判断函数单调性的常用方法1定义法导数法
证明单调性的方法总结
证明单调性的方法总结
1. 导数法：证明函数单调递增（或递减）时，可以求出其导数，证明导数恒大于（或小于）零。
2. 差值法：如果f(x_2)> f(x_1)，则我们可以构造函数g(x) = f(x) - f(x_1)，证明g(x_2)> g(x_1)。
3. 归纳法：证明f(x) 在区间[a_n,a_{n+1}] 上单调递增（或递减）时，将整个区间分为n 个子区间，并依次证明这n 个子区间上f(x) 单调递增（或递减）。
4. 对偶法：证明f(x) 在区间[a,b] 上单调递增（或递减）时，可以证明其对偶函数1/f(x) 在区间上单调递减（或递增）。
5. 中值定理法：可以利用中值定理，证明f(x) 在区间上的导数恒大于（或小于）零，从而证明其单调性。
6. 极值法：如果f(x) 在某一点处有极大值或极小值，那么它在该点附近一定是单调的。
可以利用极值的存在，证明f(x) 在该区间上单调递增（或递减）。
总之，证明函数单调性的方法应当具体问题具体分析，选择合适的方法，能够提高证明效率。
例析判断函数单调性的方法
单调性是函数的基本性质之一.判断函数单调性问题比较常见，此类问题的难度一般不大，需灵活运用函数单调性的定义以及函数的性质才能解题.为了进一步提升解答此类问题的效率，笔者总结了判断函数单调性的三种方法:定义法、同增异减法、导数法.一、定义法一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2.当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数;当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数.对于比较简单的问题，我们可以直接利用定义法来判断函数的单调性，只需在已知定义域上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，再将f ()x 1、f (x 2)作差，通过化简、变形判断出f ()x 1-f (x 2)符号即可.运用定义法判断函数的单调性一般有四个步骤：取值—作差—变形—定号.例1.证明f (x )=-2x +1在R 上是减函数.证明：在R 上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1)=-2x 1+1+x 2-1=-2x 1+2x 2=2(x 2-x 1)，因为x 1<x 2，所以x 2-x 1<0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2).所以f (x )为减函数.解答本题，需先确定定义域，再根据取值、作差、变形、定号的步骤进行操作即可得出结论.二、同增异减法该方法一般适用于判断复合函数的单调性，复合函数一般是由两个或者两个以上函数复合而成的，且所有函数的定义域相同.在判断复合函数的单调性时，我们需首先判断每个函数在定义域内的单调性，然后再根据“同增异减”来判断复合函数的单调性.若两个函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若两个函数的单调性不同，则复合函数为减函数.例2.判断函数y =（13）x 2-2x的单调性.解：设t =x 2-2x ，则y =(13)t，因为0<13<1，所以由指数函数的性质可得y =(13)t单调递减；而t =x 2-2x =(x -1)2-1，当x ∈(-∞，1)时，函数t =x 2-2x 单调递减；当x ∈(1，+∞)时，函数t =x 2-2x 单调递增；所以x ∈(-∞，1)时，函数y =(13)x 2-2x单调递增；x ∈(1，+∞)时，函数y =(13)x 2-2x单调递减.在判断复合函数的单调性时，要通过换元，将复合函数中的简单函数分离出来，然后根据函数的性质判断出每个简单函数的单调性，再根据“同增异减”来判断复合函数的单调性.三、导数法导数法是指通过研究导函数来判断函数单调性的方法.在运用导数法判断函数的单调性时，要先对函数求导，再确定导数值的正负，根据导函数的正负来判定函数的单调性.