辽宁省2020届高三月考数学(理)试题

高三数学试卷（理）
时间：120分钟．总分：150分
命题人：
第 Ⅰ 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1．设全集为R ，集合2
{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =I （ ）
A.(3,0)-
B.()3,1--
C.(]3,1--
D.()3,3- 2．设x R ∈，则“1
2
x >
”是“2210x x +->”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．
2
12(1)
i
i +=- （ ） A ．112i --
B ．112i -+
C ．112i +
D ．112
i - 4．已知2α=，则点P (sin ,tan )αα所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5．设32log 31=a ，31log 2
1=b ，3
.021⎪⎭⎫
⎝⎛=c ,则 （ ）
A.a b c >>
B.c a b >>
C.a c b >>
D.c b a >>
6．函数f(x)＋cos2x （ ） A ．在,36ππ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭单调递减 B ．在,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增 C ．在,06π⎛⎫-
⎪⎝⎭单调递减 D ．在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 7. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件B =“三次取到的球颜色都不相同”，则P(B |A)= （ ）
A.
16 B.13 C.2
3
D.1 8．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2
x
＋
1
5
，则f(log 220)的值为 ( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－4
5
9．若函数b bx x x f 33)(3
+-=在（0，1）内有极小值，则 ( ) A ．b ＜1 B ．0＜b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜2
1
10. 曲线2
y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为 （ ） A.42ln 2- B.2ln 2- C.4ln 2- D.2ln 2 11. 已知函数()sin()(0)3
f x x π
ωω=-
>，若函数()f x 在区间3(,)2
π
π上为单调递减函数，则实数ω
的取值范围是 （ ） A ．211
[,
]39
B ．511
[,
]69
C ．23[,]34
D ．25[,]36
12．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x
x
f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 （ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >
第 Ⅱ 卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

） 13．二项式6
)21x
x +
（的展开式中的常数项为 ． 14．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．
15. 已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则
sin 2ϕ= ．
16．下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号）
①若,,a b c R ∈，则“22
ac bc >”是“a b >”成立的充分不必要条件；
②命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是 “x R ∀∈均有2
10x x ++≥”；
③命题“若||2x ≥，则2x ≥或-2x ≤”的否命题是“若||2x <，则22x -<<”； ④函数3
()ln 2
f x x x =+-
在区间(1,2)上有且仅有一个零点. 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.） 17．（本题满分12分）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A π
ωφ><<<）过点1(0,)2，且当6
x π
=时，函数()f x 取得 最大值1. （1）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2
()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,
]2
π
上的值域.
18．（本题满分12分）已知函数
()52
3+++=bx ax x x f ,在曲线()x f y =上的点()()1,1f P 处的切线与直线23+=x y 平行。

（1）若函数()x f y =在2-=x 时取得极值，求a ，b 的值； （2）在（1）的条件下求函数()x f y =的单调区间.
19．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且
asin sin csin 0
sin sin 3A b B C a B C +--= .
（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.
20. （本题满分12分） 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．
（Ⅰ）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为X ，若每次抽检的结果都相互独立，求X 的
分布列和数学期望()E X ．
参考公式与数据：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
21．（本题满分12分）已知函数()ln f x x x
=-，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；
（Ⅲ）设函数2
()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成 立，求实数m 的取值范围.
22．（本题满分10分）选修4-4：在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θ
θθ
=⎧⎨=⎩为参数）
，直线l 经过点P （2,2），倾斜角3
π
α=。

（1）写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；
（2）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PA PB ⋅的值。

23．（本题满分10分）选修4-5：已知函数||)(a x x f -=。

⑴若不等式3)(≤x f 的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数a 的值；
⑵在⑴的条件下，若存在R x ∈使得m x f x f ≤++)5()(成立，求实数m 的取值范围。

