(完整版)复合函数单调性的判定方法
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性的判断方法
复合函数的单调性判断：依y=f(u)，u=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
判断复合函数单调性的步骤
⑴求复合函数的定义域；
⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；
⑶判断每个常见函数的单调性；
⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。
复合函数的单调性判断说明
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域。
2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
复合函数及抽象函数的单调性
在f ( x y) f ( x) f ( y)中令y x则 f (0) f ( x) f ( x), 再令x y 0则f (0) 2 f (0) f (0) 0 故f ( x) f ( x), 从而f ( x)为奇函数.
f (1) f (1) 2, f (2) f (1) f (1) 4,
所以f ( x)的值域为[4,2].
15
例5：已知函数f ( x)对任意实数x、y都有f ( xy) f ( x) f ( y) 且f (1) 1, f (27) 9,当0 x 1时f ( x) (0,1). (1)判断f ( x)的奇偶性.(2)判断f ( x)在(0, )上的单调性，并证明.
函数。
2
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
3
0
x
1 3
.
不等式的解集为
1
x0
x
3
.
20
例6:已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的奇函数，
若 a、b [1,1],且a b 0, 则有 f (a) f (b) 0.
ab
(1)判断 f ( x) 在[-1,1]上的增减性，并证明你的结论；
(3)若f ( x) m 2 2am 1对于所有x [1,1], a [1,1] 恒成立，求实数m的取值范围.
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
函数单调性的判断与证明
函数单调性的判断与证明【方法综述】 1．函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.2.要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．3.用定义证明函数单调性中的变形策略由定义证明函数f (x )在区间D 上的单调性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f (x 1)－f (x 2)的符号的关键所在．常见变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下面举例说明.例1.求证：函数f (x )＝x 2－4x 在(－∞，2]上是减函数．证明：设x 1，x 2是(－∞，2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1)－(x 22－4x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)．因为x 1＜x 2≤2，所以x 1－x 2＜0，x 1＋x 2－4＜0. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 故函数f (x )在(－∞，2]上是减函数．评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f (x 1)－f (x 2)的符号．例2.求证：函数f (x )＝x 3＋1在R 上是增函数．证明：设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31＋1－x 32－1＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22. 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故函数f (x )在R 上是增函数．评注 本题极易在(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)处“止步”而致误．而实际上当我们不能直接判断x 21＋x 1x 2＋x 22的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”．例3.已知函数f (x )＝x ＋1x，求证：函数f (x )在区间(0,1]上是减函数．证明：设x 1，x 2是区间(0,1]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈(0, 1]，所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1.所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．故函数f (x )在(0,1]上是减函数．评注 同样，我们可以证明f (x )＝x ＋1x在区间[1，＋∞)上是增函数．例4.已知函数f (x )＝x －1，求证：函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是区间[1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1－x 2－1＝x 1－x 2x 1－1＋x 2－1 .因为x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[1，＋∞)，所以x 1－x 2＜0，x 1－1＋x 2－1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f (x 1)－f (x 2)符号的目的. 例5.求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解：函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)．当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间；当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间．综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．例6. 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间．解：由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t ，因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞). 【针对训练】1．下列四个函数中，在上为减函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于选项A,函数的图像的对称轴为开口向上，所以函数在上为减函数.所以选项A 是正确的.对于选项B,在在上为增函数，所以选项B 是错误的. 对于选项C,在在上为增函数，所以选项C 是错误的.对于选项D,,当x=0时，没有意义，所以选项D 是错误的. 2.下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3xC ．f(x)＝－1x ＋1 D ．f(x)＝－|x|【答案】C【解析】当x>0时，f(x)＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f(x)＝x 2－3x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f(x)＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．3．若函数y ax =与b y x=-在()0,+∞上都是减函数，则()2f x ax bx =+在()0,+∞上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 【答案】B【解析】由函数y ax =与by x=-在()0,+∞上都是减函数,可得0,b 0a <<.则一元二次函数()2f x ax bx=+在()0,+∞上为减函数.故选B.4.