2019-2020学年河南省洛阳市偃师实验高级中学高三数学文月考试卷含解析

2019-2020学年河南省洛阳市偃师实验高级中学高三数
学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有是一个符合题目要求的
1. ,，若，，则的最大值为( ) A．1 B．2 C．3
D．4
参考答案：
B
略
2. 设集合，，则
（）
A． B． C． D．
参考答案：
，，，故选C.
考点：集合的运算
3. 已知，则f(3)为( )
A
4 B. 3 C 2
D.5
参考答案：
C
略
4. 已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点
为B，若，则|AB|=（）
A．B．35 C．28 D．40
参考答案：
C
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由，确定A，B的坐标，即可求得|AB|．
【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），
设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，
∵，
∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，
∴n=±4，
∵a=5n，∴a=±20，
∴|AB|==28．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
5. 已知，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．
参考答案：
A
6. 已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．
【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，
即准线方程为：x=﹣2，
∴p＞0， =﹣2即p=4，
∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2，
设切点B（m，n），则n=2，
又导数y′=2，则在切点处的斜率为，
∴即m=2m，
解得=2（舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为，
故选D．
7. 已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是()
A.平面必平行于
B.平面必与相交
C.平面必不垂直于
D.存在△的一条中位线平行于或在内
参考答案：
D
8. 函数的部分图像可能是
A．B．C ．D．
参考答案：
A
略
9. 已知双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C1的一条渐近线上，且OM⊥MF2，若△OMF2的面积为16，且双曲线C1与双曲线C2：﹣
=1的离心率相同，则双曲线C1的实轴长为（）
A．32 B．16 C．8 D．4
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线C1的一条渐近线为y=x，利用点到直线的距离公式可知：丨F2M丨
==b，丨OM丨==a，△OMF2的面积S=丨F2M丨?丨OM丨=16，则
ab=32，双曲线C2的离心率e=，即可求得a和b的值，双曲线C1的实轴长2a=16．
【解答】解：由双曲线C1：﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线为y=x，
∵OM⊥MF2，F2（c，0），
∴丨F2M丨==b，
∵丨OF2丨=c，丨OM丨==a△OMF2的面积S=丨F2M丨?丨OM丨=ab=16，则
ab=32，
双曲线C2：﹣=1的离心率e===，
∴e===，解得：a=8，b=4，
双曲线C1的实轴长2a=16，
故选B．
10. 已知等差数列的前n项和为S n，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（）
A．80 B．20 C．180 D．166
参考答案：
C．
设等差数列的公差为d，因为，所以，两式相减
为常数，所以数列也为等差数列．因为为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以，，所以等差数列的公差，所以前n项和公式为
，所以．故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积
是▲．
参考答案：
略
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
参考答案：
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，直观图是两个三棱柱的组合体，底面分别是边长为2，1的等边三角形，高分别为2，1，利用棱柱的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可知，直观图是两个三棱柱的组合体，底面分别是边长为2，1的等边三角形，高分别为2，1，
∴几何体的体积为=，
故答案为．
13. 设复数z1=2+ai，z2=2﹣i（其中a＞0，i为虚数单位），若|z1|=|z2|，则a的值为．参考答案：
1
【考点】复数求模．
【分析】根据复数的模长公式进行求解即可．
【解答】解：∵z1=2+ai，z2=2﹣i，|z1|=|z2|，
∴，
即a2+4=5，
则a2=1，解得a=1或a=﹣1（舍），
故答案为：1
14. 阅读程序框图，如果输出的函数值在区间[]内，则输入的实数x的取值范围是．
参考答案：
[﹣2，﹣1]
【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围．
【解答】解：由程序框图可得分段函数：
∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；
故答案为：[﹣2，﹣1]
15. 已知任意两个非零向量m、n,向量=m+n ,= m+2n,=m+3n,则A、
B、C三点构成三角形（填“能”或“不能”）
参考答案：
不能
16. (几何证明选做题)如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知
，，圆心到的距离为，则点与圆上的点的最短距离为 .
参考答案：
.
试题分析：设，则，由切割线定理得，得，得，因此，
由于到的距离为，因此半径，因此，因此点到圆的最短距离半径.
考点：切割线定理的应用.