一般地，若导函数f ′(x )>0，则函数f (x )在区间上单调递增，若导函数f ′(x )<0，则函数f (x )在区间上单调递减.例3.讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在(-1，1)上的单调性.解：f ′(x )=(ax )′(x 2-1)-ax (x 2-1)′(x 2-1)2=a (x 2-1)-2ax 2(x 2-1)2=a (-x 2-1)(x 2-1)2=-a (x 2+1)(x 2-1)2.∵a >0，x ∈(-1，1)，∴f ′(x )<0.∴f (x )在(-1，1)上是减函数．导数法常用于判断较为复杂的函数的单调性，尤其是含有指数、对数函数的复杂函数问题，运用导数法来判断函数的单调性非常便捷.定义法、同增异减法、导数法都是判断函数单调性的常用方法.每种方法的适用范围各不相同.定义法常用于解答较为简单的问题，同增异减法常用于解答复合函数问题；而导数法常用于求解较为复杂的函数问题.同学们在解题时要注意合理选择.（作者单位：新疆喀什叶城县第四中学）方法集锦43Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
函数的单调性与零点的求解
函数的单调性与零点的求解函数的单调性和零点的求解在数学中是非常重要的概念和技巧。
单调性描述了一个函数在某个区间内的增减趋势，而求解函数的零点则是求出函数取零的x值。
本文将对函数的单调性和零点的求解进行详细的讨论。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域内增减的趋势。
一个函数可以是递增的，也可以是递减的，还可以是常数函数或者不单调的函数。
下面是一些常用的判断函数单调性的方法：1. 导数法：对于连续可导的函数，通过求导可以得到函数的导函数，即函数的变化率。
如果导函数在某个区间内恒正，那么函数在该区间内是递增的；如果导函数在某个区间内恒负，则函数在该区间内是递减的。
2. 增减表法：对于不连续的函数或者无法求导的函数，可以通过增减表来判断函数的单调性。
增减表是一个表格，将函数的定义域分成若干个区间，然后确定每个区间上函数的增减性。
在每个区间内选择一个x值，代入函数中求得函数值，然后观察函数值的增减情况，从而确定函数的单调性。
二、函数零点的求解函数的零点指的是函数取零的x值，即满足函数f(x) = 0的x值。
求解函数的零点在许多数学问题中都是非常重要的：1. 列方程法：对于一元函数，可以通过列方程来求解函数的零点。
将函数等于零的方程列出，然后通过解方程的方法来求得函数的零点。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以将f(x) = 0化为方程x^2 -4x + 3 = 0，然后通过因式分解、配方法或者求根公式等方法解方程，得到函数的零点为x = 1和x = 3。
2. 图像法：对于一元函数，可以通过观察函数的图像来估计函数的零点。
将函数的图像绘制在坐标系中，然后通过观察图像与x轴的交点来估计函数的零点。
这种方法在函数比较简单、对称性较明显的情况下比较有效。
3. 数值解法：对于一些复杂的函数，或者求解精度要求较高的情况，可以使用数值解法来求解函数的零点。
常用的数值解法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。
判断函数单调性的三种途径
（1）若 m - 1 ≤ 0 ，
即 m≤1，
由 f ′(x) > 0 ，得 x > 1 ；由 f ′(x) < 0 ，
得 0<x<1.
故当 m ≤ 1 时，函数 f (x) 在 (1, +∞) 上单调递增，在
(0,1) 上单调递减.
（2）若 0 < m - 1 < 1 ，
即 1 < m < 2，
用于判断复杂函数的单调性.图象法则十分形象直观，
ìx2 - x,x < 0,
（2）由题意可知，y = í 2
î-x + x,x ≥ 0,
地判断出函数在各个区间上的单调性.
相较而言，定义法的适用范围较广，导数法则常
解答过程也较为简便.
数学篇
(-∞,1] 上单调递减，
在 [2, +∞) 上单调递增.
象,明确各个区间段上曲线的升降情况，就能一目了然
讨论不同区间内函数的单调性.
三、利用图象判断函数的单调性.
