高中数学函数单调性的判断方法
函数单调性的判定及应用
周刊函数单调性的判定及应用周萍(昆山经济技术开发区高级中学，江苏昆山215335)摘要：函数是高中数学的重要组成部分，本文就函数单调性的判定方法作简要概括，并列举其在数学解题中的一系列应用。
关键词：单调性；判定；应用函数是整个数学教学体系中的核心内容，几乎贯穿高中数学教学的全过程。
函数的单调性是在学习函数概念的基础上学习的，其为函数的研究奠定了基础，在教材中起着承前启后的重要作用，往往作为解题的有效依据，是高考命题中的热点，本文就函数单调性的判定方法及单调性在高考中的运用进行简要的分析和总结.一、函数单调性的定义及其判定(一） 定义函数单调性定义：设/(x)是定义在D上的函数，对于任意的 X i，X2€D 且 X1〈X2，若 /(Xi )〈/(X2)，则 /(X)在D上为增函数；反之，则为减函数。
(二） 函数单调性的判定方法1. 定义法()作差法，即“取值—作差变形—判定符号一一下结论”这几个步骤。
()作商法：即“取值一作商变形—判定大小—下结论”这几个步骤。
对于一些简单的初等函数用定义法可以很快的作出判定。
如：例1讨论函数/(X)=X+*1在（，+W)上的单调性.X解：任取 X i、X2€(〇，+d:.)，设 X1〈X2/(X i ) —/(X2)=(X i H---) —H---)Xl X2 /(X2—X i )i—X i X2)X i X2•••X i X2〉〇，X2—X i〉0，•••当X i、X2€(〇, i]时，/(X i )>/(X2);当X i、X2^(i , +d)时，/(x )〈/X2),.••函数/(X)=X+i在（0, i]上是减函数，在（，+d)X上是增函数．2.性质法在确定某些函数的单调性时，有时利用结论可以直接得到函数的增减性，如^=X+6，_y=a x2+X+c(a#0)"=a (乒0)均可直接说出.X下面一些结论，在判断函数的单调性中也经常可以直接使用：()函数一/(X)与函数/(X)的单调性相反；92()当/(X)〉0或/X)〈0恒成立时，函数」、与/(X)的单调性相反;(3)若/(x)，g(x)〉0都是增（减）函数，则/X)•g(x)仍为增（减）函数;(’1.)若 /(x.)〉0, g(x.)〉0 且 /(x.)，g(x)都递增（减.)，则/X) •g(x)也递增（减）()奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.如：例K变题）讨论函数/(x)=x+i的单调性.X解：/(x)的定义域：x I X乒0}，/(x)是奇函数，故只需讨论/(X)在（0，+d)上的单调性，由例i知/(x)=x+i在（0, i]上递减，在（，+«=)上X递增，由奇函数对称性可知/(X)在（一d，—i]上递增，在(—i，0)上递减.有些函数是由一些基本初等函数复合而成的，其单调性遵循“同增异减”原则，即①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增；②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减.例 2 已知函数/(x)=log ^—^(〈^〈i，6〉0)为奇6十X函数，当x6(—i，a]时，/(X)的值域是（一d，i]，则a解：易得 6=i，*_’g(x)=—,= —i+丄在 x6X十i X十i(—i，a]上递减，又 0〈a〈i，/./(x)在 x 6 (—i，a]上递增，•••/()= i,•a= 2 .3.导数法在区间D上，若/(x)〉0,则/(x)在D上是增函数。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
单调函数知识点高中总结
单调函数知识点高中总结一、单调函数的定义在数学中，对于定义域为实数集合的两个函数f(x)和g(x)，如果对于所有的x1和x2，当x1小于x2时，有f(x1)≤f(x2)，或者有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数或单调递减函数。
单调递增函数是指对于x1小于x2时，有f(x1)≤f(x2)；单调递减函数是指对于x1小于x2时，有f(x1)≥f(x2)。
对于单调递增函数，也称为严格单调递增函数，如果在任意x1≠x2的情况下，有f(x1)<f(x2)；对于单调递减函数，也称为严格单调递减函数，如果在任意x1≠x2的情况下，有f(x1)>f(x2)。
单调函数包括单调递增函数和单调递减函数，而不包括折线函数和周期函数等。
二、单调函数的性质1. 单调函数的性质单调函数在其定义域上有以下性质：（1）单调递增函数在它的定义域上的任意两点x1和x2，有f(x1)≤f(x2)；（2）单调递减函数在它的定义域上的任意两点x1和x2，有f(x1)≥f(x2)；（3）严格单调递增函数在它的定义域上的任意两点x1和x2（x1≠x2），有f(x1)<f(x2)；（4）严格单调递减函数在它的定义域上的任意两点x1和x2（x1≠x2），有f(x1)>f(x2)。
2. 单调函数的特征单调函数在图像上有以下特征：（1）单调递增函数的图像从左向右逐渐上升；（2）单调递减函数的图像从左向右逐渐下降；（3）严格单调递增函数的图像不存在水平线段；（4）严格单调递减函数的图像不存在水平线段。
