球的接切问题 (1)

2 3 2 3
6 3 3 -1
3 a (
1.正方体的外接球、内切球和棱切球
球的接切问题
【例 3】 有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三 个球过正方体各顶点,则三个球面积之比为 ．
【解析】设正方体棱长为 a,则有内切球半径 R 1 = 2
; 棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,则有 R 2 = 2
a ;
外接球直径为正方体的对角线长,∴有 R 3 = 2
a , 所以面积之比为12
:
( 2 )2
: ( 3 )
2
= 1: 2 : 3.
【评注】 正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为 a ，则a 内切球半径|OJ |＝r ＝ ；正方体的棱切球：|GO |＝R ＝ a ；正方体的外接球：则|A 1O |＝R ′＝ a .用构造法
2 2 2
易知：棱长为 a 的正四面体的外接球半径为
a .
4
【变式 1】构建正方体求解三棱锥有关问题
若正三棱锥 P —ABC 的三条侧棱两两垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球 的半径之比为 .
1. ( -
1)
: 3.【解析】设正三棱锥侧棱长为 a ，纳入正方体中易知外接球
半径为
a ,体积V = a 2 6
，内切球球心将正三棱锥分成四个高为内切球半径的 三棱锥，则 a 3 1 ⎡ a 2 2 ⎤
r = 3 - 3 a , ∴ R : r = . V = 6 = 3 r ⎢3⨯ 2 + 4
2a ) ⎥
,∴ 6 3 ⎣ ⎦ 【变式 2】构建正方体利用等积法求点到面的距离 已知正三棱锥 P －ABC ，点 P ，A ，B ，C 都在半径为则球心到截面 ABC 的距离为 ．
3的球面上．若 PA ，PB ，PC 两两相互垂直， 3【解析】由已知条件可知，以 PA ，PB ，PC 为棱可以补充成球的内接正方体，故而 PA 2＋PB 2
3
1 1
2 到 h ＝ 3
3
3
3，故而球心到截面 ABC 的距离为 R －h ＝ 3 .
【变式 3】构建正方体求解正四面体的外接球的体积
3 3
2. 3
已知三棱锥A BCD的所有棱长都为，则该三棱锥外接球的体积是.
2
2 3 5 S = 4
( 3 )
2
= 12
3 + 5 +
4 O
6 ＝6.
【解析】如图构造正方体 ANDM - FBEC ，则∵三棱锥 2
A - BCD 的所有棱长都为 ，∴该正方体的棱长为1，∴三棱锥
A - BCD 的外接球半径：R=
3 4
3 3 .故所求V =
(
)3 = . 2
球
3
2 2
【变式 4】通过等价转化求解正方体的内切球的截面圆面积
如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的内切球，则平面 ACD 1 截球 O 的截面面积为( )
π π
6 3 A .6 B .3 C . 6 π D . 3
π 4.A 【解析】：根据正方体的几何特征知，平面 ACD 1 是边长为三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰 为三角形 ACD 1 三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，由图得△ACD 1 内切圆
2的正 2 6
的半径是 2 ×tan30°＝ 6 ，故所求的截面圆的面积是
( 6)
2 π 2.长方体的外接球
【例 4】 (2013 辽宁) 已知直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若 AB ＝3，AC ＝
4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球 O 的半径为 ． 【解析】∵AB ⊥AC ，且 AA 1⊥底面 ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方
13
体，则长方体的对角线 l ＝ 32＋42＋122＝2R ，R ＝ 2 .
【评注】利用底面为直角三角形的直三棱柱补成长方体求外接球半径,长方体的模型可以使抽象问题具体化.
【变式 1】利用三棱两两垂直的四面体补成长方体求解
在四面体 ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB= ,AD=2,AC= ，则该四面体外接球的表面积
为
．
1.12
【解析】由球的对称性及 AB , AC , AD 两两垂直可以补形为长方体 ABD 'C - DC 'A 'B ',长方
体的对称中心即为球心, ∴ 2R = = = 2 ，∴ .
【变式 2】如图，在三棱锥O - ABC 中，三条棱OA , OB , OC 两两垂直，且OA > OB > OC ，分别经过三条棱OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为
S 1 , S 2 , S 3，则 S 1 , S 2 , S 3的大小关系为
．
2. S 3 < S 2 < S 1【解析】 由题意OA , OB , OC 两两垂直，可将其放置在
3
AB 2
+ AC 2
+ AD
2
3
3.
