最新-2021学年高中数学必修5课件：第一章 解三角形 1.2.2 精品
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由余弦定理，得 BC2＝202＋122－2×20×12·cos 120°＝784，∴BC＝28(n mile)． 即一小时后，两船相距 28 n mile.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sin C， 试确定△ABC 的形状.
(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍．
(1)求ssiinn CB； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长． 【精彩点拨】 (1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可．(2)利用余弦 定理和(1)中得到的结论求解．
故 ABcos B＋ACcos C＝BC.
探究 2 在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的平分线，则 BD 与 DC 有什么关系？ 【提示】 BD∶DC＝AB∶AC. 探究 3 在△ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 与 AB，AC，BC 间存 在怎样的等量关系？ 【提示】 4AD2＝2(AB2＋AC2)－BC2.
准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解 的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知 识，建立数学模型，然后正确求解．
[再练一题] 1．两船同时从 A 港出发，甲船以 20 n mile/h 的速度向北偏东 80°的方向航行， 乙船以 12 n mile/h 的速度向北偏西 40°方向航行，求一小时后，两船相距多少 n mile. 【解】 一小时后甲船到 B 处，乙船到 C 处，如图，△ABC 中，AB＝20，AC ＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，
【解析】 两条对角线的长分别为 32＋ 62－2× 3× 6×cos 45°＝ 3和 32＋ 62－2× 3× 6×cos 135°＝ 15.
【答案】 3 15
3．已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，经测量，∠ ABC＝120°，则 A，C 两地的距离为________ km.
利用正、余弦定理判定三角形形状的策略
[再练一题] 2．在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状． 【解】 法一 根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， ∴a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即 b＝a. ∴△ABC 是正三角形．
在△ABD 中，sin∠ABADB＝sBinDA，
所以 AB＝BDssinin∠AADB＝20 s3insi4n51°20°＝30 2.
(2)因为 sin 15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，
所以四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD＝S△DBC＋S△DBA＝12×20×20 3＋12×20 3
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【导学号：91730012】 【精彩点拨】 (a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab――余―弦―定―理―→求 C； 2cos Asin B＝sin C法―法二―一：――：正―恒、―等余―变弦―换定→理求 A 与 B 的关系．
【自主解答】 ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab， ∴2abcos C＝ab， ∴cos C＝12， ∴C＝π3.
cos B＝________.
【解析】 ∵a＝4bsin A，由正弦定理知 sin A＝4sin Bsin A，∴sin B＝14，cos B
＝ 1－sin2B＝
1－142＝
15 4.
【答案】
15 4
2．若平行四边形两邻边的长分别是 3和 6，它们的夹角是 45°，则这个平行 四边形的两条对角线的长分别是________．
在△ABC 中，由正弦定理，得 sin∠BAC＝BCsiAnB120°＝1251× 23＝5143. ∴∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′. 答：巡逻艇应该沿北偏东 83°13′方向去追，经过 1.5 h 才追赶上该走私船．
[小组合作型] 利用正、余弦定理解决实际问题
某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45°相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正 沿南偏东 75°的方向以 10 n mile/h 的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶 上该走私船？已知sin 38°13′＝5143
【精彩点拨】 先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．
【自主解答】 如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x h 后在 B 处追上走私船， 则 CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2 ＝92＋(10x)2－2×9×10xcos 120°，
化简得 32x2－30x－27＝0， 即 x＝32或 x＝－196(舍去)， ∴巡逻艇需要 1.5 h 才追赶上该走私船． ∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.
1．平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条 件是求解此类问题的关键．
2．求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定 理；(2)中隐含着∠ADB＋∠ADC＝180°.
[再练一题] 3.如图 1-2-1，△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2 3，点 D 在 BC 边上，∠ADC ＝45°，求 AD 的长度．
×30
2×
6－ 4
2＝50(9＋
3)．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【导学号：91730013】 【解析】 AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC＝10 7.
【答案】 10 7
4．在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC 的形状为________． 【解析】 ∵b2＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac， ∴a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c. 又∵B＝60°，∴△ABC 为正三角形． 【答案】 正三角形
法一：又 2cos Asin B＝sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0， ∴A＝B， ∴A＝B＝C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
法二：由 2cos Asin B＝sin C 可知 2b×b2＋2cb2c－a2＝c， 即 b2＝a2，∴a＝b， ∴A＝B＝C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
5．如图 1-2-2 所示，在四边形 ABCD 中，BC＝20，DC＝40， B＝105°，C＝60°，D＝150°，求：
(1)AB 的长； (2)四边形 ABCD 的面积．
图 1-2-2
【解】 (1)连结 BD， 因为∠ABC＝105°，C＝60°， ∠ADC＝150°， 所以 A＝360°－105°－60°－150°＝45°. 在△BCD 中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C ＝202＋402－2×20×40×12＝1 200， 于是 BD＝20 3. 因为 BD2＋BC2＝CD2，所以∠CBD＝90°. 所以∠ABD＝105°－90°＝15°，∠ADB＝180°－45°－15°＝120°.