高三月考
数学试卷（理）参考答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7. B 8．C 9．B 10. A 11. B 12. A 13．
25 14．3 15. 5
4
- 16. ①②③④ 17． 【答案】(1)()sin(2)6
g x x π
=-
；(2)[1,2]-.
(1)由函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
得
12sin φ=
，,26ππφφ<=
12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫
=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭
，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)
()
22226h x x cos x sin x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，
值域为[]1,2-.
18． 解：（1）
2
'()32f x x ax b =++,则'(1)323f a b =++=，即20a b +=① ∵()y f x =在2x =-时取得极值，∴'(2)0f -=，即412a b -+=- ② 联立①②解得2,4a b ==-
（2）由（1）得
32()245f x x x x =+-+ ∴
2
'()344f x x x =+- 由'()0f x >得2x <-或23
x >，由'()0f x <得223
x -<<
所以函数y=f （x ）的单调递增区间为()2,-∞-,单调递减区间为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-32,2
19. 【答案】（1）
3π；（2
（1）由
sin sin sin 0sin sin a A b B c C B C +-=，得： b sin a a b b c c C ⋅+⋅-⋅=⋅，即
222
sin 23a b c C ab +-=,由余弦定理得cos sin 3
C C =∴tan C =()0,C π∈，
∴3C π
= .（2）由余弦定理：22
121cos 42
c c b CEA =+-⨯⨯⋅∠①，
②22
121cos 42
c c a CEB =+-⨯⨯⋅∠，
由三角形中线长定理可得：①+②得2
2
2
22
c b a +=+ 即
2222()4b a c +=+∵2222cos c a b ab C =+-⋅，∴2242a b ab ab +=-≥∴4
3
ab ≤
，当且仅
当a b =时取114S =sinC 22323
ABC ab ∆≤⨯⨯=
.
20．解：（Ⅰ）
…………………2分
因为()2
2100402515208.2497.87960405545
χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞ …………………4分
有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关 …………………5分 （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从道路上行驶的大量机动车中随机抽检1辆，司机为男性
且开车时使用手机的概率为
4021005
=． X 可取值是0，1，2，3，且235X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
～，，
有：()0303
3227051255P X C ⎛⎫⎛===⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1
2
133********
5P X C ⎛⎫⎛===⎫
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭， ()2
1
23323625125
5P X C ⎛⎫⎛===⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
33212383555P X C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭===， …………………10分
X 的分布列为
…………………11分
()27543680123 1.2125125125125
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= …………………12分 21．(1)见解析；(2) 5
2
a ≥;(3) [85ln 2,)-+∞.
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且2
()x a
f x x +'=，
①当0a ≥ 时，'
()0f x > ，()f x 在(0,)+∞ 上单调递增；
②当0a < 时，由'
()0f x >，得x a >- ；由'
()0f x < ，得x a <- ； 故()f x 在(0,)a - 上单调递减，在(,)a -+∞ 上单调递增. (2)
()5ln a
g x ax x x
=-
- ,()g x 的定义域为
(0,)+∞ .2'
22
55()a ax x a
g x a x x x -+=+-=
. 因为()g x 在其定义域内为增函数，所以(0,)x ∀∈+∞ ，'
()0g x ≥ .
2222min
5550(1)511x x ax x a a x x a a x x ⎛⎫⎛⎫
⇔-+≥⇔+≥⇔≥⇔≥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ .
而
2
555
112x x x x
=≤++ ，当且仅当1x = 时取等号，所以52a ≥ . (3)当2a = 时，2()25ln g x x x x
=-- ，2'
2
252()x x g x x -+= .
由'
()0g x = 得1
2
x = 或2x = . 当10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，'()0g x ≤ ；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'
()0g x ≥ .
所以在(0,1) 上，max 1()35ln 22g x g ⎛⎫
==-+
⎪⎝⎭
. 而“1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有12()()g x h x ≥成立”等价于“()g x 在(0,1) 上的最大值不小于()h x 在[1,2] 上的最大值”.
而()h x 在[1,2] 上的最大值为max{(1),(2)}h h ，
所以有1(1),
35ln 25,285ln 235ln 282.1(2).2g h m m m g h ⎧⎛⎫
≥ ⎪⎪-+≥-⎧⎪⎝⎭
⇔⇔≥-⎨
⎨-+≥-⎛⎫⎩⎪≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩. 所以实数m 的取值范围是[85ln 2,)-+∞. 22．解：（Ⅰ）圆的标准方程为2
2
16x y +=.
直线l 的参数方程为2cos 3
2sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即12222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
（Ⅱ）把直线的方程12222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22
16x y +=，
得22
1(2)(2)1622
t +
++=
，21)80t t ++-= 8分 所以128t t =-，即=8PA PB ⋅
23．解：
⑴．由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-a x a ，又已知不等式3)(≤x f 的解集为
}51|{≤≤-x x ，所以5
313=+-=-a a 解得2=a 。

⑵
当
2=a 时
|
2|)(-=x x f ，设
)
5()()(++=x f x f x g ，由
5|)3(2(||3||2|=+--≥++-x x x x （当且仅当23≤≤-x 时等号成立）得，)(x g 的最
小值为5。

从而存在R x ∈使得m x f x f ≤++)5()(，即存在R x ∈使得m x g ≤)(，则m 的取值范围为),5[+∞。