1 在定义域上是增函数； x
C.定义在R上的函数f ( x)对任意两个不相等的实数a、b，
例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期 望在它达到最高点时暴裂，如果烟花距地面的高度h m与 时间t s之间的关系为h(t) 4.9t 2 14.7t 18，那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高 度是多少（精确到1m）?
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一、函数的单调性
1.增函数和减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f()<f()，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() >f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间
（1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x 在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x²在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）<
（4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性
（5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）”
（6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的
（7）函数在某一点处的单调性无意义
例1：如图，是定义在[-5,5]上的函数
y=f(x)的图像，根据图像写出单调区间，以及在每一个区间上函数y=f(x)的单调性
3.判断函数单调性的方法
定义法：
①取值：在指定区间内任取，，且令<
②做差变形：将f()-进行化简变形，变形后判断f()-的正负
③定号：确定f()-的符号，若不能直接确定差值的符号，可以考虑分类讨论
④判断：根据增减函数的定义做出结论
例2：用单调性的定义求函数f(x)=2x²+4x在[-1,+∞）上的单调性
例3：利用函数单调性的定义证明函数f(x)=在（-∞，0）上是增函数
4.函数的最大（小）值
（1）函数最大值的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
②存在∈I，使得f( =M
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值
（2）最值的求法
①做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图
像中直接观察可得最值
②求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到（即最值是否存在）
③利用函数单调性求最值：
若函数在[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a).最小值为f(b)
若函数在[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b).最小值为f(a)
例4：如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]
的图像，指出它的最大值、最小值
例5：已知2x²-3x≤0，则函数f(x)=x²+x+1的最小值为________最大值为________
5.复合函数单调性
以复合函数y=f(g(x))为例，其单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减
求复合函数单调区间的步骤：
①确定函数的定义域
②将符合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)
③分别确定这两个函数的单调区间
④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x)) 为增函数，若一增一减，则y=f(g(x)) 为减函数
例6：已知函数f(x)= x∈[2,6],试判断函数f(x)在x∈[2,6]上的单调性，并求出函数f(x)在
x∈[2,6]上的最大值和最小值
例7：讨论函数f(x)=的单调性
练习：
1.判断函数f(x)=在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明
2.已知二次函数f(x)=ax²+2ax+1在区间[-2,3]上的最大值为6，则a的值为________
1.若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为__________
2.已知f(x)=求函数f(x)的定义域和值域
3.设函数f(x)= ,则满足f(x)≥1的取值范围是_________
4.已知函数f(x)=
（1）求f(),f()，f(-1)的值
（2）求f(x)的最大值
5.已知f(x)是一次函数，2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则
f(x)=__________
6.已知函数f(x)=x²-2（a-1）x+2，x∈[]
（1）求实数a的取值范围，是函数f(x)在区间[-5,5]上是单调函数（2）求f(x)的最小值。