2．若△ABC 中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，则 BC 边上的中线 AD＝________.
【解析】 在△ABC 中，由余弦定理可知 BC＝ 7.
∴AD＝12 2AB2＋AC2－BC2
＝12 21＋9－7
＝ 213.
【答案】
13 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
法二 根据正弦定理， 2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得 sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°， C＝60°，∴△ABC 是正三角形．
[探究共研型] 利用正、余弦定理度量平面图形 探究 1 在△ABC 中，若 AD⊥BC，则 ABcos B＋ACcos C 的值为多少？ 【提示】 如图，易知 ABcos B＝BD，ACcos C＝CD，又 BD＋CD＝BC，
2．平行四边形性质定理
平行四边形两条对角线平方的和等于 四边平方的和 ．
1 特别地，若 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线，则 AM＝ 2
2AB2＋AC2－BC2 .
1．在△ABC 中，若 BC＝3，则 ccos B＋bcos C＝________. 【解析】 ccos B＋bcos C＝BC＝3. 【答案】 3
图 1-2-1
【解】 在△ABC 中，∵AB＝AC＝2，BC＝2 3， 由余弦定理，得 cos C＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝ 23， ∴sin C＝12. 在△ADC 中，由正弦定理得， sAinDC＝sin∠ACADC， ∴AD＝ 22×12＝ 2.
2
[构建·体系]
1．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝4bsin A，则
阶
段
阶一段ຫໍສະໝຸດ 三第 2 课时 余弦定理(2)
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状． 2．熟练边角互化．(重点)
[基础·初探] 教材整理 射影定理和平行四边形的性质定理 阅读教材 P16～P17，完成下列问题． 1．射影定理 在△ABC 中， (1)bcos C＋ccos B＝ a ； (2)ccos A＋acos C＝ b ； (3)acos B＋bcos A＝ c .
【自主解答】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以 AB＝2AC. 由正弦定理，得ssiinn CB＝AACB＝12. (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)，知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
利用正、余弦定理判断三角形的形状
在△ABC 中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 2cos Asin B＝sin C， 试确定△ABC 的形状.
(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍．
(1)求ssiinn CB； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长． 【精彩点拨】 (1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可．(2)利用余弦 定理和(1)中得到的结论求解．
故 ABcos B＋ACcos C＝BC.
探究 2 在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的平分线，则 BD 与 DC 有什么关系？ 【提示】 BD∶DC＝AB∶AC. 探究 3 在△ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 与 AB，AC，BC 间存 在怎样的等量关系？ 【提示】 4AD2＝2(AB2＋AC2)－BC2.
准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解 的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知 识，建立数学模型，然后正确求解．
[再练一题] 1．两船同时从 A 港出发，甲船以 20 n mile/h 的速度向北偏东 80°的方向航行， 乙船以 12 n mile/h 的速度向北偏西 40°方向航行，求一小时后，两船相距多少 n mile. 【解】 一小时后甲船到 B 处，乙船到 C 处，如图，△ABC 中，AB＝20，AC ＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，
【解析】 两条对角线的长分别为 32＋ 62－2× 3× 6×cos 45°＝ 3和 32＋ 62－2× 3× 6×cos 135°＝ 15.
【答案】 3 15
3．已知 A，B 两地的距离为 10 km，B，C 两地的距离为 20 km，经测量，∠ ABC＝120°，则 A，C 两地的距离为________ km.
利用正、余弦定理判定三角形形状的策略
[再练一题] 2．在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状． 【解】 法一 根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， ∴a＋2 c2＝a2＋c2－2accos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即 b＝a. ∴△ABC 是正三角形．
在△ABD 中，sin∠ABADB＝sBinDA，
所以 AB＝BDssinin∠AADB＝20 s3insi4n51°20°＝30 2.
(2)因为 sin 15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，
所以四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD＝S△DBC＋S△DBA＝12×20×20 3＋12×20 3
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【导学号：91730012】 【精彩点拨】 (a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab――余―弦―定―理―→求 C； 2cos Asin B＝sin C法―法二―一：――：正―恒、―等余―变弦―换定→理求 A 与 B 的关系．
【自主解答】 ∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， ∴a2＋b2－c2＝ab， ∴2abcos C＝ab， ∴cos C＝12， ∴C＝π3.
cos B＝________.
【解析】 ∵a＝4bsin A，由正弦定理知 sin A＝4sin Bsin A，∴sin B＝14，cos B
＝ 1－sin2B＝
1－142＝
15 4.
