数学建模按揭还款课程设计

数学建模按揭还款
课程设计
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2015-2016第1学期数学建模课程设计
题目：按揭还款
姓名：XX
学号：XXX
班级：XX
时间：2016年1月13日
联系方式：XXX
摘要
随着人们生活水平的不断提高及社会制度的发展,消费观念正在发生深刻的变化。

俗话说：“花明天的钱享今天的福”按揭还款的消费方式正是符合了人们当前的消费需求，于是按揭贷款购买住房、汽车、教育、旅游等大件商品已经被越来越多的百姓接受。

目前按揭还贷有等额本息还贷法和等额本金还贷的还款方式。

允许借贷人与贷款人在双方协商的基础上进行选择，但一笔借款合同只能允许选择一张还款方式，合同签订后，不得更改。

本文根据银行购房贷款和我们的日常常识建立数学模型，推导出月均还贷总额、还款总额和利息负担总和的公式。

并以一笔20万元、10年的房贷为例，利用已求出的公式，计算出10年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表，将等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式做一次比较。

关键字：贷款;等额本息;等额本金;月均还款总额
一．问题重述
银行目前有等额本息还款法和等额本金还款法两种还款方式，李先生准备向银行贷款20万元购房、计划10年还清. 所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。

现在我们需要帮助李先生通过建立数学模型分析一下，就两种还款方式，李先生应选择哪种还款方式比较划算.
• 1. 李先生每月应向银行还款的数目，10年到期后李先生总共要向银行还款的数目。

（贷款10年的年利率为5.94%）
• 2. 假如李先生计划8年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，8年到期后，李先生总共要向银行还款数目。

• 3. 假若李先生每月能够向银行还款1500元，就两种还款方式，李先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。

试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。

需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。

二．模型假设
1．假设在贷款期间银行利率保持不变；
2．假设在贷款期间贷款人有能力偿还每月还贷款；
3．假设在贷款期间贷款人能按时偿还每月贷款额，不会拖欠；
4 . 假设在这段时间内不考虑经济波动情况。

三．问题分析
目前有两种还款方式。

等额本息还款法：每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清，容易作出预算。

还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还，还供款中本金比重增加。

等额本息还款法更适合用于现期收入少，预期收入稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。

而等额本金还款法:每期还给银行相等的本金,但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减。

借款人在开始还贷时,每月负担比等额本息要重。

但随着时间推移,还款负担便会减轻。

所以我们可知等额本金还款法适合目前收入较高的人群。

四．模型建立
问题的参数
问题参数约定如下：
A : 客户向银行贷款的本金
B : 客户平均每期应还的本金
C : 客户应向银行还款的总额
D : 客户的利息负担总和
α: 客户向银行贷款的月利率
β: 客户向银行贷款的年利率
m : 贷款期
n : 客户总的还款期数
根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：
（1） m n 12=
（2） D A C =- （3）
nB A = 模型的建立
1．等额本息还款模型：
（1）贷款期在1年以上：
先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的. 在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.
因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，
即有关系式：αβ12=
设月均还款总额是x （元）
i
a （i=1…n ）是客户在第i 期1号还款前还欠银行的金额 i
b (i=1…n) 是客户在第i 期1 号还钱后欠银行的金额.
根据上面的分析，有
第1期还款前欠银行的金额：)1(1α+=A a
第1期还款后欠银行的金额：x A x a b -+=-=)1(11α
第2期还款前欠银行的金额：)1(12α+=b a
)1()1(2αα+-+=x A 第2期还款后欠银行的金额：x a b -=22
x x A -+-+=)1()1(2αα ……
第i 期还款前欠银行的金额：
)1()1()
1()1( )
1)()1()1(()1(21211αααααααα+--+-+-+=+--+-+=+=-----x x x A x x A b a i i i i i i i
第i 期还款后欠银行的金额： x x x x A x
a b i i i i i -+--+-+-+=-=--)1()1()
1()1( 21αααα
……
第n 期还款前欠银行的金额： )1()1()
1()1( )
1)()1()1()1(()1(213211ααααααααα+--+-+-+=+--+-+-+=+=------x x x A x x x A b a n n n n n n n n
第n 期还款后欠银行的金额： x x x x A x a b n n n n n -+--+-+-+=-=--)1()1()1()1(21αααα
因为第n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：
0=n b ，
即：0)1()1()1(1=-+---+-x x x A n n ααα ＋
0]1)1()1[()1(1=-+---+-ααα n n x A ＋
（2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：A C )1(β+=
而利息负担总和为：A A C D β=-=
2． 等额本金还款模型：
银行除了向客户介绍上面的等额本息还款法外，还介绍另一种还款方法：等额本金还款法（递减法）：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担就会不同. 利息负担应该是随本金逐期递减. 因此，客户每月除付给银行每期应付的本金外，还要付给银行没还的本金的利息.
(1)假设贷款期在1年以上.
等额本金还款法：每期还给银行相等的本金，但客户每月的利息负担不同。

