4.2 指数函数全部课件(人教A版2019高一数学必修第一册)

死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p);
死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2;
……
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730;
死亡
年数
碳14
含量
1年
( − )
2年
( − )
3年
( − )
······
······
5730年
( − )
年

y
1.062530 6.16 ，∴经过 30 天，该湖泊的蓝藻会变为原来的 6.16 倍.
a
x
【点睛】本题考查平均增长率问题，平均增长率问题的函数模型是 y a (1 p %) ．
章节：第四章指数函数与对数函数
标题:4.2.2指数函数的图象
和性质
课时：2课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
回顾3 幂函数的定义是什么？
一般地，函数 = 叫做幂函数，期中是自变量，是常数
对于幂 ( > 0),我们已经将指数的范围拓展到了实数。
上一章我们学习了函数的概念与基本性质（单调性、最值、奇偶性、
对称性），通过对幂函数的研究，进一步理解了研究一类函数的过程与方
法。
下面，我们继续研究其它类型的初等函数：指数函数


43 ，
f (0)
f (0) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5)

f ( x)
4 x ，又 f (0) 3, f ( x) 3 4 x .
f (0)
【点睛】本题考查指数函数的解析式，由于只知道一些函数值，并不知道函数的形式，因此
可用归纳法思想归纳一个结论．
1118
113
2015
743
11
1224
126
278
列表
描点
连线
A景区
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
人次
600
609
620
631
641
650
661
671
681
691
702
711
721
732
743
增加量
A景区
数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图像及性质解决问题.
素养目标
数学抽象
直观想象
数学运算
数学建模
环节2：教学重难点
重点、难点：
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
2.能借助描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图
像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图像及性质解决问题.
= (1 − ) ( ∈ ).
（3）指数型函数
把形如 = ( ≠ 0， > 0，且 ≠ 1)的函数称为指数型函数，这是非
常有用的函数模型.
指数函数的定义：
我们把形如 = ( > 0且 ≠ 1)的函数叫做指数函数，其中是自变量.
注：
(1)指数函数的定义域是实数集；
增加量=变后量-变前量
A景区
800
700
600
1.表格中，数据的增长量相同，为
10(左右)
2.图像中，连线近似域一条直线
500
400
300
200
100
0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
线性变化（一次函数）
A景区
对于A景区，设年份为自变量x，
游客人次y为因变量。用中间量10
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
(4)底数的范围是 > 0且 ≠ 1.
课本P115练习
1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
课本P115练习
f (0.5)
f (1)
2,
2,
2.已知函数 y f ( x), x R ，且 f (0) 3,
情景一：
随着中国经济的高速增长,旅
游人数不断增加，、两个
景区自 2001年起采取了不
同的应对措施，A地提高了
门票价格,B地则取消了门票.
右表给了A、B两个景区
2001~2015年的游客人次及
逐年增加量.
A景区
B景区
年份
人次
增加量
人次
增加量
2001
600
2002
609
9
309
31
2003
620
11
回顾1 根式与分数指数幂的互化是怎样的？