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立， 则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加【答案】A【解析】若a b <则由题意()()0f a f b a b->-知，一定有()()f a f b <成立，由增函数的定义知，该函数()f x 在R 上是增函数；同理若a b >，则一定有()()f a f b >成立，即该函数()f x 在R 上是增函数.所以函数()f x 在R 上是增函数.故应选A.5.已知，那么( ) A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D 【解析】，记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A 错误；当时，不具有单调性，故B 错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C 错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D 正确.故选：D 6.试讨论函数f(x)＝axx －1(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 【解析】设－1<x 1<x 2<1，f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f(x 1)－f(x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a>0时，f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a<0时，f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．7.已知a>0，函数f(x)＝x ＋ax (x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．【解析】任意取x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫a x 1－ax 2＝(x 1－x 2)＋ax 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 当a ≥x 1>x 2>0时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2<0，有f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 此时，函数f(x)＝x ＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数；当x 1>x 2≥a 时，x 1－x 2>0,1－ax 1x 2>0，有f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，此时，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．8.已知函数的图象经过点（1，1），．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（0，+）上的单调性并用定义证明；【答案】（1）.（2）见解析.【解析】（1）由f(x)的图象过A、B，则，解得．∴（x≠0）．（2）证明：设任意x1，x2∈0+∞（，），且x1<x2．∴.由x1，x2∈0+∞（，），得x1x2>0，x1x2+2>0．由x1<x2，得．∴，即．∴函数在0+∞（，）上为减函数．9.已知函数在上满足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单调性并证明；【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【解析】（1）令，即可得到，再令，可得，令即可求得；（2）单调递增，证明：任取且，则，，因为，所以，所以在上单调递增.10.已知定义在区间上的函数满足，且当时，. （1）求的值；（2）证明：为单调增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）见解析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：（1）利用赋值法进行求的值；（2）根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．（3）根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：（1）∵函数f（x）满足f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2⋅）﹣f（x2）=f（x2）+f（）﹣f（x2）=f（）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上的是增函数．（3）∵f（x）在（0，+∞）上的是增函数．若，则f（）+f（）=f（）=﹣2，即f（•5）=f（1）=f（）+f（5）=0，即f（5）=1，则f（5）+f（5）=f（25）=2，f（5）+f（25）=f（125）=3，即f（x）在上的最小值为﹣2，最大值为3．。
14、复合函数单调性和单调区间的判别
复合单调性和单调区间的判别步骤
一、两层复合
第一步：求定义域
第二步：确定内外层函数的解析式。
第三步：画出内外图像对称轴，对称零点分区间。
内层图像分上下，❶❹上❷❸下，外层图像分左右，❷❸左❶❹右；同号增减定把复合断。
第四步：理清突变点，指的是内层函数的零点或者是区间端点。
如果零点不知道，根据内外层函数相互示解。
结论：
1、一种关系：内层的y 轴相当于u ，u 相当于外层x 轴；外层y 轴的增减就是复合函数单调性；
2、最终定论：（1）复合函数的单调性最终由外层u 的增减变化和外层图像的增减来确定。
（2）内层函数的单调区间就是复合函数的单调区间；
3、一个原则：不论是定内层函数的单词性还是外层函数的单调性，其原则都是“同增异减”.
4、序号对应：内层图像分上下，上❶❹下❷❸，外层图像分左右，左❷❸右❶❹
内层图像和外层图像决定复合函数的单调性，内层区间就是复合函数的单调区间。
复合单调性的判别
1、一次函数+二次函数 2
325-
=⇐=u x 突变点
2、根含二次类 02
3=⇐-=u x 突变点
3、根含分式类
4、抽像一次类
5、抽象二次类
6、内外二次类
•
7、抽象分式类
分三类讨论突变点有两个
三、三层复合函数的单调性的判断
如果氢前两层看成一个整体，先把前两层进行复合，依旧遵行同增异减，复合后再和第三层复合依旧遵循同增异减的规律，若只有一层递减则整体递减。
，这点其实像正负数乘法的规律因为减减为增抵消了
由于根式不改变内层函数的单调性。
所以我们可以把分式函数看居是两层。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二 值;X 叱）②作差；或作商：,g ） 丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ） 乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是 多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是 分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配 方，当原函数是 二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—） 则 七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。
证明：设。
5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％ ，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。
求解复合函数单调性
求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
复合函数单调性的判定方法
例 ３ 讨论 函数 ）＝ｌｇ ／ 一 ２ 口＞ ｏ。￣ 一 （ ０，
０ ） ≠１ 的单调 性．
解 ） 的定 义 域 为 （一。 一１ 。， ）ｕ（ ， 。） ２ ＋ｏ ．
Ｙ ＝ｌｇ ｏｏ
．
ｕ在其它义域上是减 函数 ， 以， ） 所 （ 在（一∞ ，
一
２ 上是增函数 ， （ ２ ＋∞） ） 在 一 ， 上是减函数 例 ２ 试 求 函数 ． ）： 的单调 区间． 厂 （ ２ 解： 函数 ， ）＝ ， （ ２２ 可视 为， ｕ ２ 与 “ 复 （ ）＝ “ ＝
单 函数 的单 调性 为 基 础 ， 而初 等 数 学 中 的简 单 函数 均 是初 等函数 ， 因此 熟 悉 各种 初 等 数 学 的单 调 性是 判 定复合 函数单 调性 的基 础． 能 对 各种 初 等 函数 若 的图象 了如指掌 ， 对 复合 函数 单 调性 的判 定将 大 则 有 裨益． 我们 可 以借 助初 等 函数 的 图象 确 定 它 的单
