二次根式讲义

中考数学第十四讲 二次根式
要点：根据二次根式的性质进行化简和简单运算 二次根式的化简求值及其混合运算 基本知识点：
1、掌握基本概念：
平方根；算术平方根；立方根；二次根式；最简二次根式；同类二次根式；分母有理化及有理化因式； 2、二次根式的性质
）2=a （a
≥0）； │a │=；
（a ≥0，b
≥0）；
b ≥0，a>0）．
3
、二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算
术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 考点1、二次根式的概念
例1、无理数－3的相反数是（ ）
A ．－ 3
B ． 3
C ．
13
D ．－
13
例2、（2010·黄冈中考）2的平方根是_________. 例3、在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
18,3.A 3
1,
3.B 22,.ab b a C 1,1.-+a a D
例4、在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A ．1) 2)
B ．3) 4)
C ．1) 3)
D ．1) 4)
(0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩
=
考点2、二次根式的取值与最值 例1
有意义，则x 的取值范围是_______．
例2、当x 3的值最小？最小值是多少？
考点3、二次根式的化简及其混合运算
例1 下列计算正确的是 （ ）
1
36=
=
=-
==
例2 计算200620071)1)的结果是 （ ）
1
例 3 已知实数，a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-8所示，化简
||a +
例4、化简44|1|2+--+x x x
例5 已知3,12,.a b ab +=-=求值
例6、 例7
例8、 若a ，b 为实数，且b 15，的值.
例9、 已知222400,5760,.a b ab ==值 例10、
考点4、利用二次根式比较大小、进行计算或化简 例1 的运算结果应在（ ） A. 6到7之间
B. 7到8之间
C. 8到9之间
D. 9到10之间 例2已知m 的整数部分，n m n m n
-+的值.
考点5、无理方程的解法
1．平方法解无理方程
例1、解方程1
-=
x
例2、解方程3
=
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．
2．换元法解无理方程
例1、解方程2
++=
x x
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说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．。