利息负担随本金的偿还逐期递减。

所以客户每期应付金额中包含固定本金和一定利息。

设客户第i 期应付的金额为i x ( i = 1，2 …,n ) (单位：元)
因此，客户第一期应付的金额为 ：α)(1B A B x -+=
第二期应付的金额为 ：α)2(2B A B x -+=
计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期（若年利率不变），应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。

可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。

而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更合适.
……
那么，客户第n 期应付的金额为 ：
α)(nB A B x n -+=
累计应付的还款总额为 ：
n x x x C +++= 21' 2
)2(αα-+=
n A 利息负担总和为 ： A n A A C D --+=-=2
)2(''αα )1(2
1-=n A α
（2）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：
A C )1('β+=
而利息负担总和为：
A A C D β=-=''
五．模型求解
问题参数约定如下：
A : 客户向银行贷款的本金
B : 客户平均每期应还的本金
C : 客户应向银行还款的总额
D : 客户的利息负担总和
α: 客户向银行贷款的月利率
β: 客户向银行贷款的年利率
m : 贷款期
n : 客户总的还款期数
根据我们的日常生活常识，我们可以得到下面的关系：
（1） m n 12=
（2） D A C =- （3）
nB A = 1．等额本息还款模型
（1）贷款期在1年以上：
因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，
即有关系式：αβ12=
设月均还款总额是x （元）
i
a （i=1…n ）是客户在第i 期1号还款前还欠银行的金额 i
b (i=1…n) 是客户在第i 期1 号还钱后欠银行的金额.
根据上面的分析，有
第1期还款前欠银行的金额：)1(1α+=A a
第1期还款后欠银行的金额：x A x a b -+=-=)1(11α 第2期还款前欠银行的金额：)1(12α+=b a
)1()1(2αα+-+=x A 第2期还款后欠银行的金额：x a b -=22
x x A -+-+=)1()1(2αα ……
第i 期还款前欠银行的金额：
)1()1()
1()1( )1)()1()1(()1(21211αααααααα+--+-+-+=+--+-+=+=-----x x x A x x A b a i i i i i i i
第i 期还款后欠银行的金额： x x x x A x
a b i i i i i -+--+-+-+=-=--)1()1()
1()1( 21αααα
……
第n 期还款前欠银行的金额： )1()1()
1()1( )1)()1()1()1(()1(213211ααααααααα+--+-+-+=+--+-+-+=+=------x x x A x x x A b a n n n n n n n n
第n 期还款后欠银行的金额： x x x x A x a b n n n n n -+--+-+-+=-=--)1()1()1()1(21αααα 因为第n 期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：
0=n b ，
即：0)1()1()1(1=-+---+-x x x A n n ααα ＋
0]1)1()1[()1(1=-+---+-ααα n n x A ＋
解方程得：
1
)1()1(-++=
n n
A x ααα 这就是月均还款总额的公式. 因此，客户总的还款总额就等于：
1
)1()1(-++=
=n n
An nx C ααα 利息负担总和等于：
A An A C D n n
--++=-=1
)1()1(ααα
（2） 1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：A C )1(β+= 而利息负担总和为：A A C D β=-=
2 等额本金还款模型的求解
(1)假设贷款期在1年以上. 设客户第i 期应付的金额为
i
x ( i = 1，2 …,n ) (单位：元)
因此，客户第一期应付的金额为 ：α)(1B A B x -+=
第二期应付的金额为 ：α)2(2B A B x -+=
计算一下，如果选择等额本金还款法，那么，在第53期，应该还银行4450.00元，在第53期，应该还银行4433.33元，与等额本息每月4440.82元相当. 而在第120期（若年利率不变），应该还银行3333.33元，即最后一次只还本金。

