浅谈波利亚四步解题法在数学解题中的应用——以一道高考圆锥曲线题为例

行方案、 •本文以该解题思想为理论，以高
线
为载体浅谈了四步解题法的四个步骤在数学解题中的
应用.
【关键词】波利亚四步解题法；高考圆锥曲线；解题思维
一、 波利亚四步解题法 波利亚将解题过程分为四个步骤:理解题目、拟订方 案、执行方案、 ⑴，一步 以问题的形式呈现.
第一步理解题目•这一步决定要努力的方向•未知量是
知道！Bq为！,！k<为%•
教师:很好，
量是什么呢？
学生:证明2%- ！是一个定值，就是要找到％与！的 关$
教师:很好,接下来看看咱们应该怎么找它们的关系• (-)拟订方案： 教师： 以前见过它吗？或者你见过类似的题目吗？ 学生:以前做过求直线的 的题目•
数学学习与研究2020. 5
解题技巧与方法
该是 性 识性的问题和建议.
第三步执行方案•执行你的方案，检查每一个步骤•要
对第二步的分析进行逻辑重组，
一个细节的合理性，
不有 的 的
之.
第四步 •波利亚认为，没有 这一步所有的解题
都是就题论题•
这个结果吗？
推导岀来吗？ 把这个结论 到
以使
到举一反三.
以不同的方式 题目中吗？回顾
二、 实践应用
题目椭圆C： 1 + R = 1(0〉1〉0)的离心率e=AA，
标知道了;EQ……
教师:知道点E的坐标，只要把点Q的坐标求出来就可
以利用两点式写出Pq的表达式了.
学生:哦……
了，点Q在椭圆上，还在Pq上,联
立方程就可以求出点Q,之
以写出EQ的表达式，就
可以写出点 <的坐标.
学生： ，除了这种方法我还有另一种方法求点<的
$ 教 : 好!
一下 的解题方 $
学生： E,Q,<
以利用斜率相等来做,
即!eq = !e<$ 教师:很好,看来此题有两种方案,接下来,请同学们自
己动手彳一下.
(3)执行方案：
方案一:M X(2,0),点Q不为椭圆顶点，
-2 ( ) Np的方程为 y = !( 1 ) !#0, !# 士寺 $
①
将①代入j =% ,得卩(胃，佶)•
P的方程为y二*1 + %•
解题技巧与方法
■ JIETI JIQIAO YU FANGFA
汪谈波利亚四步解题法在数学解题27应用
"A ——也一 考圆傩曲钱题禺例
◎周晨晨(云南师范大学数学学院，云南昆明650500)
【摘要】杰出的数学家、数学教育家波利亚指出：“中学
数学教学的
务就
的 •” 的 思
想集中体现在“四步解题法”中，即：理解题目、拟订方案、执
第二步拟订方案•这一步决定解决问题的成与败•你以
前见过它吗？
一 与它有关的题目吗？这 有一道
题
的题目有关而且以前解过•
它吗？如果
不能先 解一道与它有关的题目•努力找岀
与
量之间的联系，如果找不到直接的联系,就考虑辅助题
•在这一步中教 为学
的最好的事情是通过不
眼的帮助,引导学生自己获得一个好的 •这个帮助应
0 + 1=3. ① 求椭圆CD； ② 如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点,Q是椭圆C上
除顶点外的任意一点，Pq交 兀轴于点<Pd交Pq于 K,
Ay
M
设Pq的 为!，的 ：
为％，证明:-为定值.
1•分析第一小问：
(1)理解题目：
教 : 这 题的 条件是什么？
学 :离
0，1 之间的关 •
教师:这些 条件能不能进一步表示岀来？
②
联立①②得叫船，嗇)$
由E(0，%)，戸(汨'，-證1 )得Pq的方程为
4!2 +1
4!2 +1
2!
-0 -1_______
2!
+
1
4k +2 4k-2= 4
2! - 1 _ 2! + 1
贝 lj2m-!=2^L1--!=711
N 2%-！为定值*.
方 ：(此方案只求点 < 的坐标，其余分析均与方案 一相同)
•要根据题目中的
来判断0,1, c
的关系，椭圆：0- = 12 + C2，双曲线:c2 = 12 + 02 (0 >0,1 >0).
-•分析第二小问：
(1)理解题目：
教师:这道题的已知条件是什么？
学生：由第一问可以知道点A,B,D的坐标,A( -/,0 ),
B(-,0),D(0,1).点 < 在1轴上，所以 < 点的纵 为0.
( ) 由 E(0，1)，P 4! -1，-4![% ，<( 1,0)三点共线知:
-4! _%
(- ) 8!2 -2—八 二— 1-0％ ， 解 < 2! +=12，+0
4!2 +1 ( 4) ： 求解定值问题，首先要求出待求定值式的代 达式，
代 达式进行 、整理， 变量，得到定值.第
问中设出P的 ！，得P的方程，结合椭圆的方程求出
学生：
把％表示出来,知道％是的 ，可以
用斜率公式写出％的表达式，所以要求点K
$ 教 : 好!
么求呢？
<的
学生:点皿是仃"与P的交点，只要知道了两直线的表
达式,联立解方程就好了;点 < 是与“轴的交点，写出P 的 达式 以求$
教师:P的表达式可以很好地表达，那和呢？
学生:题
设出P的 为！ 了，而且点X的坐
什么？
是什么？条件是什么？
到一道题
的时候 把读题分为两个 ，第一
题目，看
一下题目的 ， 题的 量
量;第
深
入理解题目，深挖 量背
的条件，理解 量，知
量
量之间的关系， 自己
的方向，适当
的时候可以画图引入适当的符号•这一步是成功解决题目
的前提•波利亚说:“
不理解的问题做岀答复是愚蠢
的，为 不 的
作是悲哀的•”
学生:离心率 e=-L = -/A，0 + 1=3 • 02
教师:很好,那题目的未知量是什么呢？
学生:椭圆的方程. (-)拟订方案： 教师:这些 条件能否确定椭圆的方程呢？
学生:可以，因为在椭圆中0- =T +c-, 合题目给我
们的条件就可以找到0,1,c的关系，就可以解岀 •
教师:很好，接下来同学
JIETI JIQIAO YU FANGFA •・
教师:很好，刚才分析了求定值就是要找到％与！的关
之间的关系，接下来怎么办呢？ 学生:要把％和！分别 出来，还要找到它们的关
系，然后代入2%-,中. 教师:那要怎么找它们的关那先用， ％, 接下来怎么做？
卩巴.
(3)执行方案：
由 a (-^ = /3-,0- = 1- + c-得 0 = *c, 1 = *c,将其代
0-
//
//
入 0 + 1= 3 得 c = //, 0 = - ,1 = 1, 故椭圆C的方程为1+R- =1 •
( 4)
:
根据题中0,1, c的关系及椭圆中0,1, c的关系0-=
12 +c2 ,