高考数学导数与函数单调性

3
递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1]
B.
1,
1 3
C.
1 3
,
1 3
D.
1,
1 3
答案 C f '(x)=1- 2 cos 2x+acos x=1- 2 (2cos2x-1)+acos x=-4 cos2x+acos x
3
3
3
+ 5 , f(x)在R上单调递增,则f '(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,则t∈[-1,1],则
2
ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))
单调递减.
方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤
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①求f '(x).
②确定f '(x)在(a,b)内的符号.
③作出结论,依据是f '(x)>0时为增函数; f '(x)<0时为减函数.
3
- 4 t2+at+ 5 ≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4
3
3
t2-3at-5,则
g g
(1) (1)
4
4
3a 3a
5
5
0, 0,
解得-
1 3
≤a≤
1 3
,故选C.
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3.函数y= 1 x2-ln x的单调递减区间为
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判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f '(x)>0. (×) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f '(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调 性. (√) (3)在(a,b)内f '(x)≤0且f '(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (√)
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考点一 利用导数求函数的单调区间 典例2 (2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.求f(x) 的单调区间. 解析 由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论: (i)当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞, +∞).
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1.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是 ( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 答案 D ∵在(0,π)上, f '(x)=-sin x-1<0,∴f(x)在(0,π)上单调递减,故 选D.
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2.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x- 1 sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调
(ii)当a>0时,令f '(x)=0,解得x= 3a ,或x=- 3a .
第二节
理数
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导数课与标函版数的单调性
教材研读
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函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f '(x)>0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内① 单调递增 ; (2)若f '(x)<0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内② 单调递减 ; (3)若f '(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是③ 常数函数 .
[提醒] 研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式
解集的影响进行分类讨论.
1-1 (2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=- 4处取得极值
3
.
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.
解析 (1)对f(x)求导得f '(x)=3ax2+2x,
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因为f(x)在x=-
4 3
处取得极值,所以f
'
4 3
=0,
即3a·16
9
+2×
4 3
16a
=
3
8
-
3
=0,解得a=1
2
.
(2)由(1)得g(x)=
1 2
x3
x2
ex,
故g'(x)=
3 2
x2
2x
ex+
1 2
x3
Hale Waihona Puke Baidux2
ex
=
1 2
x3
5 2
x2
2x
ex=
1 2
x(x+1)(x+4)ex.
令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.
当x<-4时,g‘(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g'(x)>0,故g(x)为增函数;
当-1<x<0时,g'(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g'(x)>0,故g(x)为增函数.
综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
即a≤3x2,
又x∈[1,+∞)时,3x2≥3,
∴a≤3,即a的最大值是3.
考点突破
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考点一 利用导数判断或证明函数的单调性 典例1 (2016课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x) 的单调性. 解析 f '(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在 (-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. (ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a). ①若a=- e ,则f ' (x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
2
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②若a>- e ,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈
2
(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)
单调递减.
③若a<- e ,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,
.
2
答案 (0,1]
解析 由题意知函数的定义域为(0,+∞),由y'=x- 1 ≤0(x>0),解得0<x≤1,
x
所以函数的单调递减区间为(0,1].
4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是
.
答案 3
解析 f '(x)=3x2-a,由题意知在[1,+∞)上, f '(x)≥0,