1.3.1函数的单调性与导数79833
课件11：1.3.1 函数的单调性与导数
4．已知函数 f(x)＝axx＋＋21在(－2，＋∞)内单调递减， 则实数 a 的取值范围为________．
【解析】f′(x)＝(2xa＋－21)2，由题意得 f′(x)≤0 在(－2，＋∞) 内恒成立，∴解不等式得 a≤12，但当 a＝21时，f′(x)＝0 恒 成立，不合题意，应舍去，所以 a 的取值范围是－∞，12． 【答案】－∞，21
问题 2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝1 在 R 上为正，y2′＝2x，在(－∞，0)上为负， 在(0，＋∞)上为正，y3′＝－x12在 (－∞，0)及(0，＋∞)上 均为负．
问题3：结合问题1、2探讨，函数的单调性与其导函数 正负有什么关系？
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数； 当f′(x)<0时，f(x)为减函数．
导入新知 函数的单调性与其导数正负的关系 在区间(a，b)内函数的单调性与导数的正负有如下关系：
导数 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0
函数的单调性 单调_递__增__ 单调_递__减__ 常数函数
化解疑难 对导数与单调性的关系的理解 在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单 调递增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区 间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞) 上是单调递增函数，但由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，即并不是 在单调区间内的任意一点处都满足f′(x)＞0.
1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数一、知识点1、导数几何意义函数)x f y （=在0x 处的导数）（0x f '就是函数)x f y （=在点（0x ，)0x f （）处的切线斜率k2、导数与函数单调性的关系：在某个区间(),a b 内， 若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间(),a b 内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间(),a b 内单调递减． 若0='）（x f ，则函数()y f x =在这个区间(),a b 内是常数函数．二、练习补充不等式知识：二次方程的实根←→二次不等式←→二次函数图象 练习1、已知函数)(x f y =的下列信息当4-<x ，函数为增函数；当04<<-x ，函数为减函数；当0>x ，函数为增函数；试分别找出()0f x '<，0)(>'x f 的x 范围。
练习2、已知函数)(x f y =的下列信息当4-<x ，函数导函数0>'）（x f ；当04<<-x ，函数导函数0<'）（x f ；当0>x ，函数导函数0>'）（x f ；试分别找出函数)(x f y =的单调区间。
练习3、已知函数)(x f y =的图象如图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能是（ ）练习4、已知函数)(x f y =的导函数图像如图，则函数)(x f y =的图像可能是（ ）A 、B 、C 、D 、练习5、求下列函数的单调区间（1）13)(3+-=x x x f （2）x x x f ln 2)(-=（3）x x x f 3)(3+= （4）32)(2--=x x x f（5）12432)(23+-+=x x x x f （6）2)(-=x e x f x（7）x x x f -=sin )( （8）x x x f ln )(2-= （注意：求单调区间时要先求 ）练习6、已知函数)0(31)(3>-=a x ax x f ，若)(x f 在（0,2]内是增函数，求a 的取值范围。
高中数学 1.3.1《函数的单调性与导数》课件 新人教B版选修2-2
x
因此 ,函数fxx3 3x在x
R上单调递,如增图1.351
所示 .
图 1.351
精选ppt
2 因 f x x 2 2 x 为 3 , 所 f ' x 2 x 2 以 2 x 1 . 当 f'x 0 ,即 x 1 时 ,函 fx 数 x 2 2 x 3 单; 调 当 f'x 0 ,即 x 1 时 ,函 fx 数 x 2 2 x 3 单调 .
如果在某个 f'x区 0,间 那内 么y恒 函 fx有 数
有什么 ? 特征
思考请同学们回顾一单 下调 函性 数的定 ,并义
思考某个区间上y函f 数 x的平均变化率的几
何意义与其导数的下列信息: y
当1 x 4时,f'x 0;
当x 4,或x 1时,f'x 0;
思考 这种情况是否具有性 一呢 般?