借助函数的图象，可以快速明确函数的变化情
况，了解函数的特征，如函数的定义域、值域、单调性
等.在判断函数的单调性时，可以先根据函数的性质或
函数的解析式画出函数的图象；然后从左往右观察函
数图象的变化趋势，当函数在某一区间段内的图象呈
上升趋势，则该函数在此区间内为增函数；当函数在
（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附
属高级中学）
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证明：如图 1，曲线 f (x) 关于直线 x = a 对称，在曲
图1
图2
m - 1 ≤ 0 、0 < m - 1 、m - 1 > 1 、m - 1 = 1 几种情况，来
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】 解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅， 因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <． 故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围． 【解析】 解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减， 则对称轴14a -， 解得3a-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（ ） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域． 【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >， 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】 令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥， 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案 【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去， 所以1a =， 故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（ ）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ， 由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<， 解得：12a <， 函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（ ） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误； 对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >； 对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立， 当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立； 当1x <时，20x -<，且()0f x <， 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-， 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立， 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=， 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________． 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围 【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞． 故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >； 当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤， 所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中的重要内容，它涉及到函数的增减性质，对于函数的研究具有重要意义。
在数学分析中，我们常常需要证明一个函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的。
下面，我将介绍几种常见的方法来证明函数的单调性。
1. 导数法。
导数法是证明函数单调性常用的方法之一。
对于给定的函数f(x)，如果它在某个区间上具有一阶导数，那么我们可以通过导数的正负来判断函数的单调性。
具体来说，如果在某个区间上f'(x)大于0，则函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于0，则函数在该区间上是单调递减的。
2. 函数的增减表。
函数的增减表是一种通过导数的符号来判断函数单调性的方法。
我们可以通过求出函数的导数，并列出导数的符号随着自变量的变化而变化的情况，从而得出函数在某个区间上的单调性。
通过增减表，我们可以清晰地看出函数的单调性，并进行证明。
3. 极值点和拐点。
对于一个函数f(x)，它的极值点和拐点也可以帮助我们证明函数的单调性。
如果在某个区间上f'(x)恒大于0，并且f''(x)恒大于0，那么函数在该区间上是单调递增的；如果f'(x)恒小于0，并且f''(x)恒小于0，那么函数在该区间上是单调递减的。
通过分析极值点和拐点，我们可以得出函数的单调性。
4. 函数图像法。
最直观的方法是通过函数的图像来观察函数的单调性。
我们可以通过绘制函数的图像，并观察函数在某个区间上的变化趋势，从而得出函数的单调性。
通过观察函数的图像，我们可以直观地理解函数的单调性，并进行证明。
综上所述，证明函数单调性的方法有多种多样，我们可以根据具体的函数和问题选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些方法，从而准确地判断函数的单调性，为数学分析和实际问题的解决提供有力的支持。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】1.函数单调性的说课稿2.高中数学函数的单调性的教学设计3.导数与函数的单调性的教学反思4.高中函数单调性的教学设计5.《函数的单调性》的说课稿6.函数单调性教案练习题7.函数单调性说课课件8.《函数的单调性》教学设计上文是关于证明函数单调性的方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法一、定义法设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数. 【例1】证明：当0>x 时，)1ln(x x +>。