=


回顾2 请你描述指数的运算性质是怎样的？
指数运算性质：
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(3)() = ( > 0, > 0, ∈ ).
课本P115练习
3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 6.25%的增长率呈指数增长，那么经过 30 天，该湖
泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
【答案】6.16 倍
【解析】根据平均增长率问题可得．
【详解】设现在的蓝藻量为 a ，经过 30 天后的蓝藻量为 y ，则 y a (1 6.25%)30 ，
2012
2013
2014
2015
人次
增加量
278
309
344
383
427
475
528
588
1118
1224
31
35
39
44
48
53
60
67
74
82
92
102
113
126
但B景区的增加量不是一个定值！
我们采用增长率进行探究！
增加量 变后量 − 变前量 变后量
增长率 =
=
刻画它的增长规律：
= 600 + 10( − 2001)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
增加量=变后量-变前量
B景区
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.通过对有理数指数幂 、实数指数幂含义的认识，了解指
数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函
数的概念，能借助描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图像及性质解决问题.
11
1118
113
2015
743
11
1224
126
278
问题1 比较一下两地景区旅
游人次的变化情况，你发现
了怎样的规律？
单纯的数据，我们无法观测
出里面的变化！
我们得借用工具进行协助观
察！（表格、图像）
A景区
B景区
年份
人次
增加量
人次
增加量
2001
600
2002
609
9
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1005
102
2014
732
11
期”。
我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来
5730 1
的一半，即(1 − )
= ，
那么1 − =
1
1 1
= ( ) ， = 1 − ( )5730 ，
2
2
1
1 1
1
− (1 − ( )5730 )] = (( )5730 ) ( ∈
2
2
5730
则(1 − ) = [1
相同点：底数都是常数且都大于零
不同点：底数不同：一个大于1，一个在（0，1）之间
概念1：
我们把形如 = ( > 0且 ≠ 1)的函数叫做指数函数，其中是自变量.
注：
(1)指数函数的定义域是实数集；
(2)自变量是指数，且指数位置只能有这一项；
(3)底数只能有一项，且其系数必须为1；
800
700
600
9
11
11
10
9
11
10
10
10
11
9
10
11
11
500
400
300
200
100
0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
2012
2014
2016
2010
2012
2014
2016
A景区
800
700
600
500
400
300
200
100
0
2000
2002
2004
2006
2008
f (0)
f (0.5)
f (0.5 n)
,
2 ， n N* ，
f (0.5( n 1))
求函数 y f ( x) 的一个解析式.
x
【答案】 f ( x) 3 4
【解析】用连乘法求 f (1), f (2), f (3) ，然后用归纳法归纳一个结论．
【详解】由已知得，
f (1) f (0.5) f (1)
那么 = 1.11 ( ∈[0,+∞))
指数增长！
情景二：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按照确定的比率衰减（称为衰
减率），大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期。按照
上述变化规律，生物体内碳14与死亡年数之间有怎样的关系？
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，则它们之间有什么变化？
2
1
2
1
5730
[0, +∞)).

= (( ) ) ( ∈ [0, +∞)) 指数衰减

问题2 根据的上述的两个引例得到的两个方程，你是否发现它们有什么异
同点？
=
. (
∈ [0, +∞))， =
1
2
1
5730

, ∈[0,+∞)
= ( > 且 ≠ 1)
(4)底数的范围是 > 0且 ≠ 1.
课堂例题
例1 已知指数函数() = ( > 0且 ≠ 1)，且(3) = ，求(0)，(1)
，(−3)的值.
解：∵() = 且(3) =
∴ (3) = 3 = .
1
3
1
3

3
∴ = ，即() = ( ) = .
f (2) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2)


4，




42 ，
f (0)
f (0) f (0.5)
f (0)
f (0) f (0.5) f (1) f (1.5)
f (3) f (0.5) f (1) f (1.5) f (2) f (2.5) f (3)




素养目标
数学抽象
直观想象
数学运算
数学建模
环节2：教学重难点
重点、难点：
1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
2.能借助描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图
像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长.
B景区：2001年的游客人次为278万；
1年后，游客人次是2001年的1.11倍；
2年后，游客人次是2001年的1.11²倍；
3年后，游客人次是2001年的1.11³倍；
··· ···
年后，游客人次是2001年的1.11倍；
如果设x年后的游客人次是2001年的倍，
章节：第四章指数函数与对数函数
标题:4.2.1指数函数的概念
第1课时
目
录
1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
环节1：教学目标分解
教学目标
1.通过对有理数指数幂 、实数指数幂含义的认识，了解指
数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函
数的概念，能借助描点法或借助计算工具画出具体指数函
=
−
变前量
变前量
变前量
2002 年游客人次 309

1.11
2001 年游客人次 278
2003 年游客人次 344

1.11
2002 年游客人次 309
…
…
2015 年游客人次 1244

1.11
2014 年游客人次 1118
B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.增长率为常数的变化方式，我们
0
3
1
3
∴(0) = = 1；(1) = =
(−3) =
−3
3
=
−1
=
1
.

3
；
实际应用问题中指数函数模型的类型
（1）指数增长模型
设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则：
= (1 + ) ( ∈ ).
（2）指数减少模型
设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则：
( − )
若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为��，那么试写出死亡生
物体内碳14含量与死亡年数间的关系式： = (1 − ) ( ∈ [0, +∞))
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