3. 单调函数的性质定理以下是单调函数的性质定理：（1）定理1（也称单调增加性定理）：如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且对于任意x∈(a,b)，有f'(x)≥0，则f(x)在[a,b]上单调递增。
（2）定理2（也称单调减少性定理）：如果函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且对于任意x∈(a,b)，有f'(x)≤0，则f(x)在[a,b]上单调递减。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
高三函数单调性知识点归纳
高三函数单调性知识点归纳函数是高中数学中的重要概念之一，而了解函数的单调性则是学好高中数学的基础。
函数的单调性描述了函数在定义域上值的增减情况，它对于研究函数图像的走势、解函数方程等问题具有重要作用。
本文将对高三函数单调性的知识点进行归纳总结。
一、单调递增与单调递减函数的单调性分为单调递增和单调递减。
如果在函数的定义域上，对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为单调递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)为单调递减函数。
二、导数与函数单调性的关系函数的导数与函数的单调性之间有密切的联系。
对于可导函数f(x)，以下两个定理对于函数的单调性给出了重要的结果：1. 定理1：若在[a,b]上，函数f(x)的导数f'(x)≥0（或f'(x)≤0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 定理2：若在(a,b)上，函数f(x)的导数f'(x)>0（或f'(x)<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
这两个定理可以帮助我们通过导数的正负来推测函数的单调性。
三、函数图像与单调性通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的单调性。
对于函数f(x)，以下两个规律可以帮助我们了解函数图像与单调性之间的关系：1. 规律1：若函数f(x)在[a,b]上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减）。
2. 规律2：若函数f(x)在(a,b)上的增量f(x2)-f(x1)>0（或<0），则f(x)在(a,b)上单调递增（或单调递减）。
通过观察函数图像上的增量的正负，我们可以推测函数的单调性。
四、函数零点与单调性函数的零点（也叫根）与函数的单调性也有一定的联系。
对于函数f(x)，以下定理给出了函数的零点与单调性之间的关系：定理3：若函数f(x)在[a,b]上单调递增（或单调递减），且[a,b]上有一个零点c，则c是f(x)在[a,b]上的唯一零点。
高中数学【函数的单调性】经典课件
可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜 率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率 都小于0
一般地，若I是函 数y=f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且
x1≠x2，记y1=f（x1），y2=f（x2 ），则：f f (x2) f (x1)
），y
x
y2 x2
所以这个函数是增函数. 因此，当-1≤x≤6时， 有 f（-1）≤f（x）≤f（6），
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以
-3≤3x≤18， 2≤3x+5≤23， 即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这 一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.
例如，对于函数y=-2x来说，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有
y (2x2） (2x1) 2x2 2x1 2＜0
x
x2 x1
x2 x1
因此y=-2x在R上是减函数.
典型例题
例3 求证：函数y=1 在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函
y2 y1 x2 x1
为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在.
下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.
由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所 确定的直线的斜率一定存在.