π×
b 2 +
c 2 a 2 + b 2 3 6 2 2
1
1 1 ∴V 半球＝ × πR 3＝ π a ＝ πa 3，V 正方体＝a 3.
2
3 3 2 以O 为一顶点的长方体中，设三边OA , OB , OC 分别为 a > b > c ，从而易得 S = 1
a ， 1 2
S = 1 b 2 2
， S = 1
c ，∴ 3 2 S 2 - S 2 = 1 (a 2b 2 + a 2 c 2 )- 1 (b 2 a 2 + b 2 c 2 )= 1
c 2 (a 2 - b 2 )，又 a > b ，∴ S 2 - S 2 > 0，即 S > S 1 2 4 4 4
1 2 1 2
．同理，用平方后作差法可得 S 2 > S 3．∴ S 3 < S 2 < S 1．
【变式 3】利用特殊的四棱锥补成长方体求解
已知点 P ，A ，，B ，C D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 正方形.若
PA = 2 ,则△OAB 的面积为
3. 3 3【解析】∵点 P ，，A ，B ，C D 是球 O 表面上的点，PA ⊥平面 ABCD ， ∴点 P ，A ，，B ，C D 为球 O 内接长方体的顶点，球心 O 为长方体对角线的中点.
∴△OAB 的面积是该长方体对角面面积的 1
.
4
∵ AB = 2 3, PA = 2 ，∴ PB = 6,∴ S ∆OAB = 4
⨯ 2 3 ⨯ 6=3 3. 【变式 4】利用半球的内接正方体补成球的长方体求解
半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
B ． 6π∶2
C ．π∶2
D ．5π∶12
4. B 【解析】 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长
方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的体对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为 a ， 球的半径为 R ，则
6
(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即 R ＝ 2
a .
1 4
2 ( )
3 6 6
∴V 半球∶V 正方体＝ 2
πa 3∶a 3＝ 6π∶2.
【变式 5】利用半球的内接三棱柱运用截面圆性质求解 (
)A ．2
B ．1
C. D.
5. C .【解析】由题意知，球心在侧面 BCC 1B 1 的中心 O 上，BC 为截面圆的直径，
∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A 1B 1C 1 的外心 M 是 B 1C 1 的 x x
中心．设正方形 BCC 1B 1 的边长为 x ，Rt △OMC 1 中，OM ＝ ，MC 1＝ ，OC 1＝R ＝1(R
2 2
x x 为球的半径)，∴
(2)2
＋(2)2
＝1，即 x ＝ 2，则 AB ＝AC ＝1，∴ S
矩形ABB A
＝ 2×1＝ 2.
3.正四面体的外接球和内切球
a 2 + c 2 6 6 A. 5π∶6
6 3
3 2 3 3
1
【例 5】 正四面体的内切球、与棱相切的球、外接球的三类球的半径比为
．
【解析】设正四面体的棱长为 1，外接球和内切球半径依次为 R , r ， 由正四面体
三个球心重合及其特征， 则正四面体的高
3
= R + r ,其体积为V = 1 ⨯ ⨯, 3 3 4
另一面V = ⨯ r ⨯
⨯ 4,则内切球和外接球的半径比
1：3，其和为正四面体的高
3 4
， 而与棱相切的球直径为对棱的距离
，则内切球、与各棱都相切的球、外接球的半径之比为 3
2
( 6 ⨯ 1 ) : 2 : ( 6 ⨯ 3
) = 1: : 3. 3 4 4 3 4
【变式 1】利用正四面补成正方体求解体积 正四面体 ABCD 的外接球的体积为4 ，则正四面体 ABCD 的体积是
.
8
.【解析】由于外接球的体积为4 3∴ 4
r 3
= 4 3∴ r =
，故其内接正方体的棱长为 2，
3
3
1 8
故正方体体积为 8，正四面体的体积为 V 3
正方体 =
.
36π.