精选ppt
观察下面一 图 1 些 .32 函 ,探数 讨图 函象 数
调性y与其导 系 .数正 y 负的关
yx
y x2
O
x
1
y y x3
2 O
x
y y1 x
O
x
O
x
3
图1.32 4
精选ppt
一般,地 函数的单调性与正导负数有的如下: 关系
在某个a,区 b内 ,间 如果 f'x0,那么函 yf数 x 在这个区间内 ;如单 果 f'x调 0递 ,那增 么函 y 数 fx在这个区间内 . 单调递减
精选ppt
4 因 f x 2 x 3 3 为 x 2 2 x 1 , 所 4 f ' x 以 . 当 f ' x 0 , 即 时 , 函 f x 数 ; 当 f ' x 0 , 即 时 , 函 f x 数 .
人教版高中数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 课件 (共15张PPT)
试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 .
y
(这两点比较特殊，我们称他们为
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大
致形状如右图所示.
O1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函
数可能为( C )
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
1.3.1 函数的单调性与 导数
主讲人：陈桂凤
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
3.怎样用图形判断函数的单调y性？
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
高中数学1.3.1 函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒
有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
名师点拨“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为
增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,
不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数
f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,
即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【做一做】 若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义 域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的 单调性.
-6-
1.3.1 函数的单调性与导数
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练1(1)在下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( ) A.y=2-3x2 B.y=ln x C.y=������1-2 D.y=sin x (2)求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.
答案:C
(2) 证明:∵f'(x)=cos x-sin x+3=3- 2sin x-π4 ,而 2sin x-π4 ≤ 2, ∴3- 2sin x-π4 >0,即 f'(x)>0.故函数 f(x)=sin x+cos x+3x 在 R 上单
教学设计6：1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.1 函数的单调性与导数教学目标1．知识与技能目标：（1）了解函数的单调性与导函数之间的关系；（2）能利用导数研究简单函数的单调性，并掌握原函数与导函数之间的关系；（3）掌握函数单调性的求法，用以解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）利用函数1()f x xx=+回顾单调性的定义和利用图象求单调区间的方法；（2）利用一个函数作为引入，让学生明确本节课学习之后将要达到的学习效果；（3）借助一个函数图象和几何画板让学生体验单调区间与导函数之间的关系；（4）利用所得的结论，让学生研究三个函数的单调区间；（5）利用三个函数图像，作出相应的原函数与导函数的图像草图，让学生体会原函数与导函数之间的图象联系；（6）利用引入中的例题，对本节课所学的内容进行应用并作适当的拓展、总结. 3．情感、态度与价值观目标：通过例题的设计培养学生的阅读与理解能力，在图象的研究中培养学生的观察能力，鼓励学生之间的相互协作，培养学生友善的社会主义核心价值观.教学过程得121212121()()()()x x f x f x x x x x --=- 由120x x >>，得120x x ->，120x x > 故当121x x >>时，1210x x ->恒成立 得到12()()0f x f x -> 即()f x 在(1,)+∞上为增函数. （2）作出()f x 的图象如图所示，由图可得，()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，减区间为(1,0)-，(0,1)例2：已知函数()f x 的图象如图所示，且'()f x 是()f x 的导函数.（1）写出()f x 的单调增区间； （2）在你所写出的单调增区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的结论；（3）写出()f x 的单调减区间； （4）在你所写出的单调减区间中任选五点作切线.观察所得切线的斜率，归纳出相应的规律，并与你的组员分享你的 结论；（5）结合切线的斜率与导数的关系，求'()0f x >与'()0f x <的解集；（6）观察单调区间与（5）的解集之间的关系，并总结单调区间和导函数之间的关系.