如下图所示，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数 单调性之间的关系，并总结出一般规律。
函数的单调性
高中数学知识点：基本初等函数的单调性
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：基本初等函数的单调性
1．正比例函数(0)y kx k =≠
当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.
2．一次函数(0)y kx b k =+≠
当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.
3．反比例函数(0)k y k x =≠
当0k >时，函数k y x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；
当0k <时，函数k y x
=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠
若a>0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是减函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是增函数；
若a<0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
高中数学函数的单调性知识点总结
高中数学函数的单调性知识点总结函数的单调性，指的是函数的在其定义域或某区间上的增减性。
包括单调增和单调减两种情况。
1.增函数和单调递增区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈上升趋势。
2.减函数和单调递减区间一般地，设函数()f x 的定义域为I ，区间D I ⊆：如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就称函数()f x 在区间D 上单调递减。
特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。
图象特点：在区间D 上，沿x 轴正向从左向右看图象呈下降趋势。
3.定义法判断或证明函数单调性的步骤，可以归纳为：取值定大小，作差和变形，定号给结论，3个关键步骤。
4.复合函数的单调性复合函数()()y f u x =的单调性，遵循“同增异减”的原则.其中()y f u =是外层函数，()u u x =是内层函数,有以下几种情况：①()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；②()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；③()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；④()y f u = ，()u u x = ，则()()y f u x = ；【小结】内外层函数单调性相同时为增函数，单调性相反时为减函数。
例题：判断下列复合函数在()0,1x ∈上的单调性。
（1）y =解：()0,1x ∈时,()20,1u x =∈。
外层函数:y =()0,1u ∈上单调增，内层函数:2u x =在()0,1x ∈上单调减。
高中数学函数单调性的判断方式
高中数学函数单调性的判断方式单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如咱们常常利用求函数单调性的方式求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方式呢？ 方式一：概念法对于函数f(x)的概念域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：按照函数单调性的概念，证明：函数在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在概念域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方式二：性质法除用大体初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当二者都恒大于0时也是增(减)函数，当二者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，咱们按照单调性的性质，很容易就可以判断它是增函数。
方式三：同增异减法（处置复合函数的单调性问题）对于复合函数y ＝f [g(x)]知足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，如有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；如有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）若是f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数。
【高中数学考点精讲】考点一 函数的单调性的判断
考点08 函数单调性与最值1、函数单调性的判断方法（1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。
（2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有①为增函数，②为增函数，③为减函数，④为减函数。
（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D 上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是①利用单调性比大小；②搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；③数形结合比大小。
注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。
（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．2.单调区间若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．3.定义变式设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f（x）＝（12﹣a）x在实数集R上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，12）B．（12，＋∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣12，12）例2.函数f（x）＝（k＋1）x＋b在实数集上是增函数，则有（）A．k＞1B．k＞﹣1C．b＞0D．b＜0例3.函数①y＝|x|；②y＝；③y＝；④y＝x＋在（﹣∞，0）上为增函数的有（填序号）．例4.下列四个命题：（1）f（x）＝1是偶函数；（2）g（x）＝x3，x∈（﹣1，1]是奇函数；（3）若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则H（x）＝f（x）•g（x）一定是奇函数；（4）函数y＝f（|x|）的图象关于y轴对称，其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4例5.已知y＝f（x）（x∈R）为奇函数，则在f（x）上的点是（）A．（a，f（﹣a））B．（﹣a，f（a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（a，﹣f（a）例6.如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）C．y＝x2＋f（x）D．y＝x2f（x）通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移：左加右减（x的变化），上加下减（函数值y的变化）2.图象的对称性：奇偶性3.图象的翻折：含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f（x）=x2﹣|x|的单调递减区间是．例2.函数y＝|x|的单调递增区间为．例3.函数y＝|x|﹣1的减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，＋∞）D．（﹣1，＋∞）例4.函数y＝|x﹣1|的递增区间是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）=sin x B．f（x）=e x+e-xC．f（x）=x3+x D．f（x）=xlnx例2.函数y=（2m-1）x+b在R上是减函数．则（）A．m>B．m<C．m>-D．m<-例3.函数f（x）=-x2+x-1的单调递增区间为（）A．B．C．D．例4.已知函数f（x）=-3x+2sin x，若a=f（3），b=-f（-2），c=f（log27），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a例5.定义在R的函数f（x）=-x3+m与函数g（x）=f（x）+x3+x2-kx在[-1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（）A．（-∞，-2]B．[2，+∞）C．[-2，2]D．（-∞，-2]∪[2，+∞）例6.