九年级数学下册 第26章 二次函数 26.3 实践与探索 26.3.2 二次函数实物或几何模型同步练
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26.3 实践与探索
第2课时二次函数实物或几何模型
知|识|目|标
1.通过模拟、问题变式等,能把实物中的距离、高度、长度等问题转化为二次函数的问题,并加以解决.
2.通过销售问题中的成本价、销售价、利润等关系,建立二次函数模型,借助二次函数的性质探究出最佳方案.
目标一能解决抛物线形实物模型问题
例1 教材问题2针对训练如图26-3-4①所示是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度为10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②).
(1)求抛物线所对应的函数关系式;
(2)求两盏景观灯之间的水平距离.
图26-3-4
【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的步骤:
(1)恰当地建立平面直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求函数的关系式;
(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式;
(5)利用关系式求解问题.
目标二能用二次函数探究销售中的最佳方案
例2 高频考题超市的售货员小王对该超市苹果的销售情况进行了统计,每千克进价为2元的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y=-20x+200(3≤x≤5),若要使销售该种苹果当天的利润达到最高,则其售价应为( )
A.5元/千克 B.4元/千克
C.3.5元/千克 D.3元/千克
例3 高频考题为满足市场需求,某超市在端午节来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现:当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围);
(2)当每盒售价定为多少元时,每天的销售利润P(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门规定:这种粽子每盒的售价不得高于58元.如果超市想要每天销售粽子获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少需要销售粽子多少盒?
【归纳总结】用二次函数探究销售中的最佳方案:
此类问题一般是先利用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=每件商品的利润×销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数),求出这个函数图象的顶点坐标,从而可得最大利润.同时还要注意实际问题中自变量的取值范围.
知识点二次函数在实际问题中的应用(2)
1.抛物线形的实物在生活中也相当常见,如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等.解决问题的关键是根据实际情况建立平面直角坐标系,并把实物的尺寸转化成点的坐标,再根据具体情况应用二次函数的基本知识解决相关问题.
2.根据实际生活中的问题列出二次函数关系式,如商品利润问题,应用二次函数的知识进行最优化决策.
[点拨]注意:用二次函数探究销售中的最佳方案时,一定要考虑获取最佳方案时,自变量的
取值是否在自变量的取值范围内.
某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克,价格为每千克30元.物价部门规定其销售价每千克不得高于60元,不得低于30元.当销售单价为x元/千克时,日销售量为(-2x+200)千克.在销售过程中,每天还要支付其他费用450元,则当销售单价为多少时,该公司日获利W(元)最大?最大获利是多少元?
解:W=(x-30)(-2x+200)-450=-2x2+260x-6450=-2(x-65)2+2000.
∴当x=65时,W最大,W最大值=2000,
即当销售单价为65元/千克时,该公司日获利最大,最大获利是2000元.
找出以上解答过程中的错误,并进行改正.
教师详解详析
【目标突破】
例1 [解析] 本题已经建立了平面直角坐标系,于是:(1)依题意可以求得抛物线的顶点坐标,这样可以用顶点式设出抛物线所对应的函数关系式;(2)由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m 的景观灯,也就是说两盏景观灯的纵坐标都是4,这样利用(1)中求得的抛物线所对应的函数关系式得到一个一元二次方程,求解即可.
解:(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(5,5),与y 轴的交点坐标是(0,1).
设抛物线所对应的函数关系式是y =a(x -5)2+5.
把(0,1)代入y =a(x -5)2+5,得a =-425
. 所以所求抛物线对应的函数关系式为y =-425
(x -5)2+5(0≤x ≤10). (2)由已知条件得两盏景观灯的纵坐标都是4,
所以4=-425
(x -5)2+5, 即(x -5)2=254,解得x 1=152,x 2=52
. 因为152-52
=5(m ), 所以两盏景观灯之间的水平距离为5 m .
例2 [解析] A 设销售这种苹果所获得的利润为w 元,
则w =(x -2)(-20x +200)
=-20x 2+240x -400
=-20(x -6)2+320,
∴当x <6时,w 随x 的增大而增大.
∵3≤x ≤5,
∴当x =5时,w 取得最大值,即当售价为5元/千克时,销售该种苹果当天的利润达到最高. 例3 解:(1)由题意,得y =700-20(x -45)=-20x +1600.
(2)P =(x -40)(-20x +1600)=-20x 2+2400x -64000=-20(x -60)2+8000.
∵x ≥45,a =-20<0,
∴当x =60时,P 最大值=8000,
即当每盒售价定为60元时,每天的销售利润P(元)最大,最大利润是8000元.
(3)由-20(x -60)2+8000=6000,
解得x 1=50,x 2=70.
∵抛物线P =-20(x -60)2+8000的开口向下,
∴当50≤x ≤70时,该超市每天销售粽子的利润不低于6000元.
又∵x ≤58,
∴50≤x ≤58.
∵在y =-20x +1600中,k =-20<0,
∴y 随x 的增大而减小,
∴当x =58时,y 最小值=-20×58+1600=440,
即超市每天至少需要销售粽子440盒.
【总结反思】
[反思] ∵30≤x≤60,
∴抛物线顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内,
∴W的最大值不是顶点的纵坐标.
改正如下:由函数的增减性可知,当x=60时,W有最大值,
W最大值=-2×(60-65)2+2000=1950,
即当销售单价为60元/千克时,该公司日获利最大,最大获利是1950元.。