解：（1）增区间是：(1,1)-； （2）增区间上的点所对应的切线斜率为正数；（3）减区间是：(,1),(1,)-∞-+∞； （4）减区间上的点所对应的切线斜率为负数；（5）'()0f x >的解集为(1,1)-，'()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞；小结1：当'()0f x >时，则()f x 为增函数；当'()0f x <时，则()f x 为减函数.观察，进行归纳后与其他组员分享，能极大的提高 学生课堂的参与度，即使自己不会也会被其他组员感染而参与研究.若其他同学与他有相同的结论，则可以强化他对自己结论的信心；反之，则能激发他找出结论中的问题所在的动力.的符号的影响. 最后再总结函数的单调区间与导函数之间的关系，让学生对所给出的结论有更好的理解.单调区间上可以等于0的结论，对于这个问题可以放到后续的图象中一句话带过，教师不必纠缠.深入应用例3：求下列函数的单调区间： （1）2()23f x x x =--； （2）32()23121f x x x x =+-+； （3）3()3f x x x =+解：（1）∵2()23f x x x =-- ∴'()22f x x =-本题由原来的图象分析过渡到对函数解析式分析.以二次函数作为桥梁，重点处理三次函数的单调性判断问教师先让学生自主解答，并巡视各小组的解答情况，对薄弱学生给予必要的提示，鼓励学生利用两种方法解答题目.教师在巡视过程中要有目的的寻找一学生自主解答或者向老师或同组同学提出解答过程中所存在的问题，争取课堂上能够尽快掌握利用导数求解教学反思《函数的单调性与导数》的教学价值的挖掘与思考导数部分的内容在高中数学教学中占据着举足轻重的地位，这从对导数时常作为压轴题进行考察就可见一斑.而在压轴题中时常都是以探究式的出题方式要求学生在摸索中找到解题的方法，这既要求学生对相关知识点有较为熟练的基本解题能力，还需要有较为扎实的探究问题的技能.这就要求在本阶段的教学绝对不能依靠以教师为主体的精英化教育时代留下的经验，用绝对量的题目和不断加大的题目难度进行教学，并要求学生如法炮制的在解题过程中应用.。
课件14：1.3.1 函数的单调性与导数
【解析】由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0， f′(x)>0， ∴f(x)为增，当－1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)为 减，当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0此时f(x)为减函数；当 x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，∴选C．
例 1 (1)f′(x)是函数 y＝f(x)的导函数，若 y＝f′(x)的图象 如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 ( D )
【解析】由导函数图象可知函数 f(x)在(－∞，0)上增函数， 排除 A，C，在(0,2)上为减函数，排除 B，故选 D．
(2)证明函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数． 证明：∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝1－x2lnx， 令 f′(x)>0.可知 lnx<1，即 0<x<e.
由此我们得出： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调 __递__增__； (2)如果在区间(a，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调 _递__减___．
2．函数的变化快慢与导数的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个 函数在这个范围内变化较___快___，其图象比较__陡__峭__． 即|f ′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的 变化率就越大．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b) 上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递 减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有 单调性．
1.3.1函数的单调性与导函数
当 2 x 3时 ， f '( x ) 0; 当 x 3 或 x 2时 ， f '( x ) 0; 当 x 3 或 x 2时 ， f '( x ) 0 .
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）
1
0
y
2
x
0
1
2
x
0
1
2
x
y
2
1
0
1
x
2
x
0
在 某 个 区 间 ( a , b )内 ,
f '( x ) 0 f ( x ) 在 ( a , b )内 单 调 递 增
f '( x ) 0 f ( x ) 在 ( a , b )内 单 调 递 减
某个区间内恒有 ( 教师说明：) f ( x ) 0
y f (x)
y A
B
y f (x)
y A B
o
2
3 x
o
2
3 x
函 数 y x co s x sin x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B )
3 A. ( , ) 2 2
B . ( , 2 )
C. (
3 2
,
5 2
)
D . ( 2 , 3 )
即sin x x 0
证明下列不等式
( 2 ) e x 1, x 0
x
令f ( x) e x 1 f ( x) e 1
x x
当x 0时，f ( x) 0
x
课件12：1.3.1 函数的单调性与导数
温馨提示 在区间(a，b)内f′(x)＞0，是f(x)在该区间 内单调递增的充分不必要条件．例如，f(x)＝x3在R 上为增函数，但f′(0)＝0.