17. 设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=．参考答案：
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．
解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，
由，解得，即A（，）．
将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，
故答案为：．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x3﹣x+2．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函数y=g（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：
．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出切点坐标，求出导数，得到切线的斜率，然后求解函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）化简g（x）的表达式，求出定义域，求出导函数，构造函数h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，转化为 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，利用判别式推出a的范围，判断两个根的范围，然后求解a 的范围．（Ⅲ）转化已知条件为?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2），通过函数的单调性以及最值，推出
=，
构造函数，利用导数以及单调性求解即可．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（1）=13﹣1+2×1=2．…（1分）
…（2分）
∴函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0．…（3分）
（Ⅱ）解：
定义域为（0，1）∪（1，+∞）∴…（4分）
设h（x）=x2﹣（a+2）x+1，要使y=g（x）在（e，+∞）上有极值，
则 h（x）=x2﹣（a+2）x+1=0有两个不同的实根x1，x2，
∴△=（a+2）2﹣4＞0∴a＞0或a＜﹣4①…
而且一根在区间（e，+∞）上，不妨设x2＞e，又因为x1?x2=1，∴，又h（0）=1，
∴
联立①②可得：…（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x∈（1，x2），g'（x）＜0，∴g（x）单调递减，
x∈（x2+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
∴g（x）在（1，+∞）上有最小值g（x2）即?t∈（1，+∞），都有g（t）≥g（x2）…（7分）
又当x∈（0，x1），g'（x）＞0∴g（x）单调递增，当x∈（x1，1），g'（x）＜0，∴g （x）单调递减，
∴g（x）在（0，1）上有最大值g（x1）即对?s∈（0，1），都有g（s）≤g（x1）…（8
分）
又∵x1+x2=2+a，x1x2=1，x1∈（0，），x2∈（e，+∞），
∴=
=…（10分）
，
∴，
∴k（x）在（e，+∞）上单调递增，∴…（11分）
∴…（12分）
【点评】本题考查函数的导数，函数的单调性以及函数的最值，构造法的应用，考查函数的最值以及单调性的关系，考查转化思想以及计算能力．
19. （本题满分12分）已知数列满足，且
（Ⅰ）用数学归纳法证明：
（Ⅱ）设，求数列的通项公式.
参考答案：
（Ⅰ）证明：①当时，，
② 假设当时，结论成立，即，
则当时，
又
综上①②可知………………………………………………6分（Ⅱ）由可得：
即……………………8分
令，则又
∴是以1为首项，以2为公比的等比数列，，
即………………………………………………………12分
20. （本小题共14分）
如图，在直四棱柱中，，，点是棱上一点．（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）试确定点的位置，使得
平面⊥平面．
参考答案：
【知识点】立体几何综合
【试题解析】解:（Ⅰ）证明：由直四棱柱，
得∥，，
∴是平行四边形，∴∥
∵平面，平面，
∴∥平面
（Ⅱ）证明：∵平面，平面，∴.
又∵，且，
∴平面.
∵平面，∴.
（Ⅲ）当点为棱的中点时，平面平面.
证明如下：
取的中点，的中点，连接交于，连接，如图所示．∵是的中点，，
∴.
又∵是平面与平面的交线，
平面⊥平面，
∴平面
由题意可得是的中点，
∴∥且，
即四边形是平行四边形．
∴∥.
∴平面.
∵平面，∴平面⊥平面
21. (本小题满分14分)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
参考答案：
[解]设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab＝800.
蔬菜的种植面积S＝(a－4)(b－2)＝ab－4b－2a＋8＝808－2(a＋2b)．
所以S≤808－4＝648(m2)
当且仅当a＝2b，即a＝40(m)，b＝20(m)时，
S最大值＝648(m2)．
答：当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m2.
略
22. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．
（Ⅰ）求分数在的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率．
参考答案：
解：（Ⅰ）分数在的频率为，………………2分
由茎叶图知：分数在之间的频数为，所以全班人数为
.………………4分
（Ⅱ）分数在之间的频数为；
频率分布直方图中间的矩形的高为.……………7分（Ⅲ）将之间的个分数编号为, 之间的个分数编号为，
………………8分
在之间的试卷中任取两份的基本事件为：
共个，………………10分其中，至少有一个在之间的基本事件有个，
故至少有一份分数在之间的概率是. ……………13分略。