高中数学必修一函数的单调性和最值

必修一函数的单调性和最值

一、选择题

1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )

A ．递减函数

B ．递增函数

C ．先减后增

D ．先增后减

答案 C

解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．

2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0”的是( )

A ．f (x )＝1x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

答案 A

解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )

A ．a <－3

B ．a ≤－3

C ．a >－3

D ．a ≥－3

答案 B

解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.

4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )

A ．y ＝cos x

B ．y ＝－|x －1|

C ．y ＝ln 2－x 2＋x

D ．y ＝e x ＋e －x 答案 D

5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是

( )

A ．(－∞，－3)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－1，＋∞)

答案 A

解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)

∴y ＝log a 5>0，∴a >1

由复合函数单调性知

单减区间须满足⎩⎨⎧

x 2＋2x －3>0x <－1

，解之得x <－3. 6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )

A ．f (－5)>f (3)

B ．f (－5)

C ．f (－3)>f (－5)

D ．f (－3)

解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.

7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )

A ．(3,8)

B ．(－7，－2)

C ．(－2，－3)

D ．(0,5)

答案 B

解析 令－2

8．(09·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.

若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

答案 C

解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．

又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，

∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.

9．(2010·北京卷)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12

(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

答案 B

解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中

的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上

为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.

二、填空题

10．给出下列命题

①y ＝1x 在定义域内为减函数；

②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；

③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；

④y ＝kx 不是增函数就是减函数．

其中错误命题的个数有________．

解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．

11．函数f (x )＝|log a x |(0

答案 [1，＋∞)

解析 函数图象如图

12．函数f (x )＝－x 2

＋|x |的递减区间是________．

答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合

13．在给出的下列4个条件中，

①⎩⎨⎧ 01a ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧

a >1x ∈(0，＋∞)

能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．

(把你认为正确的条件编号都填上)．

答案 ①④

解析 利用复合函数的性质，①④正确．

14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．

答案 (0，110)

解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．

不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0

(2010·深圳)若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值

范围是________．

答案 [－2，＋∞)

解析 由h ′(x )＝2＋k x 2≥0，得k ≥－2x 2，由于－2x 2在[1，＋∞)内的最大

值为－2，于是，实数k 的取值范围是[－2，＋∞)．

三、解答题

15．(2011·惠州调研)已知f (x )＝x x －a

(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．