可以看出，等额本金还款法的还款金额是逐级递减的。

而且对于每月4440元的收入，等额本息还款法还款会更合适.
……
那么，客户第n 期应付的金额为 ：
α
)(nB A B x n -+=
累计应付的还款总额为 ：
n x x x C +++= 21'
2
)
2(αα-+=n A
利息负担总和为 ：
A n A A C D --+=
-=2)
2(''αα
)1(21
-=n A α
（2）1年期的贷款，银行都要求客户实行到期一次还本付息，利随本清. 因此，1年期的还款总额为：
A C )1('β+=
而利息负担总和为：
A A C D β=-=''
六．模型分析与改进
1． 模型分析与检验:
1. 李先生每月应向银行还款的数目，10年到期后 李先生总共要向银行还款的数目。

（贷款10年的年利率为5.94%）
(1)等额本息：
利用上文模型求解得的公式可知 总的还款期数 n=12m=12×10=120 客户向银行贷款的月利率 α=β/12=0.495% 月供金额（月均还款总额）
1
)1()1(-++=n
n
A x ααα （单位：元）
1)495.01()495.01(495.020000012000120
0000-++⨯⨯=
39.2214=
客户总的还款总额就等于：
nx C =
1
)1()1(-++=n
n An ααα 64.265726=
利息负担总和等于：
A An A C D n n
--++=-=1
)1()1(ααα
65726.64=
(2)等额本金：
月供金额（客户第n 期应付的金额）
α)(nB A B x n -+=
客户每期应还的本金
67.1666=÷=n A B 所以月供金额如下：
1x =2648.42
2x =2640.17 3x =2631.92
……
53x =2219.42
54x =2211.17
……
120x =1666.67
累计应付的还款总额为 ：
2
)
2(21'αα-+=
+++=n A x x x C n
2)
495.0120495.02(2000000000-⨯+⨯=
=258905.00
利息负担总和为 ：
)1(2
1
2)2(''-=--+=-=n A A n A A C D ααα
)1120(200000495.021
00-⨯⨯⨯=
=58905.00
计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据对比如下表：
2. 假如李先生计划8年还清贷款，李先生每月应向银行还款数目，8年到期后，李先生总共要向银行还款数目。

(1)等额本息：
利用上文模型求解得的公式可知 总的还款期数 n=12m=12×10=96 客户向银行贷款的月利率 α=β/12=0.495% 月供金额（月均还款总额）
1
)1()1(-++=n
n
A x ααα （单位：元）
1)495.01()495.01(495.0200000960096
0000-++⨯⨯=
45.2622=
客户总的还款总额就等于：
nx C =
1
)1()1(-++=n
n An ααα 91.251754=
利息负担总和等于：
A An A C D n n
--++=-=1
)1()1(ααα
51754.91=
(2)等额本金：
月供金额（客户第n 期应付的金额）
α)(nB A B x n -+=
客户每期应还的本金
33.2083=÷=n A B 所以月供金额如下：
1x =3063.02
2x =3052.71 3x =3042.39
……
48x =2578.33 ……
96x =2083.33
累计应付的还款总额为 ：
2
)
2(21'αα-+=
+++=n A x x x C n
2)
495.0120495.02(2000000000-⨯+⨯=
=247025.00
利息负担总和为 ：
)1(2
1
2)2(''-=--+=-=n A A n A A C D ααα
)1120(200000495.02
100
-⨯⨯⨯=
=47025.00
计算贷款20万的两种还款方式所得各项数据对比如下表：
式，李先生多少年才能还清贷款，总共需要还款的数目。