2．函数单调性与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)内： (1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a，b)内变化越快， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； (2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a，b)内变化越慢， 函数的图象就比较“平缓”(向上或向下)．
变式训练 函数y＝ax3－x在R上是减函数，求a的取值 范围．
解：因为y＝ax3－x在R上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0
在R上恒成立，即3ax2≤1在R上恒成立．
当x＝0时，要满足题意，则a∈R；
当
x≠0
时，3ax2≤1
在
R
上恒成立，等价于
1 a≤3x2
在 R 上恒成立，则 a≤0.
综上可得a的取值范围是(－∞，0]．
归纳升华 1．利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本 步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数f′(x)； (3)令f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得x的相应区间为 f(x)的单调递增区间；
(4)令f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得x的相应区 间为f(x)的单调递减区间． 注意：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进 行．②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开， 不能用符号“∪”连接．
4．已知函数y＝f(x)，x∈(a，b)的单调性，求参数的取值 范围的步骤： (1)求导数y′＝f′(x)； (2)转化为f′(x)≤0(≥0)在x∈(a，b)上恒成立问题； (3)由不等式恒成立求参数的取值范围； (4)验证等号是否成立．
1.3.1 函数的单调性与导数
• 4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0 的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的 切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线 的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每 一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该 区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内， f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1) 上满足f′(x)＞0
• 使f(x)在(－1,1)上是增函数
• 故t的取值范围是t≥5.
• [点评] 已知函数的单调性，确定字母的 取值范围是高考考查的重点内容，解决这 类问题的方法主要有两种，其一，转化为 函数求最值，其二，若能比较容易求出函 数的单调区间时，可利用子区间来解 决．特别注意的是，若导函数为二次函数 时，也可借助图象，利用数形结合思想来 解决，如上例中的解法2.
• 故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立， 只需t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5.
• 解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
• ＝－x3＋x2＋tx＋t
• f′(x)＝－3x2＋2x＋t • ∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数， • ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立 • 又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线 • ∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝
• [例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析] 设 f(x)＝x－ln(1＋x)，只需证得 f(x)在(1，＋∞) 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－1＋1 x＝1＋x x >0(x>1)，得 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故当 x>1 时，f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
高中数学1.3.1函数单调性与导数优秀课件
x 1 17 或x 1 17
2
2
51
O
x
图1.3 54
1 17 x 1 17
2
2
4因为fx 2x3 3x2 24x 1,所以f ' x 6 x2 6 x . 24
当f ' x 0,即
时,函数fx单调递增 ;
当f ' x 0,即
时,函数fx 单调递减 .
fx 2x3 3x2 24x 1的图象如图1.3 54所示.
4因为fx 2x3 3x2 24x 1,所以f ' x 6 x2 6 x . 24
当f ' x 0,即
时,函数fx单调递增 ;
当f ' x 0,即
时,函数fx 单调递减 .
fx 2x3 3x2 24x 1的图象如图1.3 54所示.
y
fx 2x3 3x2 24x 1
当x 4,或x 1时,f ' x 0,这两点比较特殊,我们
称它们为"临界点".
综上,函数fx图象的大致形状如图1.3 4所示.
例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
1 fx x3 3x; 2 fx x2 2x 3 y;
3 fx sinx x,x 0,π;
4 fx 2x3 3x2 24x 1.
函数fx x2 2x 3的图象如图1.3 52所示.
y
o1
图1.3 52
fx x2 2x 3
x
y o
图1.3 53
π
x
fx sin x x
3因为fx sinx x,x 0,π,所以 f 'x cos x 1 0. 因此,函数fx sinx x,x 0,π内 单调递减 . 如图1.3 53所示.
高中数学A版1.3.1函数的单调性与导数优秀课件
y o
图1.3 7
ax
课堂小结
一般地,函数的单调性与导数的关系：
在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
单调递减.
