瓜豆原理(1)(1)

连接 EF ，以 EF 为边向右侧作等边 EFG ，连接 CG ，则 CG 的最小值为
．
图 2-1
图 2-2
简析 定点 E，主动点 F，从动点 E，G 点可看作由 F 绕定点 E 顺时针旋转 60°所得，故 G 点路径为线段 G1G2 ．
如图 2-2 所示，可证△ABE ≌ △G2G1E，∠ABE＝∠G2G1E＝90°；
DB DB DC ， BDF BDF ， 所 以 BDB 60 ， BDF BDF 30 ， 所 以 BF BDtan 30 3 ， 2
AF BF 3 ，因为 BFD AEF ，所以 B FAE 90 ，因此 BFD AFE ， AE BD 3 ，
2
2
点 E 的坐标 (9 ， 0) ； 2
若是没有第（1）问的铺垫，点 P 的轨迹该如何确定？ 应用瓜豆原理，A 为定点，C 为主动点，P 为从动点点 P 可看作 由点 C 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°所得，因而 P 的轨迹由点 C 点轨迹绕点 A 按逆时针方向旋转 60°而得，故为射线．
图 1-1
图 1-2
图 1-3
例 2．（2019•宿迁）如图 2-1，正方形 ABCD 的边长为 4， E 为 BC 上一点，且 BE 1， F 为 AB 边上的一个动点，
简析
（1）由 OA 3 ， tan OAC OC OA
CD 1 BC 3 ，求得 D( 3 ， 3) ；
2
2
2
3 ，得 OC 3
3 ，由四边形 OABC 是矩形，得 BC OA 3 ，所以
（2）①由易知得翻折后，点 B 恰好落在 AC 上的 B 处，则
瓜豆原理
初中常见的动点路径有两种情况，点动成线、点动成圆。找出起点、中间点、终点三个点来确定路径、或者也掌握 隐圆的基本模型后，在解题过程中也确实能够做对平时常见的多数路径与最值问题，但画图分析找点、求路径长时 难免会遇到一些困难。为准确确定路径，我们还需要进一步学习——瓜豆原理．
一、旋转变换
情景 1
当且仅当 CG⊥G2G1 时，CG 取到最小值，易得 CG∥G1E，∠GCE＝∠G1EB＝60°，
过点 E 作 EH⊥CG 于点 H，则四边形 EHGG1 是矩形，GH＝G1E=1，
CH EC cos 60 3 ，故 GH 的最小值为 5 ．
2
2
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Yy
例 3．（2019•成都）如图 3-1，抛物线 y ax2 bx c 经过点 A(2,5) ，与 x 轴相交于 B(1, 0) ， C(3, 0) 两点．
在△APQ 中，固定点 A，点 P 在定直线 l 上运动，试确定运动过程中点 Q 的路径为何？
三角形△APQ
图示
点 Q 路径
等边三角形
点 Q 可看作由点 P 绕定点 A 按逆时
针旋转 60°所得
等腰直角三角形
点 Q 可看作由点 P 绕定点 A 按逆时
针旋转 90°所得
任意等腰三角形
点 Q 可看作由点 P 绕定点 A 按逆时 针旋转角 所得
小结：点 A 为定点（瓜蒂），点 P 为主动点，点 Q 为从动点，“线生线” 从旋转的角度来看，点动成线，从动点 Q 的路径实为主动点 P 的路径绕定点 A 旋转所得
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Yy
例 1．（2014•淄博）如图 1-1，在直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0,3) ，点 C 是 x 轴上的一个动点，点 C 在 x 轴上移 动时，始终保持 ACP 是等边三角形．当点 C 移动到点 O 时，得到等边三角形 AOB （此时点 P 与点 B 重合）．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将 BCD 沿直线 BD 翻折得到△ BCD ，若点 C 恰好落在抛物 线的对称轴上，求点 C 和点 D 的坐标； （3）设 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q 在抛物线的对称轴上，当 CPQ 为等边三角形时，求直线 BP 的
（1）点 C 在移动的过程中，当等边三角形 ACP 的顶点 P 在第三象限时（如图），求证： AOC ABP ；由此你 发现什么结论？
（2）求点 C 在 x 轴负半轴上移动时，点 P 所在函数图象的解析式．
简析 （1）SAS； （2）由（1）可确定 PB⊥AB，故 P 点路径可以确定必 在过点 B 且与 AB 垂直的直线上，再找一个特殊 位置，如图 1-3，P（0，－3），从而 BP 解析式 y 3x 3 即为所求．
3 交 x 轴的正半轴于点 E ，连结 DE 交 AB 于点 F ． ①将 DBF 沿 DE 所在的直线翻折，若点 B 恰好落在 AC 上，求此时 BF 的长和点 E 的坐标； ②以线段 DF 为边，在 DF 所在直线的右上方作等边 DFG ，当动点 P 从点 O 运动到点 M 时，点 G 也随之运动，请 直接写出点 G 运动路径的长．
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Yy
例 4．（2019•湖州）如图 1，已知在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是矩形，点 A ， C 分别在 x 轴和 y 轴的
正半轴上，连结 AC ， OA 3 ， tan OAC 3 ， D 是 BC 的中点． 3
（1）求 OC 的长和点 D 的坐标； （2）如图 2， M 是线段 OC 上的点， OM 2 OC ，点 P 是线段 OM 上的一个动点，经过 P ， D ， B 三点的抛物线
图 4-1
②如图 4-1，动点 P 在点 O 时，求得此时抛物线解析式为 y 2 x2 3x ，因此 E(9 ，0) ，直线 DE : y 3 x 3 3 ，
函数表达式．
图 3-1
图 3-2
简析
图 3-3 （1） y x2 2x 3；
图 3-4
（2） C (1 ， 2 3) ， D (1 ，2 3 ) ． 3
（3）法一：如图 3-2、3-3，利用隐圆，∠PBC＝30°，则 BP 解析式： y 3 (x 1) ． 3
法二：结合第（2）问以及瓜豆原理，C 为定点，Q 为主动点，P 为从动点，P 点可由点 Q 绕点 C 旋转 60°得到，从而点 P 的路径是经过点 B 的直线，再去寻求一个好求的 P 点位置（如图 3-4），即可 求出 BP 解析式．