【变式 2】利用正四面体的高与外接球半径的关系求球的表面积 正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为 4，则这个球的表面积是 ． 2.36π【解析】正四面体的外接球半径 R 为其高的 3
，且正四面体的高为 4，则 R ＝3
，S ＝4πR 2＝
4
【变式 2】利用正四面体补成正方体求解的球心角
半径为 1 的球面上的四点 A , B , C , D 是正四面体的顶点，则 A 与 B 两点与球心连线的夹角余弦值
为
．
1
2. - 3 .【解析】设正四面体棱长 2a ，将其纳入正方体中,其正方体棱长 a ，所求角为对角面内两条
2 ⨯ 3
a 2 - 2a 2
对角线的夹角为∠APB ，AP=BP= a , AB = 2 2a ，由余弦定理cos ∠APB = 4 = - 1.
2 ⨯
3 a 2
3
4
【变式 3】利用正四面体补成正方体求异面直线所成的角
如图，正四面体 A-BCD 中，E 、F 分别是 AD 、BC 的中点，则 EF 与 CD 所成的角等于
（ ）
A ．45°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
6 6 3 3
1.
3
E
B
F
C
3 3 3 ( )
2 π A
D
E
A
B
D
F
C
3.A 【解析】如图，将正四面体补形为正方体，答案就脱口而出，应该选 A. 【变式 4】利用长方体的性质确定折叠四面体的外接球球心
4.
【解析】
设 AC 与 BD 相交于 O ，折起来后仍然有 OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴外接球的半径 r ＝
5
4π 5 125π ＝ ，从而体积 V ＝ × 3＝ . 2 3 2 6
面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为
．
9 1
32
2 3 3 3
4π
32 3π
9
又 R 2＝a 2＋( 3a －R )2，所以 R ＝
a )
3
＝ 27
a 3
，则其体积比为
.
32
【变式 6】利用正六棱柱的对称性求外接球的体积
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。

已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，六棱柱 9
的体积为 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为
．
8
4 9 【解析】因为该六棱柱的顶点都在同一个球面六棱柱的体积 ，底面周长为 3，由
3
8
9
3 ⎛ 1 ⎫
2
1 = h ⨯ 6 ⨯ 8
⎪ 4 ⎝ ⎭ ,∴ h = ，可得到正六棱柱的高为 ，底面边长为 ，注意球心的特殊位置，则半
2
4
径 r = = 1, 则球体积为 π； 3
【变式 7】利用球的截面性质求球的内接四棱锥的体积
(2015 届河北月考)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球O 的球面上，且 AB = 6, BC = 2, 则棱锥O - ABCD 的体积为 ．
7. 8 3【解析】如图所示， OO '垂直于矩形 ABCD 所在的平面，垂足为O '，连接
O ' B ， OB ，则在 Rt ∆ OO 'B 中，由 OB ＝4, O 'B = 2 ，可得
OO '＝2,∴V O - ABCD
= 1 S ⋅ OO ' = 1
⨯ 6 ⨯ 2 3 ⨯ 2 = 8 3. 3 3
【变式 9】 正三棱锥的高为1，底面边长为2 切（如图）．求：（1）这个正三棱锥的表面积；
（2）这个正三棱锥内切球的体积．
O D
C
O
A
B
32＋42 2 2 3 3 3 ⎛
1 ⎫2
2
2 ⎪ + 2 ⎪ ⎛
3 ⎫ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
3 6 6.
，内有一个球与它的四个面都相
3
6 3 2 3 3
3 2 3 3 2 + 2 3
6 1 9.【解析】底面正2三角形中2
心到一边的距离为 ⨯ ⨯ 2 = ，则正三
棱锥侧面的斜高为 1 + ( 2) = 3，∴ 3 2
S = 3⨯ 1 ⨯ 2 6 ⨯ = 9， S = 1 ⨯ 3 ⨯ (2 6)2 = 6，∴
侧 2 底
2 2
S 表 = 9 2 + 6． （2）设正三棱锥 P - ABC 的内切球球心为O ，连接OP , OA , OB , OC ，而O 点 到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r ，∴V P - ABC = V O - P AB + V O - PBC
+V + V = 1
S r = (3 + 2 3)r ．
O - P AC O - ABC
3 表
又V = 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ (2 6)2 ⨯1 = 2 ，∴ r = = - 2，∴内切球的体积V = 4
r 3 P - ABC
= 8
(9 3
3 2 2 3 - 22)． 2 2 6。