广东省广州第86中学2010-2011学年高二数学上学期阶段性综合检测三(理)新人教A版

广州第86中学2010-2011学年高二上学期数学
（理）阶段性综合检测三
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

每小题所给的四个选项中只有一个符合题意。

） 1．函数
)23lg()(2x x x f -+=的定义域是( )
A. ),3()1,(+∞⋃--∞
B. )3,1(-
C. )1,3(-
D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2. 命题“对任意的01,23
≤+-∈x x R x ”的否定是（ ）
A.不存在01,23
≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R x
C.存在01,23>+-∈x x
R x D. 对任意的01,23>+-∈x x R x
3. 如果10a b -<<<，则有( )
（A ）2211b a b a <<< （B ）2211a b b a <<< （C ）2211b a a b <<< （D ）2211
a b a b <<<
4. 数列
{}n a 满足：1112,1n
n n
a a a a ++==
-，则2008a 的值为（ ）
.2A .3B -1.2C -
1.3
D 5. 在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若︒=60A ，b 、c 分别是方程
01172=+-x x 的两个根，则a 等于( )A ．16 B ．8 C ．4 D ．2
6. 已知椭圆22221((0,)x y a b a b +=∈+∞、 的面积公式是S ab π=，则以双曲线
22
1916
y x -=的焦点为焦点且过点（3,0）的椭圆面积是（ ）A ．12π B ．15πC
． D
．
7. 已知由正数组成的等比数列｛a n ｝中,公比q=2, a 1·a 2·a 3·…·a 30=245
, 则a 1·a 4·a 7·…·a 28=( ) A ．25
B ．210
C ． 215
D ．220
8. 双曲线
224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是
（
）Ａ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≥≤≤Ｂ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≥≤≤≤Ｃ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，，≤≤≤≤ Ｄ．0003x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩
，
，≤≥≤≤
9.有下列四个命题：其中真命题个数为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
①“若0x y +
= , 则,x y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题.
10. 2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ） A ．－
2
1
＜x ＜3 B ．－1＜x ＜6 C ．－3＜x ＜
21 D ．－2
1＜x ＜0
11. 若a ，b>0，1a b +=，
14
a b
+的最小值为（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．9 12. 如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形 D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上.） 13．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

14．在ABC ∆中，2,2,,4
a
b A ABC π
==∠=
∆则的面积ABC S ∆=
15．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110
<<+且是其前n 项和，则使n S 取
最小值的n 是 。

16．过抛物线2
2(0)x
py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在
y 轴左侧）
，则AF
FB
= ． 一、选择题：（每小题5分共计60分）班级：_______姓名：___________考号：_______ 二、填空题：（每小题４分，共计16分）
13、 14、___________15、_________ 16、__________
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的周长为
21+，且sin sin 2sin A B C +=
（1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数
18．（本小题满分12分）数列{}n a 前n 项和记为,n
S 11,a =121,(1)n n a S n +=+≥，
(Ⅰ)求
{}n a 的的通项公式；(Ⅱ) 等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为,n
T 且3
15,T
=又
11,a b +2233,a b a b ++成等比数列，求.n T
19．（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线
航行，当甲船位于
1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距
20海里.当甲船航行
20分钟到达
2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小
时航行多少海里？20．（本小题满分12分）动直线y =a ，与抛物线
x y 2
1
2=
相交于A 点，动 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
点B 的坐标是)3,0(a 。

（1）求线段AB 中点M 的轨迹C ．（2）直线l 过C 的焦点F,且交C 于 不同的两点M 、N ，求线段M N 的最小值。

21．（本小题满分12分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益
为21万元。

该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。

（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
22．（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O ，它的长半轴长为a,它的短轴长为22
，一
个焦点为)0(),0,(>c c F ，直线l ：2
a x c
=
与x 轴相交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭
圆相交于Q P ,两点.求椭圆的标准方程；（2） 若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程.
高二上学期数学（理）阶段性综合检测三参考答案
一、选择题： 二、填空题： 13．若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零 14．
213+ 15．10 16．1
3
三、解答题：17．解：（1）
由题意及正弦定理得：1AB BC AC ++=
，BC AC +=两
式相减得
1AB =（2）由ABC ∆的面积11sin sin 26BC AC C C ⋅⋅=得1
3
BC AC ⋅=由余弦定理得
22222()21
cos 222
AC BC AB AC BC AB C AC BC AC BC +-+-===
⋅⋅所以60C
=︒
18.解：（Ⅰ）由1
21n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得12,n n n a a a +-=得
()132n n a a n +=≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴
13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，12315b b b ++=，得25
b =，
135,5b d b d =-=+ 又1
231,3,9a a a ===由题意()()()
2
515953d d -+++=+得
122,10d d ==-∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴
()
213222n n n T n n n -=+
⨯=+
19．解：连结
12A B
，22A B =
，1220
60
A A =
⨯=，122A A B ∆是等边三角形，
1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，22212
111211122cos 45B B A B A B A B A B =+-⋅︒
22
20220200
=+-⨯⨯=
，
12
B B=因此乙船的速度的大小
为
60
20
⨯=
答：乙船每小时航行海里
20．解：（1）设M的坐标为（x，y），A（2
2a，a），又B)
3,0(a得
⎩
⎨
⎧
=
=
a
y
a
x
2
2
消去a，得轨迹方程为
4
2
y
x=，即x
y4
2=，M的轨迹C为顶点在原点，开口向右的抛物线。

（2）略。

讨论斜率，利用弦长公式求得线段M N的最小值为4.
21．解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
1
2(1)2
n
a a n n
=+-=（2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则：2
(1)
()21[22]252025
2
n n
f n n n n n
-
=-+⋅-=--
由f(n)>0得n2-20n+25<0
解得10n10
-<<+n N
∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2
年该公司开始获利。

（3）年平均收入为
n
)n(f
=20-
25
(n)202510
n
+≤-⨯=当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。

22. 解：（1）由题意可设椭圆的方程为：(
)2
1
2
2
2
2
>
=
+a
y
a
x
.由已
知22
2
2
,2
2
a c
a c
a
c c
c
⎧-=
⎪
==
⎛⎫
⎨
=-
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
得椭圆的方程1
2
6
2
2
=
+
y
x
(4分)（2）由（1）可得()1,3
A,设直线PQ的方程为)3
(-
=x
k
y，
()
22
1
,
62
3
x y
y k x
+=
=-
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
由得().0
6
27
18
1
32
2
2
2=
-
+
-
+k
x
k
x
k (6分) 依题意().,0
3
2
122得
>
-
=
∆k
3
6
3
6
<
<
-k设()()则.
,
,
2
,2
1
1
y
x
Q
y
x
P
1
3
18
2
2
2
1+
=
+
k
k
x
x
1
3
6
27
2
2
2
1+
-
=
⋅
k
k
x
x(9分)由直线PQ的方程,得()().3
,3
2
2
1
1
-
=
-
=x
k
y
x
k
y于是()()()
[]9
3
3
3
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
+
+
-
=
-
-
=x
x
x
x
k
x
x
k
y
yΘ,0
=
⋅
.0
2
2
2
1
=
+
∴y
y
x
x由上可得,1
52=
k∴.
3
6
,
3
6
5
5
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
∈
±
=
k (12分)∴直线PQ的方程
为:.035035=-+=--y x y x 或 (14分 )。