【解析版】2014-2015学年许昌市禹州市八年级上期中数学试卷

2014-2015学年河南省许昌市禹州市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A． 1，2，4 B． 4，9，6 C． 5，5，11 D． 3，5，8
2．将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）
A．B．C．D．
3．如图，C在AB延长线上，CE⊥AF于点E，交BF于点D，∠F=60°，∠C=20°，则∠FBA=（）
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
4．下列说法：①用同一张底片冲洗出来的8张1存相片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的等边三角形是全等形；④全等形的面积一定相等，其中正确的有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．如图，∠1=∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）
A． AB=AD，AC=AE B． AB=AD，BC=DE C． AB=DE，BC=AE
D． AC=AE，BC=DE
6．已知一个三角形的周长为18cm，且它的角平分线的交点到一边的距离是2.5cm，则这个三角形的面积是（）
A． 22.5cm2 B． 19cm2 C． 21cm2 D． 23.5cm2
7．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
8．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形顶角的度数为（
）
A． 36° B． 36°或90° C． 90° D． 60°
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和（﹣1，6）的对称轴是直线．10．在△ABC中，∠A=75°，∠B﹣∠C=15°，则∠C的度数是．
11．若一个多边形的每一个外角都等于20°，则它的内角和等于．
12．如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有对．
13．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是．
14．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=12cm ，则CD= ．
15．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于．
三、解答题．
16．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线共有k条，你能算出代数式的值吗？
17．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
18．已知：∠AOB和两点C、D，求作一点P，使PC=PD，且点P到∠AOB的两边的距离相等．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；
（2）在（1）的结果下，连接AA′，CC′，求四边形AA′C′C的面积．
20．在平面直角坐标系中，M（2a﹣b，a+5），N（2b﹣1，b﹣a）
（1）若M、N关于x轴对称，求a、b的值．
（2）若M、N关于y轴对称，求a、b的值．
21．（10分）（2014秋•禹州市期中）如图，14：00时，一条船从A处出发，以18海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，船到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西28°，从B处测得灯塔C在北偏西56°，求B处到灯塔C的距离．
22．（10分）（2014秋•禹州市期中）如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△AB C外，且∠1=∠2，∠BPA=∠CQA，试判断△APQ的形状，并说明理由．
23．（11分）（2014秋•禹州市期中）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，PD⊥AB交∠ACB的平分线与点P，PM⊥AC于点M，PN⊥BC交CB的延长线于点N．
求证：CM=CN=（AC+BC）
2014-2015学年河南省许昌市禹州市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A． 1，2，4 B． 4，9，6 C． 5，5，11 D． 3，5，8
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形的三边关系进行分析判断．
解答：解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+2=3＜4，不能组成三角形；
B中，4+6＞9，能组成三角形；
C中，5+5=11，不能够组成三角形；
D中，5+3=8，不能组成三角形．
故选B．
点评：
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2．将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）
A．B．C．D．
考点：三角形的稳定性．
分析：根据三角形具有稳定性进行解答．
解答：
解：根据三角形具有稳定性可得A、B、D都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，
故选：C．
点评：此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．
3．如图，C在AB延长线上，CE⊥AF于点E，交BF于点D，∠F=60°，∠C=20°，则∠FBA=（）
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．
分析：
首先根据三角形内角和定理可得∠FDE=30°，根据对顶角相等可得∠BDC=30°，再根据三角形外角的性质可得∠ABF=30°+20°=50°．
解答：解：∵CE⊥AF，
∴∠FED=90°，
∵∠F=60°，
∴∠FDE=30°，
∴∠BDC=30°，
∴∠C=20°，
∴∠ABF=30°+20°=50°，
故选：A．
点评：
此题主要考查了三角形外角的性质，以及三角形内角和，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
4．下列说法：①用同一张底片冲洗出来的8张1存相片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的等边三角形是全等形；④全等形的面积一定相等，其中正确的有（）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点：全等图形．
分析：直接利用全等图形的性质分别分析得出即可．
解答：解：①用同一张底片冲洗出来的8张1存相片是全等形，正确；
②我国国旗上的四颗小五角星是全等形，正确；
③所有的等边三角形是全等形，错误；
④全等形的面积一定相等，正确．
故选：C．
点评：此题主要考查了全等图形，正确利用全等图形的性质分析得出是解题关键．
5．如图，∠1=∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是（）
A． AB=AD，AC=AE B． AB=AD，BC=DE C． AB=DE，BC=AE
D． AC=AE，BC=DE
考点：全等三角形的判定．
分析：根据三角形内角和定理，由∠1=∠2，然后根据“SAS”对各选项进行判断．
解答：解：∵∠1=∠2，
∴∠C=∠E，
∴当AE=AC，DE=BC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△ADE．
故选D．
点评：