【答案】
15 4
2．若平行四边形两邻边的长分别是 3和 6，它们的夹角是 45°，则这个平行 四边形的两条对角线的长分别是________．
在△ABC 中，由正弦定理，得 sin∠BAC＝BCsiAnB120°＝1251× 23＝5143. ∴∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)， ∴38°13′＋45°＝83°13′. 答：巡逻艇应该沿北偏东 83°13′方向去追，经过 1.5 h 才追赶上该走私船．
[小组合作型] 利用正、余弦定理解决实际问题
某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45°相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正 沿南偏东 75°的方向以 10 n mile/h 的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 n mile/h 的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶 上该走私船？已知sin 38°13′＝5143
【精彩点拨】 先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．
【自主解答】 如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x h 后在 B 处追上走私船， 则 CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2 ＝92＋(10x)2－2×9×10xcos 120°，
化简得 32x2－30x－27＝0， 即 x＝32或 x＝－196(舍去)， ∴巡逻艇需要 1.5 h 才追赶上该走私船． ∴BC＝10x＝15，AB＝14x＝21.
1．平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条 件是求解此类问题的关键．
2．求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定 理；(2)中隐含着∠ADB＋∠ADC＝180°.
[再练一题] 3.如图 1-2-1，△ABC 中，AB＝AC＝2，BC＝2 3，点 D 在 BC 边上，∠ADC ＝45°，求 AD 的长度．
×30
2×
6－ 4
2＝50(9＋
3)．
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【导学号：91730013】 【解析】 AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°， ∴AC＝10 7.
【答案】 10 7
4．在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC 的形状为________． 【解析】 ∵b2＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac， ∴a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c. 又∵B＝60°，∴△ABC 为正三角形． 【答案】 正三角形
法一：又 2cos Asin B＝sin C＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， ∴sin(A－B)＝0， ∴A＝B， ∴A＝B＝C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
法二：由 2cos Asin B＝sin C 可知 2b×b2＋2cb2c－a2＝c， 即 b2＝a2，∴a＝b， ∴A＝B＝C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
5．如图 1-2-2 所示，在四边形 ABCD 中，BC＝20，DC＝40， B＝105°，C＝60°，D＝150°，求：
(1)AB 的长； (2)四边形 ABCD 的面积．
图 1-2-2
【解】 (1)连结 BD， 因为∠ABC＝105°，C＝60°， ∠ADC＝150°， 所以 A＝360°－105°－60°－150°＝45°. 在△BCD 中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C ＝202＋402－2×20×40×12＝1 200， 于是 BD＝20 3. 因为 BD2＋BC2＝CD2，所以∠CBD＝90°. 所以∠ABD＝105°－90°＝15°，∠ADB＝180°－45°－15°＝120°.
2．若△ABC 中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，则 BC 边上的中线 AD＝________.
【解析】 在△ABC 中，由余弦定理可知 BC＝ 7.
∴AD＝12 2AB2＋AC2－BC2
＝12 21＋9－7
＝ 213.
【答案】
13 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
法二 根据正弦定理， 2b＝a＋c 可转化为 2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得 sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°， C＝60°，∴△ABC 是正三角形．
[探究共研型] 利用正、余弦定理度量平面图形 探究 1 在△ABC 中，若 AD⊥BC，则 ABcos B＋ACcos C 的值为多少？ 【提示】 如图，易知 ABcos B＝BD，ACcos C＝CD，又 BD＋CD＝BC，
2．平行四边形性质定理
平行四边形两条对角线平方的和等于 四边平方的和 ．
1 特别地，若 AM 是△ABC 中 BC 边上的中线，则 AM＝ 2
2AB2＋AC2－BC2 .
1．在△ABC 中，若 BC＝3，则 ccos B＋bcos C＝________. 【解析】 ccos B＋bcos C＝BC＝3. 【答案】 3
图 1-2-1
【解】 在△ABC 中，∵AB＝AC＝2，BC＝2 3， 由余弦定理，得 cos C＝AC2＋2ABCC·B2－C AB2＝ 23， ∴sin C＝12. 在△ADC 中，由正弦定理得， sAinDC＝sin∠ACADC， ∴AD＝ 22×12＝ 2.
2
[构建·体系]
1．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝4bsin A，则
阶
段
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学
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1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状． 2．熟练边角互化．(重点)
[基础·初探] 教材整理 射影定理和平行四边形的性质定理 阅读教材 P16～P17，完成下列问题． 1．射影定理 在△ABC 中， (1)bcos C＋ccos B＝ a ； (2)ccos A＋acos C＝ b ； (3)acos B＋bcos A＝ c .
【自主解答】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以 AB＝2AC. 由正弦定理，得ssiinn CB＝AACB＝12. (2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)，知 AB＝2AC，所以 AC＝1.