1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数知识要点1，函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(),a b内，如果，那么函数()=在这个区间内单y f xy f x=在这个区间内单调递增；如果，那么函数()f x在这个区间内为常函数。

调递减；如果恒有，那么函数()内，这时，函数的图像就比较；反之，函数的图像就比较。

教材拓展求函数单调区间的步骤与方法：（1）（2）（3）（4）典型例题知识点一，求函数的单调区间例1，求下列函数的单调区间（1）()3f x x x =-（2）1xy e x =-+（3）ln y x x =- （4）12y x =变式训练1，求函数)0y a =>的单调区间知识点二，判断函数的单调性 例2，已知a R ∈，讨论函数()2ax f x x e =⋅的单调区间变式训练2，已知()()10,11x x a f x a a a -=>≠+，讨论()f x 的单调性知识点三，求参数的取值范围例3，已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈（1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围。

变式训练3，若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增，求a 的取值范围作业练习水平基础题1．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π 2．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存有D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存有，则f (x )必为单调函数3．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<04．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．5．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．水平提升题6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )7．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)8．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )9．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． 10．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．11．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0. 12．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．提升拓展题13．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．14.已知函数()32f x x ax =+与()2g x bx cx =+的图象都过点()2,0P ，且在点P 处有公切线。

求：（1）()f x 和()g x 的表达式及公切线方程；（2）若()()()'1ln 16g x F x f x =+，求()F x 的单调区间。

参考答案知识要点1，()'0f x > ()'0f x < ()'0f x =2，变化越快 “陡峭” “平缓”教材拓展（1）确定函数()f x 的定义域()'0f x >（2）求导数()'f x（3）在函数定义域内解不等式，()'0f x <（4）确定函数()f x 的单调区间典型例题例1，答案：(1)())2'3111f x x =-=+-令()'0f x >，有,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()'0f x <，有33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭所以()3f x x x =-的单调递增区间为,,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为x ⎛∈ ⎝⎭(2)()'1x f x e =-令()'0f x >，有()0,x ∈+∞令()'0f x <，有(),0x ∈-∞所以()3f x x x =-的单调递增区间为()0,x ∈+∞，单调递减区间为(),0x ∈-∞(3)函数的定义域为()0,x ∈+∞()11'1x f x x x-=-= 令()'0f x >，有()1,x ∈+∞令()'0f x <，有()0,1x ∈所以()3f x x x =-的单调递增区间为()1,x ∈+∞，单调递减区间为()0,1x ∈(4)函数的定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞()21'2f x x =- ()'0f x <在定义域上恒成立所以()3f x x x =-单调递减区间为()(),0,0,x ∈-∞+∞变式训练1，递增区间30,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间3,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭例2，答案：()()2'22ax ax ax f x x e ax e e x ax =⋅+⋅=⋅⋅+（1）当0a =时，若()'0f x >，则()0,x ∈+∞，若()'0f x <，则(),0x ∈-∞，故单调递增区间()0,x ∈+∞，单调递减区间(),0x ∈-∞（2）当0a >时，若()'0f x >，则()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，若()'0f x <，则2,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故单调递增区间()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间2,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（3）当0a <时，若()'0f x >，则20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()'0f x <，则()2,0,x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭，故单调递增区间20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，单调递减区间()2,0,x a ⎛⎫∈-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭变式训练2，当1a >时，()f x 在R 上单调递增；当01a <<时，()f x 在R 上单调递减例3，答案：(1)函数()f x 的图像过原点,故0b =又()()()2'3212f x x a x a a =+--+()f x 在原点处的切线斜率是3-，即()'03f =-所以3,1a =-所以有3,0a b =-=或者1,0a b ==(2)()()()2'32120f x x a x a a =+--+=，得122,3a x a x +==-所以有11211x x x -<<⎧⎨≠⎩或者21211x x x -<<⎧⎨≠⎩ 解得115,,122a ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 变式训练3，13a ≥ 作业练习1．[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 2．[答案] B[解析] 若f (x )在(a ，b )内是增函数，则f ′(x )≥0，故A 错；f (x )在(a ，b )内是单调函数与f ′(x )是否存有无必然联系，故C 错；f (x )＝2在(a ，b )上的导数为f ′(x )＝0存有，但f (x )无单调性，故D 错．3．[答案] B[解析] f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.4．[答案] a ≥1[解析] 由已知a ＞1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2＜0 (x ＞1)， ∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln x x＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.5．[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12， 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．水平提升题6．[答案] C[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0，∴f ′(x )≤－f (x )x，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又0＜a ＜b ，∴af (b )≤bf (a )．7．[答案] C[解析] 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.8．[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.9．[答案] (－∞，－1)[解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．10．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立，即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 11．[证明] 设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)， 则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 12．[分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－b x的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0. 由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx .令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b 3a＜x ＜0. ∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－2b 3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0，∴x ＜－2b 3a，或x ＞0. ∴在⎝⎛⎭⎫－∞，－2b 3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数．提升拓展题13．[解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．14,()()()()()()()()()()()()()()2322'6,'2,2=02=0'2'21620,8420,8244,1628816'216162,16321(2)2ln 022'1'0,0,f x x a g x bx c f g f g a a b c b a b c c f x x x g x x xf y x y x F x x x x x F x x xF x x =+=+=+==-⎧⎧⎪⎪∴+=∴=⎨⎨⎪⎪+=+=-⎩⎩∴=-=-=∴=-=-=-+->∴=-+->⎧⎪⎨>⎪⎩解：(1)依题意，，公切线斜率为切线方程为即令得()()()()2'0,020,2+0,2x F x x x F x ><⎧⎪<<⎨>⎪⎩∴∞令得单调增区间为，，单调减区间为。