证明：令01111)()1ln()(>+=+-='+-=xx x x f x x x f 所以，当0>x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 为严格递增的0)01ln(0)0()(=+-=>⇒f x f ，所以)1ln(x x +>。
二、性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： ⑴ f(x)与f(x)＋C （C 为常数）具有相同的单调性；⑵ f(x)与c•f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； ⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； ⑸当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f (x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；三、同增异减法是处理复合函数的单调性问题的常用方法. 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（3）如果f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么f(x)在D 的任一子区间上也是增（减）函数.设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减.例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间.教学意图：先让学生学会找出外层函数和内层函数然后再进一步教会学生如何求此函数的单调区间.此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法. 解题过程：外层函数：ty 2=内层函数：22-+=x x t内层函数的单调增区间：],21[+∞-∈x 内层函数的单调减区间：]21,[--∞∈x 由于外层函数为增函数所以，复合函数的增区间为：],21[+∞-∈x 复合函数的减区间为：]21,[--∞∈x 四、求导法导数小于0就是递减，大于0递增，等于0，是拐点极值点求函数值域的常用方法 1．观察法用于简单的解析式。
判断函数单调性的常用方法
判断函数单调性的常用方法判断函数的单调性是数学中常见的一个问题。
在解决这个问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们确定函数的单调性。
下面将就这些方法和技巧进行详细介绍。
1.用导数判断函数的单调性：常数函数：常数函数不会随自变量的变化而变化，因此常数函数在定义域上是单调的。
一次函数：一次函数的导数为常数，若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。
幂函数：幂函数的导数根据指数、底数的不同具有不同的形式，通过求导后的符号进行判断函数的单调性。
指数函数：指数函数的导数为指数函数本身的常数倍，若底数大于1且指数函数变量在定义域上递增时，函数单调递增；若底数小于1且指数函数变量在定义域上递减时，函数单调递增。
对数函数：对数函数的导数为自变量在底数为e的自然对数函数中的导数，根据求导后的符号进行判断函数的单调性。
2.利用函数的一阶和二阶导数进行判断：函数的一阶导数描述了函数图像的斜率，可以通过判断一阶导数的符号确定函数的单调性。
若一阶导数始终大于零，则函数单调递增；若一阶导数始终小于零，则函数单调递减。
函数的二阶导数描述了函数图像的曲率，若二阶导数始终大于零，则函数图像为凹函数，函数单调递增；若二阶导数始终小于零，则函数图像为凸函数，函数单调递减。
3.利用函数的性质进行判断：常用的函数性质包括函数的奇偶性、周期性、对称性等。
若函数具有奇函数的性质，则在定义域的相对称点上具有相反的函数值，可以通过判断奇函数在其中一区间内的正负性得出函数在该区间的单调性。
若函数具有周期性，则可以通过观察一个周期内的变化趋势来判断函数的单调性。
4.利用图像进行判断：通过观察函数图像可以直观地判断函数的单调性。
若函数图像始终上升，则函数单调递增；若函数图像始终下降，则函数单调递减。
这些是常用的判断函数单调性的方法和技巧。
在实际问题中，有时候需要结合多个方法和技巧来确定函数的单调性。
同时，还可以利用函数的单调性来解决一些实际问题，例如在优化问题中，我们可以通过判断目标函数的单调性来确定最优解的存在性和位置。
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值．(2)比较函数值或自变量值的大小．(3)解、证不等式．(4)求参数的取值范围或值．(5)作函数图象．搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改。
判断函数单调性的方法
判断函数单调性的⽅法
函数单调性的判断⽅法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。
⾸先对函数进⾏求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数⼤于零时是增函数，⼩于零是减函数。
判断函数单调性的⽅法步骤
利⽤定义证明函数单调性的步骤
①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2
②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配⽅、有理化等⽅法将差式向有利于判断差的符号的⽅向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。
判断函数单调性的常见方法
判断函数单调性的常见方法函数的单调性是指函数在自变量的取值范围内是否呈现增加或减少的趋势。
判断函数单调性的常见方法包括函数的导数和函数的凹凸性等。
一、函数的导数判断单调性：当函数在其中一区间内可导时，可以通过判断函数的导数的符号来确定函数在该区间内的单调性。
1.若函数f'(x)>0，即导数大于0，则函数在该区间内是严格递增的。
2.若函数f'(x)<0，即导数小于0，则函数在该区间内是严格递减的。
3.若函数f'(x)=0，即导数等于0，则函数在该点可能有极值点。