时为增 函数 ， ） （ 所以 在 一∞，］ ０ 上为减 函数 ， 在 ［， ０ ＋∞） 为增 函数． 上 推论 ： 由有 限个 简 单 函数 复 合 而成 的 多重 复合
函数 ， 在所 讨论 的区问 内每 个简单 函数 均 有意义 ， 若 且 均 为严格单 调 函数． 其 中 减 函数 的个 数 是偶 数 当
（ 接弟 ８ 上 ２页 ）
误解 ： 原式 ＝一７ ÷ ３
＝
一
（） 一÷ ÷÷ ８弓 （８× ‘一一）７ 。 ／ ７ ＼ 。 ＿ 分配律， 只有乘 法有 分配 律 ， 除法 没有分 配律 ．
复合函数的单调性
复合函数的单调性一、复合函数的概念如果y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f(g(x))叫作函数y=f(u)和u=g(x)的无机函数，其中u就是中间变量，自变量为x函数值为y。
例如：函数y=2x就是由y=2u和u=x+1无机而设立。
二、复合函数单调性判定方法：在复合函数y=f(g(x))中，若u=g(x)在区间[a,b]上是单调增（减）函数，y=f(u)在区间[g(a),g(b)]上（或在区间[g(b),g(a)]上）是单调增（减）函数，那么复合函数y=f(g(x))在区间[a,b]上一定是单调函数，它的增减性如下表：规律：同增异减至三、基本初等函数的单调性、1一次函数y=kx+b（k≠0）的单调区间就是。
2.反比例函数y=(k≠0)的单调区间是。
x3．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的单调区间就是4、指数函数y=a（a＞0，a≠1）的单调区间就是。
5、对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的单调区间就是。
基准1谋以下函数的单调区间：y=log4(x－4x+3)例2求下列复合函数的单调区间：y=log1(2x－x)7-6x-x基准3谋y=的单调区间.()x-2x-1谋y=2的单调区间求下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x－2x);2.y=log2(x－3x+2)；3.y=-x+5x-6,4.y=0.7;1x+3()3-x35.y=2;6.y=,12log(4x-x)logxπ7.y=3；8.y=；x-6x；10.y=72x-x；9.y=函数的基本性质一、典型选择题1．在区间上以增函数的就是（）a．b．c．d．（考点：基本初等函数单调性）2是单调函数时，的取值范围（）c．（考点：二次函数单调性）3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在a．最大值b．最小值c．没最大值d．没最小值（考点：函数最值）4．函数a．偶函数b．奇函数c．不具备奇偶函数d．与（考点：函数奇偶性）5．函数a．都是增函数，若（考点：抽象化函数单调性）6．函数a．的递增区间是（）（考点：无机函数单调性）7．函数在实数集上是增函数，则（）a．b．c．d．（考点：函数单调性）8．定义在r上的偶函数a．c．，满足用户b．d．上为递增，则（）（考点：函数奇偶、单调性综合）9．未知（）a．c．（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1．函数在r上以奇函数，且在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（考点：利用函数奇偶性谋解析式）2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.（考点：函数单调性，最值）三、典型答疑题1．（12分后）未知（考点：复合函数单调区间求法）得单调递增区间.2．（12分）已知，，求.（考点：函数奇偶性，数学整体赋值的思想）。
复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，y＝log a u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，在构成复合函数的三个函数中，只有y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
复合函数单调性、函数奇偶性
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 ：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2：已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法姓名：一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k (k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
2.函数的基本性质之单调性
函数的基本性质一. 函数的单调性1.复合函数的单调性的判定［例1］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减，又函数)(x f 在R 上为增函数， ∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].练习 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间．2.函数的和函数与差函数的单调性的判定 在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内， 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．［例2］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，则bx ax y +=2的单调性是( ) A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数2ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，2ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性． ［例3］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．练习 1. 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．2. 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数， ∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．3. 抽象函数的单调性例 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)∵函数f(x)对于任意x ，y ∈R 总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，∴令x ＝y ＝0，得f(0)＝0.再令y ＝－x ，得f(－x)＝－f(x)． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x 1－x 2>0，∴f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．因此f(x)在R 上是减函数．(2)∵f(x)在R 上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.练习 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =. （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --<∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3)二.一个特殊的函数 ---对号函数xb ax x f +=)()0,0(>>b a 被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线，y 轴和直线 ax y =是其渐近线． ［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x -> 故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛ ⎝上为减函数. 【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．练习 求函数2=y 解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数2=y 25为所求．