小学六年级奥数-第二章-循环小数与分数

第二章循环小数与分数
知识要点
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

(1)1
2
＝0.5，
3
25
(＝
2
3
5
)＝0.12，
17
40
(＝
3
17
25
⨯
)＝0.425；
(2)1
3
＝0.3，
5
7
＝0.714285，
13
33
＝0.39；
(3)5
6
(＝
5
23
⨯
)＝0.83，
67
175
(＝
2
67
57
⨯
)＝0.38285714，101
360
(＝
3
101
259
⨯⨯
)＝0.2805。

结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数
与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。

如17
40
，因为40＝23×5，含有3个2，1个5，所以化成
的有限小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，
化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同。

如
67
175
，因为175
＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：
1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

典例巧解
例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
5 324
21
31
250
23
78
100
117
3
850
点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。

解
5
32
能化成五位有限小数；
31
250
能化成三位有限小数；
4
21
，
100
117
能化成纯循环小数；
23
78
能化成
混循环小数，且不循环部分有一位；
3
850
能化成混循环小数，且不循环部分有两位。

例2 将下列纯循环小数化成最简分数。

(1)0.8 (2)0.415
点拨 (1)纯循环小数循环节是1位，可将循环小数乘以10，再减去此循环小数，可化为分数。

(2)纯循环小数的循环节是3位的，可将循环小数乘以1000倍，再减去此循环小数，可化为分数。

解 (1) 0.8×10＝8.8①
0.8＝0.8②
①－②得0.8×(10－1)＝8
0.8×9＝8
0.8＝8 9
(2) 0.415×1000＝415.415①
0.415＝0.415②
①－②得0.415×(1000－1)＝415
0.415＝415 999
说明从以上两个例子可以总结出将纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。

例如：0.5＝5
9
；0.79＝
79
99
；0.144＝
144
999
＝
16
111
…
例3 将下列混循环小数化成最简分数。

(1)0.38(2)0.457
点拨 (1)此题为混循环小数，循环节有1位，小数点后有两位。

将此循环小数乘以100，减去此循环小数乘以10，问题可解。

(2)此题为混循环小数，循环节有2位，小数点后有3位。

将此循环小数乘以1000，减去此循环小数乘以10，问题可解。

解 (1) 0.38×100＝38.8①
0.38×10＝3.8②
①－②得
0.38×(100－10)＝35
0.38＝35
90
＝
7
18
(2) 0.457×1000＝457.57①
0.457×10＝4.57②
①－②得
0.457×(1000－10)＝453
0.457×990＝453
0.457＝453
990
＝
151
330
说明此题可以总结出将混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几个数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环的部分的位数相同。

例如：0.29＝292
90
-
＝
27
90
＝
3
10
；
0.137＝1371
990
-
＝
136
990
＝
68
495
；
0.1745＝174517
9900
-
＝
1728
9900
＝
48
275
···
例4 将算式0.3＋0.6＋0.3×0.6＋0.3÷0.6的计算结果，用循环小数表示出来。

点拨直接用循环小数作四则运算不方便，可将其先转化为分数，然后再化为小数。

解0.3＋0.6＋0.3×0.6＋0.3÷0.6
＝1
3
＋
2
3
＋
1
3
×
2
3
＋
1
3
÷
2
3
＝1＋2
9
＋
1
2
＝1.5＋0.2
＝1.72
例5 1÷7所得的商，小数点后面第100位的数字是几？
点拨先求出1÷7的商，找出商的循环节。

再观察循环节中有几个数位，然后看100中有几个循环节、余几，余几就是循环节的第几个数字。

解1÷7＝0.142857142857…
＝0.142857
循环节有6个数字，100÷6＝16……4。

由于余数是4，可知小数点后面第100位上的数字，居第16个周期后，即第17个周期的第4个数字8。

答：小数点后面第100位上的数是8。

说明在某些数学问题的计算中，经常也会出现周期现象，如果找到了周期，就可以使较难的问题转化为较简单的问题。

例6 循环小数0.142837546与0.3957216在小数点后第多少位时，首次在该位的数字都是6？
点拨由于第一个小数是混循环小数，并且小数的循环节有7位，所以数字6出现的位数被7除余2；而第二个小数也是混循环小数，并且小数的循环节有6位，所以数字6出现的位数被6除余1。

同时被7除余2且被6除余1的数，加上5以后就应该能同时被6和7整除。

问题易解。

解若使循环小数0.142837546与0.3957216都同时出现“6”，则需同时被7除余2且被6除余1，
加上5后能同时被6和7整除，则这样的数最小的一个是：6×7－5＝37
答：在小数点后第37位时，首次在该位的数字都是6。

例7 化简：
1
0.107
1
0.07
1
0.8
9
⨯
+
+。

点拨题目是繁分数化简，可是分子、分母中又有循环小数，可以先将循环小数转化为分数，然后化简。

解
1
0.107
1
0.07
1
0.8
9
⨯
+
+＝
1
0.107
1
0.07
81
99
⨯
+
+
＝
1
0.107
0.071
⨯
+
＝
1
0.107
7
1
90
⨯
+
＝
90
0.107
97
⨯
＝
9790
90097
⨯
＝
1
10
例8 在循环小数0.1234567中，移动表示循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，新
的循环小数是多少？
点拨在0.1234567中，显然后一个小圆点不能动，前一个小圆点的位置应使“5”被包含在循环节中，
用枚举法。