利用函数的导数来研究函数的单 调性.其基本的步骤为:
思 考 这 种情 况 是 否具 有 一般性 呢?
yx
y
y x2
y
y x3
y
y1 yx
o
x
ox
ox
o
x
函数在R上 f '(x) 1 0
（-∞，0）
f '(x) 2x 0
（0，+∞）
f '(x) 2x 0
函数在R上 （-∞，0） f '(x) 3x2 0 f '(x) x2 0
h
M h f (t)
om
t
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起跳到最高点，离水面高 度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增
函数.相应的，vt = h' t > 0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面高 度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减
函数.相应的，vt = h' t < 0.
函数f x = x2 - 2x - 3的图象如图1.3- 52所示.
y
ห้องสมุดไป่ตู้
o1
1.3- 52
f x = x2 - 2x - 3
x
y o
n1.3 - 53
π
x
f x = sinx - x
1.3.1函数的单调性与导数
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式
（1）.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
（4）.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . x
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
f (x) 0.
综上, 函数 f (x)图象
的大致形状如右图所示.
O1
4
x
例2、判断下列函数的单调性，并求出
单调区间：
y
(1) f(x)=x3+3x ;
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f (x)=2x-2=2(x-1) 当 f (x)>0，即x>1时，函数单调递增； 当 f (x)<0，即x<1时， 函数单调递减；
图象见右图。
y
f (x) x2 2x 3
o1
x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p) 解： f (x)=cosx-1<0
是 (,
b
2a ) ; 相应地, 函数的递减区间是 (
b
,)
2a
2a
练习 4.求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7在 (0,2)内是减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7
f (x) 6x2 12x.
由 f (x) 0, 解得 0 x 2 , 所以函数 f (x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f (x) 在 (0,2)内是减
【2021精品】高中数学《1.3.1函数的单调性与导数》公开课优质教学设计教案
§1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授1．问题：图 1.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减， 如图1.3-5（3）所示．1.3-5(1)1.3-5(2)（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．注：（3）、（4）生练例3 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些．如图1.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例5已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业§1.3.2函数的极值与导数（第2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景观察图1.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图1.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授1．问题：图13-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图1.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 1.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图1.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图1.3-5（2）所示．（5） 因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图1.3-5（3）所示． （6） 因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例6 如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”． 例7求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'fx ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例8已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈ 4. y=xlnx 2．课本练习 五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。
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理解训练：
求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解: y 6x 3
6x 3 0, x 1 ,单调增区间为(1 ,);
2
2
6x 3 0, x 1 ,单调减区间为(, 1).
2
2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解 : y 9x2 6x
9x2 6x 0, x 2 或x 0,单调增区间为(,0) ( 2 ,);
3
Hale Waihona Puke 39x2 6x 0,0 x 2 ,单调减区间为(0, 2).
3
3
巩固训练：
变2：求函数
y
3e
x
3
x
的单调区间。
解 : y 3e x 3
. f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
例2.确定函数 f (x) x2 4x 5 在哪
个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？
解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
（2）求函数的导数
y
f '(x) 2x 4
（3）令 f ' (x) 0 以及 f ' (x) 0
解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调增区间为(0,);
3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调减区间为(,0);
1
变3：求函数 y 的单调区间。
x
解
:
y
(
1 x
)
1 x2
1 x2
0, x不存在,无单调增区间;
1 x2
(1) y x 3 2x2 x;
(2) y x ln x;
(3) y ex x 1.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然 可 行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
2
令2x－4>0,解得x>2
o
x
∴x∈(2,＋∞)时， f ( x) 是增函数
令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时， f ( x) 是减函数
例4 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
例2：讨论函数 y
x
1
的单调性。
y
x
2
-1
01
-2
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
(1)设x1、x2是给定 区 间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R，
f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
知识应用 1．应用导数求函 数的单调区间 基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为
___增___函数(填“增”或“减”)。
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)
上为___增___函数，在(-∞,1]上为_减__
函数，在[1,2]上为既又不不是是增减函函数数 函数
(填“增”或“减”或“既不是增函
0, x
0或x 0,
单调减区间为(,0) (0,)
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时， f'( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.
复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域 的 单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时，
(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
增函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
减函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0
....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.