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=lnxC．y=sin x D．y=2-x例7.下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x2+2x B．y=2x+1C．y=x3+1D．y=（x-1）|x|例8.函数f（x）=x|x-2|的递减区间为（）A．（-∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤（1）取值：设，是所研究的区间内的任意两个值，且（2）作差：（3）变形：将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.（4）判断符号（5）结论2函数单调性的常见结论（1）函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（2）函数f(x)与函数f（x）＋c（c为常数）具有相同的单调性；（3）当c＞0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当c＜0时，函数y＝cf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反；（4）若f(x)≠0，则函数f(x)与具有相反的单调性；（5）若，函数与具有相同的单调性；（6）若,具有相同的单调性，则与,具有相同的单调性；（7）若,具有相反的单调性，则与具有相同（与具有相反）的单调性。
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点
高中数学-必修一5.2.2函数单调性和最值-知识点1、函数单调性的定义：对于某区间内任意给定的两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2) ，则f(x)在该区间上是增函数；而如果总有f(x1)≥f(x2) ，则f(x)在该区间上是减函数；特别地，如果总有f(x1)＜f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格增函数；如果总有f(x1)＞f(x2) ，则f(x)在该区间上是严格减函数。
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
3、利用定义证明函数单调性的步骤：①取值x1和x2，并令x1<x2；②做差f(x1)-f(x2) 并变形，通过因式分解/通分/配方/分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向（即因式相乘/除的形式）变形；③判断f(x1)-f(x2)符号，有参数时，需要分类讨论；④得出结论。
4、判断含参数的函数的单调性时，注意对参数进行分类讨论。
函数的单调区间可以直接由图像判断，从左到右是上升的，则是单调递增区间，从左到右是下降的，则是单调递减区间。
5、复合函数的单调性：同增异减。
即对于复合函数y=f[g(x)]，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数，如果y=f[u]和u=g(x)的单调性相异，则y=f[g(x)]是减函数。
6、基础函数的单调性：①一次函数y=kx+b，k＞0时是增函数，k＜0时是减函数。
②反比例函数y=k/x，当k＞0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是减函数，k＜0时，y在(-∞，0)和(0，+∞)上都是增函数。
③二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时开口向上，对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，当a＜0时开口向下，对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
④幂函数y=x a，a＞0时，在第一象限是增函数，a＜0时，在第一象限是减函数，其他象限的情况根据奇偶性来判断。
⑤指数函数y=a x，0＜a＜1时，是减函数，a＞1时，是增函数。
高中数学《函数的单调性与奇偶性》题型战法试题及答案
第二章 函数2.2.1函数的单调性与奇偶性（题型战法）知识梳理一 函数的单调性1. 单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。
2.单调性的注意事项1. 函数的单调性要针对区间而言，因此它是函数的局部性质；对于连续函数，单调区间可闭可开，即“单调区间不在一点处纠结”；单调区间不能搞并集。
2. 若函数()f x 满足1212()[()()]0x x f x f x -->，则函数在该区间单调递增；若满足1212()[()()]0x x f x f x --<，则函数在该区间单调递减。
3. 函数单调性的判断方法主要有：(1) 定义法：在定义域内的某个区间D 上任取12,x x 并使得12x x <，通过作差比较1()f x 与2()f x 的大小来判断单调性。
(2) 性质法：若函数()f x 为增函数，()g x 为增函数，()h x 为减函数，()x ϕ为减函数，则有①()()f x g x +为增函数，②()()f x h x -为增函数， ③()()h x x ϕ+为减函数，④()()h x g x -为减函数。
(3) 图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。
二 函数的奇偶性一.函数奇偶性的定义：(1)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =- ⇔函数()f x 是偶函数； (2)对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=- ⇔函数()f x 是奇函数。
高中数学函数的单调性(解析版)
1．增函数、减函数的定高中数学函数的单调性(解析版)义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．2．常用结论结论1：增函数与减函数形式的等价变形y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2>0；y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x1)－f(x2)x1－x2<0．结论2：单调性的运算性质(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与()ny f x=和y(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝1f(x)单调性相反．(5)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(6)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数．结论3：复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．简记：“同增异减”．结论4：奇函数与偶函数的单调性奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．结论5：对勾函数与飘带函数的单调性对勾函数：f(x)＝ax＋bx(ab＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是增函数，在[－b a ，0)，(0b a ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－b a ]，b a ，＋∞)上是减函数，在[－b a ，0)，(0b a]上是增函数；飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；(2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；考点一确定函数的单调性或单调区间【方法总结】确定函数的单调性或单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数确定函数的单调性或单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义确定函数的单调性或单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性确定函数的单调性或单调区间．【例题选讲】[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A ．y ＝1x －xB ．y ＝x 2－xC ．y ＝ln x －xD ．y ＝e x －x答案A解析对于选项A ，y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x 在(0，＋∞)内是减函数，故选A ．(2)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是()A ．32，＋B ．1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和32，2D ∞，32和[2，＋∞)答案B解析y ＝|x 2－3x ＋2|2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，x 2－3x ＋2），1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．