4.若函数f'(x)>=0，即导数大于等于0，则函数在该区间内是递增的。
5.若函数f'(x)<=0，即导数小于等于0，则函数在该区间内是递减的。
需要注意的是，一个函数在一些区间上的单调性还需要满足函数在该区间上是连续的，即函数存在于该区间上。
二、函数的凹凸性判断单调性：函数的凹凸性也可以用来判断函数的单调性。
凹凸性表示函数的曲线是向上凸起还是向下凸起。
1.若函数f''(x)>0，即二阶导数大于0，则函数在该区间内是向上凸起的，且在该区间内是递增的。
2.若函数f''(x)<0，即二阶导数小于0，则函数在该区间内是向下凸起的，且在该区间内是递减的。
3.若函数f''(x)=0，即二阶导数等于0，则函数在该点可能存在拐点。
需要注意的是，函数的凹凸性需要函数存在二阶导数，因此这种方法只适用于可导的函数。
综合判断法：有时候，通过综合判断函数在不同区间上的单调性，可以更准确地判断函数的单调性。
这可以通过以下步骤进行：1.确定函数定义的区间，即函数存在的区间。
2.判断函数在每个区间上的导数的符号，根据导数和函数的关系来判断函数的单调性。
3.判断函数在每个区间上的凹凸性，根据凹凸性和函数的关系来判断函数的单调性。
4.将导数和凹凸性的结果综合起来，判断函数在整个定义区间上的单调性。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法在数学中，证明函数的单调性是一个非常重要的问题。
函数的单调性指的是函数在定义域内的增减性质，即函数的取值随自变量的增减而增加或减少。
证明函数的单调性有多种方法，下面我们将介绍几种常见的方法。
一、导数法。
证明函数单调性的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以求出其导数，并通过导数的正负性来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
以求证函数f(x)在区间(a, b)上单调递增为例，我们可以先求出函数f(x)在该区间上的导数f'(x)，然后证明f'(x)恒大于零。
如果能够证明f'(x)>0，那么就可以得出函数f(x)在区间(a, b)上单调递增的结论。
二、一阶导数和二阶导数法。
除了利用导数的正负性来证明函数的单调性外，我们还可以利用一阶导数和二阶导数的关系来进行证明。
具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数恒大于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递增的。
同理，如果一阶导数恒小于零，而二阶导数恒大于或恒小于零，那么函数在该区间上就是单调递减的。
三、零点法。
另一种证明函数单调性的方法是利用函数的零点。
具体来说，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上就是单调递增（或单调递减）的。
而函数的导数恒大于零（或恒小于零）又可以通过证明函数的导数在该区间上没有零点来得到。
因此，我们可以通过证明函数的导数在某个区间上没有零点来证明函数在该区间上的单调性。
四、其他方法。
除了上述方法外，还有一些其他方法可以用来证明函数的单调性，比如利用函数的图像、利用函数的定义等。
在具体问题中，我们可以根据函数的性质和给定条件选择合适的方法来进行证明。
总结。
综上所述，证明函数的单调性有多种方法，包括导数法、一阶导数和二阶导数法、零点法以及其他方法。
判断单调性的5种方法
判断单调性的5种方法单调性是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在定义域内的增减规律。
在学习数学的过程中，我们经常需要判断一个函数的单调性，因此掌握判断单调性的方法是十分必要的。
在本文中，我将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
方法一，利用导数。
判断函数的单调性最直接的方法之一就是利用导数。
对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。
当f'(x)=0时，需要额外考虑临界点处的单调性。
利用导数判断单调性是一种非常常用也非常有效的方法。
方法二，利用一阶导数的符号变化。
除了直接利用导数的大小来判断单调性外，我们还可以通过观察一阶导数的符号变化来判断函数的单调性。
具体来说，我们可以找到函数f(x)的一阶导数f'(x)，然后观察f'(x)在定义域内的符号变化。
如果f'(x)在某一区间内始终大于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)在某一区间内始终小于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递减的。
方法三，利用二阶导数。
除了一阶导数外，我们还可以通过观察函数的二阶导数来判断单调性。
对于函数f(x)，如果f''(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递增的；如果f''(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递减的。
利用二阶导数判断单调性在一些特定的函数中会更加方便和直观。
方法四，利用函数图像。
观察函数的图像也是判断单调性的一种方法。
通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数在定义域内的增减规律。
当然，这种方法对于一些复杂的函数可能并不太方便，但在一些简单的情况下，利用函数图像来判断单调性是非常直接和有效的。
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中非常重要的一部分，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
在这篇文档中，我将介绍一些证明函数单调性的方法，希望能够对大家有所帮助。
首先，我们需要了解函数的单调性是指函数在定义域内的任意两个点x1和x2，若满足x1<x2，则有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，那么我们就称这个函数在这个定义域内是单调递增或单调递减的。
证明一个函数的单调性通常有以下几种方法：1. 导数法。
导数法是证明函数单调性最常用的方法之一。
我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在定义域内的导数大于0，那么函数就是单调递增的；如果函数在定义域内的导数小于0，那么函数就是单调递减的。
2. 一阶导数判别法。
一阶导数判别法是通过函数的一阶导数的符号来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的一阶导数，并根据导数的符号来确定函数的单调性。
