沪教版高中数学高一第二学期第四章T同步《对数函数》教案

同步对数函数★★
情境引入.10min.
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个 (1)
个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数2x
y=表示.
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个……细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1 2 4 2x
y=
根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是
2
log.
x y
=
如果用x表示自变量，用y表示函数，这个函数就是2
log.
y x
=
由反函数的概念，可知函数
2
log
y x
=与指数函数2x
y=互为反函数.
对数函数：一般地，函数()
log01
a
y x a a
=>≠
且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是()
0,+∞.
一般地，函数()
log01
a
y x a a
=>≠
且就是指函数()
01
x
y a a a
=>≠
且的反函数，因为x
y a
=得值域是()
0,+∞，所以，函数log
a
y x
=的定义域是()
0,+∞.
问题1：当0
a>且1
a≠时，比较函数x
y a
=与函数log
a
y x
=，它们的定义域和值域有什么关系？
答：函数log
a
y x
=的定义域、值域分别是函数x
y a
=的值域和定义域.
y
x=
？
探究一：在同一坐标下画出函数
2
log
y x
=与函数2x
y=的图像，写出指数函数与对数函数两种之间的关系.
探索发现：函数
2
log
y x
=与函数2x
y=的图像关于直线对称.所以我们可以说当0
a>且1
a≠时，函数
log
a
y x
=与函数x
y a
=的图像关于直线对称.
探究二：在同一坐标下画出函数
2
log
y x
=与函数
1
2
log
y x
=的图像，并把下表填好.
典型例
题.27min.
例1.（★★）求下列函数的定义域:
（1）2
log
a
y x
=（2）log(4)
a
y x
=-（3）log
4
a
x
y
x
=
-
图像特征函数性质
1. 这些图像都在y轴的右边. 1. 定义域是()
0,+∞.
2. 函数图像都经过()
1,0. 2. 1的对数是零.
3. 自左向右看，
2
log
y x
=的图像逐渐上
升；
1
2
log
y x
=的图像逐渐下降.
3. 当底数1
a>时，log
a
y x
=是增函数；
当底数01
a
<<时，log
a
y x
=是减函数.
解：（1）因为2
0x >即0x ≠， 所以函数2
log a y x =的定义域为()(),00,-∞+∞U .
（2）因为2
40x ->，即2
40x -<，所以函数log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.
（3）因为
04x x >-，即()40x x -<，所以函数log 4a x
y x
=-的定义域是()0,4. 例2. （★★）比较大小：
（1）3log 5和3log 7； （2）0.5log 3和0.5log π； （3）1log 2a
和1
log 3
a ，其中0,1a a >≠. 解：（1）因为对数函数3log y x =在()0,+∞上是增函数，又57<，所以33log 5log 7<. （2）因为对数函数0.5log y x =在()0,+∞上是减函数，又3π<，所以0.50.5log 3log π>. （3）（i ）当1a >时，因为对数函数log a y x =在()0,+∞上是增函数，
又
1123>，所以11
log log 23
a a >. （ii ）当01a <<时，因为对数函数log a y x =在()0,+∞上是减函数，
又
1123>，所以11log log 23
a a <. 【小结】两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
① 确定所要考查的对数函数； ② 根据对数底数判断对数函数增减性；
③ 比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小； ④ 若底数与1的大小关系未明确指定时,要分情况对底数进行讨论来比较大小.
例3. （★★）“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数144lg 190N t ⎛
⎫
=--
⎪⎝⎭
中，t 表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N 表示每分钟打出的字数（字/分）. 计算要达到20字/分、40字/分水平所需要的学习时间；（精确到“时”）. 解：用计算器计算，得20N =时，16t =；40N =时，37t =. 所以，要达到这两个水平分别需学习时间16小时和37小时.
课堂练习
1. （★★）求下列函数的定义域:
(1)()
2log 1a y x =+，其中0,1a a >≠； (2)log a
y =0,1a a >≠.
解：（1）因为2
10x +>， 所以函数()
2log 1a y x =+的定义域为R .
（20>，即10x ->，所以函数log a y =()1,+∞.
2. （★★）比较大小：
（1）2log 3.4和2log 8.5； （2）0.3log 1.8和0.3log 2.7； （3）log 5a 和log 3a ，其中0,1a a >≠.
解：（1）因为对数函数2log y x =在()0,+∞上是增函数，又3.48.5<，所以2log 3.4<2log 8.5. （2）因为对数函数0.3log y x =在()0,+∞上是减函数，又1.8 2.7<，所以0.30.3log 1.8log 2.7>. （3）（i ）当1a >时，因为对数函数log a y x =在()0,+∞上是增函数，
又53>，所以log 5log 3a a >.
（ii ）当01a <<时，因为对数函数log a y x =在()0,+∞上是减函数，
又53>，所以log 5log 3a a <.
思考题
（★★★）若真数相同而底数不同时，又如何比较两个对数值的大小呢？ 试判断67log 7,log 6的大小.
解：6677log 7log 61,log 6log 71>=<=Q 67log 7log 6∴>
【小结】两个底数不相同时底的对数比较大小的一般步骤：
若底数不相同,可在两个对数中插入一个已知 数(如1或0等)，间接比较大小.
回顾总结 .3min.
本节课你有哪些收获和感悟？。