判断函数单调性的常用方法1定义法导数法

的符号，并根据符号确定极大值与 极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例2:求下列函数极值.
1)y = x 2e-x 2)y = 2x - 2
x2 + 1
作业:P34 5(1) (2)
1.3.3函数的最大（小）值与导数
导数的应用之三、求函数最值.
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
即:极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值
a
b
f(a)
导数的应用二、求函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b 的 左侧附近f’(x)>0，在b 右侧附近f’(x)<0， 那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的 左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0， 那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.
点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.
2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其它各
点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，
3)产生极大值点,极小值点统称为极值点.
4)极大值与极小值统称为极值.
f(b)
注:函数的极大值、极小值未必是
函数的最大值、最小值.
x (…,b) b (b, …) x
f ’(x) + 0
-
f ’(x)
f (x)
f(b)
f (x)பைடு நூலகம்
(…,a) a (a, …) -0 +
f(a)
注：导数等于零的点不一定是极值点．
例1:求函数y=x3/3-4x+4极值.
练习:1)求函数y=3x-x3极值.
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x )的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式组 f ¢(x) > 0得f(x)的单调递增区间;
xÎ D
解不等式组 f ¢(x) < 0 得f(x)的单调递减区间.
xÎ D
注、单调区间不 以“并集”出现。
函数极值的定义——
1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其它各
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
例1、求函数f(x)=x3 /3-4x+4在区间 [0，3] 内的最大值和最小值
练习、求函数f(x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值
作业；Ｐ３４ ５（１）（４） ， ６（２）（３）
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
f `(x)>0 增函数
f `(x)<0 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
y
a
0
b
x
如图为f(x)在闭区间[a,b]上的图象
f(x1)
y f(x3)
f(b)
a
x2
x1
0
f(a) f(a)
f(x2)
y
x1
a
0
x3
f(x2)
x2
f(x1)
x4 bx
f(b)
x3 bx
f(x3)
导数的应用之三、求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)