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等
，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．已知一个三角形的周长为18cm，且它的角平分线的交点到一边的距离是2.5cm，则这个三角形的面积是（）
A． 22.5cm2 B． 19cm2 C． 21cm2 D． 23.5cm2
考点：角平分线的性质．
分析：根据角平分线的性质得到OD=OE=OF=2.5，根据三角形面积公式得到答案．
解答：解：∵点O是角平分线的交点，OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，
∴OD=OE=OF=2.5，
△ABC的面积为：×AB×OD+×AC×OF+×BC×OE
=×18×2.5
=22.5，
故选：A．
点评：
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：
根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形直接回答即可．
解答：解：A、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
B、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
C、不能沿某条直线对折后直线两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选D．
点评：
本题考查了轴对称图形的定义，牢记轴对称图形的定义是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．
8．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形顶角的度数为（
）
A． 36° B． 36°或90° C． 90° D． 60°
考点：等腰三角形的性质．
分析：
根据已知条件，根据一个等腰三角形两内角的度数之比先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数．
解答：解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=2x，分情况讨论：
当∠A=∠C为底角时，x+x+2x=180°解得，x=45°，顶角∠B=2x=90°；
当∠B=∠C为底角时，2x+x+2x=180°解得，x=36°，顶角∠A=x=36°．
故这个等腰三角形的顶角度数为90°或36°．
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
9．在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和（﹣1，6）的对称轴是直线y=4 ．
考点：坐标与图形变化-对称．
专题：数形结合．
分析：
利用两已知点的坐标特征得这两个点的连线段与y轴平行，且连线段的中点坐标为（﹣1，4），则过点（﹣1，4）且与y轴垂直的直线是它们的对称轴．
解答：解：∵（﹣1，2）和（﹣1，6）的横坐标相同，
∴这两个点的连线段与y轴平行，且连线段的中点坐标为（﹣1，4），
∴点（﹣1，2）与（﹣1，6）关于直线y=4对称．
故答案为y=4．
点评：
本题考查了坐标与图形变化﹣对称：记住关于x轴对称和关于y轴对称的点的坐标特征．通常利用数形结合的思想解决此类问题．
10．在△ABC中，∠A=75°，∠B﹣∠C=15°，则∠C的度数是45°．
考点：三角形内角和定理．
分析：
根据三角形内角和等于180°和∠A=75°求得∠B+∠C=105°，由于∠B﹣∠C=15°，解方程组即可得到结果．
解答：解：在△ABC中，∠A=75°，
根据三角形的内角和定理和已知条件得到
∠C+∠B=180°﹣∠A=180°﹣105°=105°，
∵∠B﹣∠C=15°，
∴∠C=45°．
则∠C的度数为45°．
故答案为：45°．
点评：本题考查三角形的内角和定理，进行角的等量代换是解答本题的关键．
11．若一个多边形的每一个外角都等于20°，则它的内角和等于2880°．
考点：多边形内角与外角．
分析：
首先根据外角和与外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n﹣2）计算出答案．
解答：解：∵多边形的每一个外角都等于20°，
∴它的边数为：360°÷20°=18，
∴它的内角和：180°（18﹣2）=2880°，
故答案为：2880°．
点评：此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是正确计算出多边形的边数．
12．如图，已知AC=AD，BC=BD，CE=DE，则全等三角形共有 6 对．
考点：全等三角形的判定．
分析：
先根据“SSS”可证明△ABC≌△ABD，△AEC≌△AED，利用全等三角形的性质得∠ABC=∠ABD，则利用”SAS”可判断△BCF≌△BDF，然后再利用“SSS”可分别判断△AFC≌△AF D，△CEF≌△DEF，△BCE≌△BDE．
解答：解：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS）；
同理可得△AEC≌△AED（SSS），
由△ABC≌△ABC得∠ABC=∠ABD，
在△BCF和△BDF中，
，
∴△BCF≌△BDF（SAS），
∴CF=DF，
同理可得△AFC≌△AFD（SSS），△CEF≌△DEF（SSS），△BCE≌△BDE（SSS）．故答案为6．
点评：
本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
13．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是 5 ．
考点：全等三角形的性质．
分析：先求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等解答即可．
解答：解：∵BE=4，AE=1，
∴AB=BE+AE=4+1=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴DE=AB=5．
故答案为：5．
点评：
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，先求出DE的对应边AB的长度是解题的关键．
14．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=12cm ，则CD= 6cm ．
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：
根据直角三角形的性质得到DE=BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，证明∠C
AD=∠DAB，根据角平分线的性质得到答案．
解答：解：∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴DE=BD=6，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，又∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB，又∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=6．
故答案为：6cm．
点评：
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于120°．
考点：等边三角形的性质．
分析：
根据等边三角形性质得出∠ABC=∠ACB=60°，根据角平分线性质求出∠IBC和∠ICB，根据三角形的内角和定理求出即可．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC=∠ABC=30°，∠ICB=∠ACB=30°，
∴∠BIC=180°﹣30°﹣30°=120°，
故答案为：120°．
点评：