再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x x ax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立；a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3. ∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1， 设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1，∴)()(121x f x f ＞0，∴ )(2x ＞)(1x F ； 综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数2、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数3、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是4、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是5、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为6、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.7、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．8、证明函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．9、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性．参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0 ∴ 函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1；当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax＝xx a 1-作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。
复合函数单调性
因此令 u 2 x
1 得 x 1 （外函数的单调增区间无法放大，但内函数的相应值域可以变小啊） 2
∴函数 y 4 x 2 x 1 的单调增区间是 (1, ) 【例 2】函数 y (log 2 x) 2 2 log 2 x 3 的单调增区间是_________ 解析：函数的定义域为 (0, ) ，设 u log 2 x ，则 y u 2 2u 3 内函数 u log 2 x 在 (0, ) 上单调增，相应值域为 R 外函数 y u 2 2u 3 在 (1, ) 上单调增（和例题 1 出现同样问题了） 令 u log 2 x 1 得 x 2 ∴函数 y (log 2 x) 2 2 log x 3 的单调增区间是 (2, )
【例 6】设 a 0 且 a 1 ，函数 f ( x) log a
1 x 在 (1, ) 上单调递减，则 f ( x) ( 1 x A．在 ( , 1) 上单调递减，在 (1, 1) 上单调递增 B．在 ( , 1) 上单调递增，在 (1, 1) 上单调递减 C．在 ( , 1) 上单调递增，在 (1, 1) 上单调递增 D．在 ( , 1) 上单调递减，在 (1, 1) 上单调递减
外函数 y 2 sin u 在 [2k
, 2 k
【例 4】已知函数 y log a (2 ax ) 在区间 [0, 1] 上是减函数，则实数 a 的取值范围( A． (0, 1) B． (1, 2) C． (0, 2) D． [2, )
)
解析：设 u 2 ax ，则 y log a u ，由复合函数的单调性知 a 1 内函数 u 2 ax 在 [0, 1] 上单调减，且相应值域为 [2 a, 2] 外函数 y log a u 在 u (0, ) 时单调增 (接下来要干吗呢？是不是要保证内函数在 [0, 1] 上的值域 [2 a, 2] 在外函数单调区间 (0, ) 内呢?) ∴ 2 a 0 ， a 2 ，故实数 a 的取值范围是 (1, 2) ，选 B 【例 5】已知函数 f ( x) log 1 ( x 2 2ax 3) ，若 f ( x) 在 ( , 1] 上单调增，则 a 的取值范围是_____；
高三数学有关复合函数单调性的定义和解题方法
有关复合函数单调性的定义和解题方法一、复合函数的定义设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、函数的单调区间1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.三、复合函数单调性相关定理引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x 1)＜g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＜u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］， 故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x 1,x 2，使a ＜x 1＜x 2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x 1)＞g(x 2),记u1=g(x 1),u2=g(x 2)即u 1＞u 2,且u 1,u 2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u 1)＜f(u 2),即f ［g(x 1)］＜f ［f(x 2)］，故函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。
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复合函数单调性的判定方法
定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．
证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x
1＜x
2
＜b，
则有m＜g(x
1)＜g(x
2
)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x
1
)]
＞f[g(x
2
)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．
(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x
1＜x
2
＜b，则有m
＜g(x
1)＜g(x
2
)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x
1
)]＜
f[g(x
2
)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．
由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．
例1讨论函数f(x)＝log
0.5
(x2＋4x＋4)的单调性．解 f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为
y＝log
0.5
u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋
∞)上为增函数．又y＝log
0.5
u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．
解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u ＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．
推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．
(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，
u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，y＝log
a
u是减函数，则f(x)在构成复合函数的三个函数中，只有y＝log
a
是减函数．
(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝log
u是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成
a
复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。