用逆向思维 等额本息：
等额本息每个月还贷的金额是一定的，李先生每月能够向银行还款1500元也x 就意味着x=1500 可根据
1
)1()1(-++=
n n
A x ααα 逆推出 需偿还的期数n ：
)
1ln(]
)ln([ln αα+--=
A x x n
%)
495.01ln(]
%)495.020********ln(1500[ln +⨯--=
=218 偿还总额C ： C=nx =218⨯1500 =327720.46 等额本金：
在等额本金的还贷法中每月还贷数是依次递减的，而贷款人每月只能还贷1500故贷款人每月最多能还贷1500即第一个月的还款金额为1500.（x1=1500） 同理可由
α)(1B A B x -+=
可由上式推出 需偿还的期数n ：
α
αA x A n --=
1)
1(
%
495.020*********%)
495.01(200000⨯--=
=390
偿还总额C ：
2
)
2(21'αα-+=
+++=n A x x x C n
2
%)
495.0390%495.02(200000-⨯+=
=392094.40
2． 模型评价:
模型的优点：
（1）采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高。

（2）本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，更实用。

（3）本文用数学工具，严密对模型求解，具有科学性。

（4）为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证。

（5）借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行验证。

模型缺点：
（1）模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑。

（2）利率的精确度不同可能造成一定误差
（3）经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来
模型的改进：
（1）考虑通货膨胀等市场经济中的因素
（2）考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响 （3）对利率有更准确的计算方法
（4）考虑不同人群的消费观念和收入水平
七．建模心得
数学建模，对于我们计算机院的学生来说还是比较陌生的，在数学模型之前我们还未曾学习过这门课程，但通过这周的建模使我们知道了什么叫做数学建模。

在学习之中，锻炼了我们的能力，获益非浅。

真正用到了数学的理论知识去解决我们在实际生活上的一些问题。

从最初的“建模”简介，我们了解到数学在实际生活中的应用之广、之深、之切。

小到日常的衣食住行，大到科技进步，人类生存。

庞大的数学知识体系良好地规范我们的生活，与我们每个人都息息相关，并随着科技的进步，数学与我们的关系也越来越密切。

终于明白了，为什么数学是真正的科学工具，是人类发展进步的基础学科，它既能规范现在，又能预测未来。

在这次实践中，我选择的是关于购房按揭还贷，可以说是一个小模型，里面所用到的知识和方法也是比较容易的。

在分配到相应题目之后，我就开始着手行动，经过三天的努力模型基本建成，从最开始的一无所知到最后的完成数学建模报告，这都告诉我只要用心努力去干一件事一定可以成功。

也让我明白在今后的学习生活中，我们应当将理论与实践相结合，努力提高自己的数学专业水平。

参考文献：
[1]龚晓岚哈尔滨工业大学出版社2012年1月1日。

[2]姜启源谢金星叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2011年.
[3]堵秀凤张剑张宏民北京航空航天大学出版社，2011年3月。

[4]姜启源高等教育出版社2003年.
附录：
#include<stdio.h>
void main()
{
int year;
float A,B,T,W,Q,sum=0;
printf("请输入贷款的金额：");
scanf("%f",&A);
printf("请输入年利率：");
scanf("%f",&B);
printf("请输入还款期限：");
scanf("%d",&year);
T=A/(year*12);
printf("等额本金还款法结果如下：");
for(int i=1;i<=year*12;i++)
{
W=(A-T*(i-1))*B/12;
Q=T+W;
printf("第%d个月，还款金额：%f\n",i,Q);
sum=sum+Q;
}
sum=sum-A;
printf("累计利息：%f\n",sum);
}
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int year;
float A,B,T,W,Q;
printf("请输入贷款的金额："); scanf("%f",&A);
printf("请输入年利率："); scanf("%f",&B);
printf("请输入还款期限：");
scanf("%d",&year);
T=A*B/12*pow((1+B/12),year*12)/(pow((1+B/12),year*12)-1); Q=T-A/(year*12);
W=Q*120;
printf("等额本金还款法结果如下：");
printf("每月还款金额：%f\n",T);
printf("每月还的利息：%f\n",Q);
printf("累计总利息：%f\n",W);
}。