如果前一个小圆点加在“5”的上面，那么一个循环节有3位数，(100－4)÷3＝32，第100位是7。

同理可知，如果前一个小圆点加在“4”、“2”或“1”的上面，那么第100位都不是“5”。

如果前一个小圆点加在“3”的上面，那么一个循环节有5位数，(100－2)÷5＝19……3，第100位正好是5。

解由上面的分析可知正确的答案为0.1234567。

例9 给小数0.7082169453填上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。

已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。

点拨小数点后第100位是5，第101位就是3。

从小数点后第11位到101位的91位是若干个完整的循环节，所以循环节位数应是91的约数，这个约数不应小于2，不大于10。

由91＝7×13，可以推知循环节位数是7。

解由上面的分析可知这个循环小数应是0.7082169453。

例10 纯循环小数0.abc 写成最简分数时，分子与分母之和是58。

请写出这个循环小数。

点拨 0.abc 化为分数时是999
abc ，当化为最简分数时，因为分母大于分子，所以分母大于58÷2＝29，即分母是大于29的两位数。

由999＝3×3×3×37，推知999大于29的两位数约数只有37，所以分母是37，分子是58－37＝21。

解 ∵0.abc ＝999abc ＝33337
abc ⨯⨯⨯ ∴分母是37。

则分子为58－37＝21。

∴ 3137＝21273727⨯⨯＝567999
， 这个循环小数是0.567。

解题技巧
循环小数与分数是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。

在学习这部分内容时，必须要掌握纯循环小数和混循环小数化成分数的方法(如例2、例3)，而且还要特别细心，不要轻视和马虎。

要根据实际情况，采取灵活有效的方法。

竞赛能级训练
A 级
1.(第九届“华罗庚金杯”邀请赛试题)计算
2.004×2.008(结果用最简分数表示)。

2.(明心奥数思维能力竞赛试题)设a ＝0.1999，b ＝0.9199，c ＝0.9919，d ＝0.9991，则a ，b ，c ，d 的平均数是( )。

3.(重庆市思维竞赛试题)0.012345＋0.135768＋0.087563＋0.097627＝( )。

4.(江苏省联赛试题)1除以66的商，从小数点右边开始的第1位到第100位的各个数位上的数字相加的和是( )。

5.将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第100位上的数字。

(1)27 (2)413 (3)1627 (4)2574
6.在下列混合循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能大。

(1)2.718281
(2)0.672726 (3)5.48638638 7.小马虎写了下面一个错误的不等式。

其实不等式是正确的，但是小马虎把四个循环小数中表示循环节的循环点都写丢了，请你帮他补上，使得不等式成立。

0.1998＞0.1998＞0.1998＞0.1998
8.在循环小数0.142857中，最少从小数点右侧的第几位开始到第几位为止的数字和等于447？
B 级
1.纯循环小数0.3A B ＝
□□□□
，这个最简分数是( )。

2.假定n 是一个自然数，d 是1～9中的一个数值，已知296n ＝0.05d ，求n 。

3.循环小数0.2837546与0.97216在小数点后第多少位时，首次在该位的数字都是6？
4.计算下列各题：
(1)
1
0.6
1
0.6
1
0.6
0.6
+
+
+
(2)
1
0.18
1
0.18
0.18
+
+
5.对于每一个三位数，我们定义一个它的“生成数”。

从下面的例子可以看出“生成数”的定义：123的“生成数”是1.23，450的“生成数”是4.50，600的“生成数”是6……，以此类推，那么从100开始到999为止，所有三位数的“生成数”的和是( )。

能力测试
一、选择题(每题4分，共8分)
1. 3.141717…是( )。

A.纯循环小数
B.混循环小数
C.无限小数
D.有限小数
2.最小的合数除最小的质数，商是( )。

A.整数
B.循环小数
C.有限小数
D.无限不循环小数
二、填空题(每题3分，共12分)
1.比较0.6182，0.6182，0.6182，0.6182，0.6182的大小。

2.0.54＋0.36－0.612＝。

3. 如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成( )小数。

4.如果分母中只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成( )小数。

三、解答题(共80分)
1.将下列循环小数化为分数。

(每题3分，共36分)
(1)0.71(2)0.81(3)1.216(4)0.407
(5)4.3861(6)0.86(7)0.51(8)0.409
(9)0.2954(10)0.4189(11)0.7612(12)0.7857142
2.计算下面各题(结果表示为分数和小数两种形式)。

(每题3分，共24分)
(1)0.27＋0.27(2)0.91－0.91
(3)0.297×2.09(4)0.38÷0.518
(5)9.876＋98.76＋987.6(6)2.829－1.292＋0.129
(7)(1.31－0.78)×2.675(8)(1.2169＋0.18)÷2.0981
3.已知1
7
＝0.142857，问：最少从小数点右面第几位开始，到第几位为止的数字之和等于20007(5
分)
4.把整数部分是0、循环节位数是3的纯循环小数化成最简真分数后，分母是一个两位数。

这样的最简真分数有多少个?(5分)
5.某人将2.46乘一个数，误把2.46写成2.46，结果与正确答案相差 2.46。

正确答案应是多少?(5分)
6.循环小数0.28375463与0.4972163在小数点后第多少位时，首次在该位的数字都是3？。