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线定义等知识点的应用，关键是求出∠IBC和∠ICB的度数．
三、解答题．
16．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线共有k条，你能算出代数式的值吗？
考点：多边形的对角线．
分析：
根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n≥3，且n为整数）可得到m
、k、n的值，进而可得答案
解答：解：解：由题意得：m﹣3=7，n=3
解得m=10，n=3，
由题意得：=k，
解得k=5，
=200．
点评：此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式．
17．如图，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF的度数．
考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．
分析：
在△ADF中，由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD
=90°，联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的关系，再代值求解即可．
解答：解：由三角形的外角性质知：∠ADF=∠B+∠BAC，
故∠B+∠BAC+∠DAF=90°；①
△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠C+∠B+∠BAC=180°，
即：∠C+∠B+∠BAC=90°，②
②﹣①，得：
∠DAF=（∠C﹣∠B）=20°．
点评：
此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记此题的结论在解选择和填空题时会加快解题效率．
18．已知：∠AOB和两点C、D，求作一点P，使PC=PD，且点P到∠AOB的两边的距离相等．
（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．
考点：作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
专题：作图题．
分析：
由所求的点P满足PC=PD，利用线段垂直平分线定理得到P点在线段CD的垂直平分线上，再由点P到∠AOB的两边的距离相等，利用角平分线定理得到P在∠AOB的角平分线上，故作出线段CD的垂直平分线，作出∠AOB的角平分线，两线交点即为所求的P点．
解答：解：如图所示：
作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧，与OA、OB分别交于两点；
（2）分别以这两交点为圆心，大于两交点距离的一半长为半径，在角内部画弧，两弧交于一点；
（3）以O为端点，过角内部的交点画一条射线；
（4）连接CD，分别为C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，分别交于两点；
（5）过两交点画一条直线；
（6）此直线与前面画的射线交于点P，
∴点P为所求的点．
点评：
此题考查了作图﹣复杂作图，涉及的知识有：角平分线性质，以及线段垂直平分线性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；
（2）在（1）的结果下，连接AA′，CC′，求四边形AA′C′C的面积．
考点：作图-轴对称变换．
分析：（1）根据轴对称的性质作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′即可；
（2）根据梯形的面积公式求出梯形AA′C′C的面积即可．
解答：解：（1）如图所示；
（2）∵由图得四边形AA′C′C的面积是等腰梯形，CC′=2，AA′=4，高是3，
∴S四边形AA′C′C=（AA′+CC′）×3=（4+2）×3=9．
点评：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键．
20．在平面直角坐标系中，M（2a﹣b，a+5），N（2b﹣1，b﹣a）
（1）若M、N关于x轴对称，求a、b的值．
（2）若M、N关于y轴对称，求a、b的值．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：
（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可；（2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可．解答：解：（1）∵M、N关于x轴对称，
∴，
解得；
（2）∵M、N关于y轴对称，
∴，
解得．
点评：
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21．（10分）（2014秋•禹州市期中）如图，14：00时，一条船从A处出发，以18海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，船到达B处，从A处测得灯塔C在北偏西28°，从B处测得灯塔C在北偏西56°，求B处到灯塔C的距离．
考点：等腰三角形的判定与性质；方向角．
分析：
根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等腰三角形，而AB的长易求，所以根据等腰三角形的性质，BC的值也可以求出．
解答：解：据题意得，∠A=28°，∠DBC=56°，
∵∠DBC=∠A+∠C，
∴∠A=∠C=28°，
∴AB=BC，
∵AB=18×2=36，
∴BC=36（海里）．
∴B处到灯塔C的距离36（海里）．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．
22．（10分）（2014秋•禹州市期中）如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△AB C外，且∠1=∠2，∠BPA=∠CQA，试判断△APQ的形状，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析：先证△ABP≌△ACD得AP=AD，再证∠PAD=60°，从而得出△APD是等边三角形．解答：解：△APQ是等边三角形．
理由如下：∵AB=AC，∠1=∠2，∠BPA=∠CQA，
∴△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
点评：
本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定方法，注意条件与问题之间的联系．
23．（11分）（2014秋•禹州市期中）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，PD⊥AB交∠ACB的平分线与点P，PM⊥AC于点M，PN⊥BC交CB的延长线于点N．
求证：CM=CN=（AC+BC）
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题：证明题．
分析：
连接AP，BP，易证PM=PN和AP=BP，即可证明RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN，可得AM=BN和CM=CN，即可解题．
解答：证明：连接AP，BP，
∵CP是∠ACB平分线，
∴PM=PN，
∵PD⊥AB，D是AB中点，
∴AP=BP，
在RT△APM和RT△BPN中，
，
∴RT△APM≌RT△BPN（HL），
∴AM=BN，
在RT△CPM和RT△CPN中，
，
∴RT△CPM≌RT△CPN（HL），
∴CM=CN，
∵CN=BC+BN，CM=AC﹣AM
∴CM=CN=（BC+BN+AC﹣AM）=（BC+AC）．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△AP M≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN是解题的关键．。