(4)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．(5)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．答案(－∞，1)(2，＋∞)解析令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数是y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2．所以函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，所以y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【对点训练】1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1．其中在区间(0，1)上单调递减的函数序号是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④1．答案B解析①y ＝x 12在(0，1)上递增；②∵t ＝x ＋1在(0，1)上递增，且0<12<1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0，1)上递减；③结合图象可知y ＝|x －1|在(0，1)上递减；④∵u ＝x ＋1在(0，1)上递增，且2>1，故y ＝2x ＋1在(0，1)上递增．故在区间(0，1)上单调递减的函数序号是②③．2．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是()A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．答案C解析当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当xf (x )＝x 2－3x 为减函数，当x时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)3．答案C解析根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D ．4．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是()A ．[1，2]B ．[－1，0]C ．[0，2]D ．[2，＋∞)4．答案A解析由于f (x )＝|x －2|x2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2，结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．5．设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，0]B ．[0，1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]5．答案B解析由题知，g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．故选B ．6．函数y ＝22311(3x x -+的单调递增区间为()A ．(1，＋∞)B ∞，34CD ．34，＋6．答案B 解析令u ＝2x 2－3x＋1＝－18．因为u ＝－18在∞，34上单调递减，函数y在R 上单调递减．所以yx 2－3x ＋1∞，34上单调递增，即该函数的单调递增区间为∞，34．7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为()A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)7．答案B 解析设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3．所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是()A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)8．答案D解析由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2．因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．又函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．考点二比较函数值或自变量的大小【方法总结】比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．【例题选讲】[例2](1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是()A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)答案A 解析因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b答案C解析由f (x )是奇函数可得a ＝－f f (log 25)．因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a ．(3)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0．故选B ．(4)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0．设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )答案C解析由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π>1，|b |＝(ln π)2>|a |，|c |＝12ln π，且0<12ln π<|a |，故|b |>|a |>|c |>0，∴f (|c |)>f (|a |)>f (|b |)，即f (c )>f (a )>f (b )．(5)若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有()A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案B解析设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，又f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0．【对点训练】9．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c9．答案D解析由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c ．10．已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (c )＞f (a )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )10．答案D解析因为a ＝33.1＞30＝1，0＜b ＝1，c ＝ln 13＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，故选D ．考点三解函数不等式【方法总结】含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f x 的取值范围是()A B ．13，C D ．12，答案D解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R )()A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)答案D解析由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．(3)定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．答案[0，1)解析因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2，2]上单调递增，所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2，解得0≤a <1．(4)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是()A．(8，＋∞)B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案B解析2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)>0，－8>0，(x－8)≤9，解得8<x≤9．(5)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－11＋x2，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()AB∞(1，＋∞)C－13，D∞答案A解析∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－11＋(－x)2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－11＋x2也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔13<x<1．