如果一阶导数大于0，则函数单调递增；如果一阶导数小于0，则函数单调递减。
3. 二阶导数判别法。
二阶导数判别法是通过函数的二阶导数的符号来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的二阶导数，并根据二阶导数的符号来确定函数的单调性。
如果二阶导数大于0，则函数凹性向上，单调递增；如果二阶导数小于0，则函数凹性向下，单调递减。
4. 极值点法。
极值点法是通过函数的极值点来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的极值点，并根据极值点的位置来确定函数的单调性。
如果函数在极值点的左侧是单调递增的，在极值点的右侧是单调递减的；如果函数在极值点的左侧是单调递减的，在极值点的右侧是单调递增的。
以上就是几种常用的证明函数单调性的方法，当然也还有其他一些方法，但这些方法是最基本、最常用的。
希望通过这篇文档的介绍，大家能够更好地理解函数的单调性，并且能够灵活运用这些方法来证明函数的单调性。
函数的单调性是数学分析中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，也为我们解决实际问题提供了重要的理论依据。
函数单调性怎么判断
函数单调性怎么判断
1、导数法
首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。
2、定义法
设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.
3、性质法
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：
⑴f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；
⑵f(x)与c•f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；
⑶当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；
⑷当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；
4、复合函数同增异减法
对于复合函数y＝f[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令t＝g(x)，则三个函数y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。
拓展资料：
1、奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；
2、互为反函数的两个函数有相同的单调性；
3、如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）函数.。
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点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.
2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附近其它各
点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，
3)产生极大值点,极小值点统称为极值点.
4)极大值与极小值统称为极值.
f(b)
注:函数的极大值、极小值未必是
函数的最大值、最小值.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x )的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式组 f ¢(x) > 0得f(x)的单调递增区间;
xÎ D
解不等式组 f ¢(x) < 0 得f(x)的单调递减区间.
xÎ D
注、单调区间不 以“并集”出现。
函数极值的定义——
1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近其它各
y
a
0
b
x
如图为f(x)在闭区间[a,b]上的图象
f(x1)
y f(x3)
f(b)
a
x2
x1
0
f(a) f(a)
f(x2)
y
x1
a
0
x3
f(x2)
x2
f(x1)
x4 bx
f(b)
x3 bx
f(x3)
导数的应用之三、求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
即:极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值
a
b
f(a)
导数的应用二、求函数的极值
1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b 的 左侧附近f’(x)>0，在b 右侧附近f’(x)<0， 那么f(b)是函数f(x)的一个极大值
2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的 左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0， 那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.
x (…,b) b (b, …) x
f ’(x) + 0
-
f ’(x)
f (x)
f(b)
f (x)
(…,a) a (a, …) -0 +
f(a)
注：导数等于零的点不一定是极值点．
例1:求函数y=x3/3-4x+4极值.
练习:1)求函数y=3x-x3极值.
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
f `(x)>0 增函数
f `(x)<0 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
的符号，并根据符号确定极大值与 极小值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
例2:求下列函数极值.
1)y = x 2e-x 2)y = 2x - 2
x2 + 1
作业:P34 5(1) (2)
1.3.3函数的最大（小）值与导数
导数的应用之三、求函数最值.
1)在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
例1、求函数f(x)=x3 /3-4x+4在区间 [0，3] 内的最大值和最小值
练习、求函数f(x)=3x-x3 在区间 [-3，3] 内的最大值和最小值
作业；Ｐ３４ ５（１）（４） ， ６（２）（３）