故选A．【对点训练】11．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且0，则满足f log19x>0的x的集合为________．11．答案(1，3)解析由题意，y＝f(x)为奇函数且0，所以0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是x>0，x>或x<0，x>x>0，x>12x<0，x>－12，解得0<x<13或1<x<3．12．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．12．答案(3，＋∞)解析因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，2－a>a＋3，2－a>0，＋3>0，解得－3<a<－1或a>3．又a>0，所以a>3．13．设函数f(x)x，x<2，2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．[2，6]D．[2，＋∞)13．答案B解析易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]．14．设函数f(x)－x，x≤0，，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，0)14．答案D解析因为f (x )－x ，x ≤0，，x ＞0，所以函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x ，此时x ≤－1；当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x )，此时－1＜x ＜0．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D ．15．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．答案(－∞，－2)解析作出函数f (x )的图象的草图如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2．考点四求参数的取值范围【方法总结】求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．求参数时需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．【例题选讲】[例4](1)如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么a 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析二次函数的对称轴方程为x ＝－a －13，由题意知－a －13≥1，即a ≤－2．(2)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案[－1，＋∞)解析设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1．∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－2－a x 2＋(x 1－x 2．∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1．∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(3)若函数f (x )＝a |b －x |＋2的单调递增区间是[0，＋∞)，则实数a ，b 的取值范围分别为__________．答案(0，＋∞)，0解析因为|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下：因为f (x )的单调递增区间为[0，＋∞)，所以b ＝0，a >0．(4)已知函数f (x )ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．14，12B ．14，12C ．0，12D ．12，1答案B解析由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1．又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 0<<1，12a ≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈14，12．(5)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案－12，2解析令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，易知f (t )＝log 12t 在其定义域上单调递减，要使f (x )＝log 12(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[1，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，－－a 2≤1，g 1>0，a ≤2，a >－12，即－12<a ≤2．【对点训练】16．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()A －14，＋∞B ．－14，＋∞C ．－14，0D ．－14，016．答案D解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0．综上所述，得－14≤a ≤0．故选D ．17．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．17．答案(－∞，3)解析f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3．18．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是(D)A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]18．答案D解析函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0．综上可得，m 的取值范围是(0，1]．19．已知f (x )－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．19．答案32，解析由已知条件得f (x )为增函数，－a >0，>1，2－a×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，∴a 的取值范围是32，20．已知函数f (x )x 2－ax －5，x ≤1，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是()A ．[－3，0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)20．答案C解析若f (x )是R －a2≥1，<0，12－a ×1－5≤a1，解得－3≤a ≤－2．21．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1]B ．[1，4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)21．答案D解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D ．22．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．22．解析(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2．任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)．因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1．所以0＜a≤1．所以a的取值范围为(0，1]．23．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1．(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数．(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4．23．解析(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1．在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1．又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性的判定方法(高中数学)
函数单调性是指一个函数在某个区间上的取值，若其在该区间内是单调递增或者单调递减，则称该函数在此区间上是单调的。
高中数学中，函数单调性的判定方法是指用来判断一个函数在某个区间上是否单调的方法。
具体的判定方法有三种：
1. 利用值域的特性判断函数单调性。
当函数的值域为实数集、实数集U∪{+∞}(或-∞)时，函数是单调递增的；当函数的值域为实数集、实数集U∪{-∞}(或+∞)时，函数是单调递减的。
2. 利用导数的大小判断函数单调性。
如果函数的导数在某个区间上都是正的，则该函数在该区间上是单调递增的；如果函数的导数在某个区间上都是负的，则该函数在该区间上是单调递减的。
3. 利用函数的图像判断函数单调性。
在函数的图像上，如果曲线的切线方向都是向上的，就说明该函数在这个区间上是单调递增的；如果曲线的切线方向都是向下的，就说明该函数在这个区间上是单调递减的。
以上就是高中数学中函数单调性的判定方法，要想正确判断一个函数在某个区间上是否单调，不仅要理解这三
种判定方法，还要结合该函数的特点，综合考虑多种因素，才能得出准确的结论。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数单调性的判定方法高中数学
函数单调性的判定方法学生：日期;课时：教师：1.判断具体函数单调性的方法1.1 定义法一般地，设f 为定义在D 上的函数。
假设对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，那么称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,那么称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： 〔1〕设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； 〔2〕作差)()(21x f x f -；〔3〕变形〔普遍是因式分解和配方〕；〔4〕断号〔即判断)()(21x f x f -差与0的大小〕；〔5〕定论〔即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性〕。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，那么).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 那么0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
例2.用定义证明函数xkx x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。
证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，那么)()()()(221121x kx x k x x f x f +-+=-)()(2121x k x k x x -+-=)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x kx x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
函数单调性判定方法
函数单调性判定方法许钦彪函数的单调性是应用广泛的一个重要性质，现行全日制高中教科书（必修）人教社2003年版高一教材在介绍了其定义以后，用三个简单的例子说明了单调性的判别和证明。
在实际教学时，应该在教材的基础上予以适当的补充，使学生对单调性的学习更加完整，为今后的数学学习奠定扎实的基础和思维方法.一、讨论函数单调性的方法1、化简函数利用常见函数的单调性判别.在初中已经学过了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的图象，根据单调性的定义和图象的关系容易得出它们的单调性。
有些函数可以利用它们的单调性直接讨论.例1：讨论函数xx x y 1322+-=的单调性. 分析：求出定义域}0{≠x x 。
把函数化简为312-+=xx y . x 1在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数，而x 2也是增函数，y ∴在)0,(-∞和),0(+∞上是增函数. 这里可补充说明函数的和、差的单调性结论：在公共区间内，若函数)(,)(x g x f 都有单调性，则有：若)(x f 增，)(x g 增，则)()(x g x f +增；若)(x f 增，)(x g 减，则)()(x g x f -增；若)(x f 减，)(x g 增，则)()(x g x f -减；若)(x f 减，)(x g 减，则)()(x g x f +减；例2：讨论函数x x y -+=1的单调性.分析：求出定义域),0[+∞，化简函数x x y ++=11，1+∴x 和x 在),0[+∞上都是增函数，x x ++∴1也是增函数。
y ∴在),0[+∞上是减函数. 进一步可讨论函数3212422+---=x x x x y 的单调性。
它的定义域是),(+∞-∞，且0322>+-x x ，把函数化简2325325624222-+-=+-+--=x x x x x x y . 2)1(3222+-=+-x x x 在]1,(-∞上减，在),1[+∞上在增，y ∴在]1,(-∞上增，在),1[+∞上在减.2、化简函数作出简图利用图象判别有的函数化简以后能作出简图，那么就可以根据图象讨论它的单调性。
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高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。
那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法
对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x
（1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数；
（2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如：根据函数单调性的定义，证明：函数
在 上是减函数。
要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为
0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24
x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。
方法二：性质法
除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有：
1. f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性；
2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。
这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。
方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题）
对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，
若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；
若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.
注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数。
例如，求函数y=log 4(x 2－4x+3)的单调区间。
解：设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由 u ＞0,
u=x 2－4x+3，
解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.
当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复
合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，
(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
方法四：图像法
画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。
例如，画出函数22||1y x x =-++图象并写出函数的单调区间。
解：2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩ 即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩
如图所示，单调增区间为(,1][0,1]-∞-和，单调减区间为[1,0][1,)-+∞和
方法五：导数法
函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)a b 内，
如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增，
如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减。
例如，求函数32)(24+-=x x x f 的单调区间。
解：函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-='
令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ．
∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞； 令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，
∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．。