2020-2021学年浙江省杭州大关教育集团八年级(上)期中数学试卷(解析版)

杭州市大关中学教育集团2020 学年第一学期阶段性测试
八年级数学试卷（2020.11）
一．选择题（每小题 3 分，共30 分）
1.如图所示的四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，其中是轴对称图形的是
（）
A B C D
2.等腰三角形的两边长分别为3 和6，那么该三角形的周长为（）
A．12 B．14 C．15 D．12 或15
3.若x＞y，则下列式子中错误的是（）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+3＞y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．
4.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
5.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（）
A．∠B＝∠D＝90°B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．CB＝
CD
6.如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M，交AB 于点E，AC 的垂
直平分线NF 交BC 于点N，交AC 于点F，则∠MAN 为（）
A．80°B．70°C．60°D．50°
7.如图所示，在4×4的方格纸中有一个格点△ABC（每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述中，
正确的是（）
A．三边长都是有理数B．是等腰三角形C．是直角三角形D．面积为6.5
8.已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）
A．5 B．2 C．D．1
9.如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，
折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（）
A．3 B．4
C．5 D．6
10.如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10 米的高台A 上，利用旗杆OM 顶部的绳索，划过90°到达与高台A 水平距离为17 米，高为3 米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN 是（）
A．2 米B．2.2 米C．2.5 米D．2.7 米
二．填空题（每小题4 分，共24 分）
11.请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”：．
12.一个三角形的两边长分别是3 和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是，最小
值是.
13.在直角三角形中，两条直角边的长分别是8 和15，则斜边上的中线长是．
14.已知关于x 的不等式2x﹣k≥1 的解在数轴上的表示如图，则k 的值是．
15.如图△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到
B，则点P 出发s 时，△BCP 为等腰三角形．
16.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝2，以下五个结论：
①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14 ；④AB＝；⑤点P 到△ABC 三边的距离分
别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有．
三．解答题（本题有7 个小题，共66 分）
17．（本小题6分）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（1）6x﹣3＞2x﹣7 （2）
18．（本小题满分8分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF，求证：△ABF≌△CDE．
19．（本小题满分8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图
（1）作出AB 边上的中线CD；
（2）作出△ABC 的角平分线AE；
（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB 上的高的长度．
20．（本小题满分10分）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1 的解为x＞1．
21．（本小题满分10分）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB 边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE 的长．
22．（本小题满分12分）随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000 元、1700 元的A、B 两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入
A 种型号
B 种型号
第一周 3 台 5 台18000 元
第二周 4 台10 台31000 元（1）求A，B 两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000 元的金额在采购这两种型号的净水器共30 台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30 台净水器能否实现利润为12800 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D 是AC 上的一点，CD＝3，点P 从B
点出发沿射线BC 方向以每秒 2 个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值；
（3）过点D 作DE⊥AP 于点E．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE＝CD？
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题 3 分，共30 分）
1.如图所示的四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，其中是轴对称图形的是
（）
A B C D
【分析】结合轴对称图形的概念求解即
可．选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合．
2.等腰三角形的两边长分别为3 和6，那么该三角形的周长为（）
A．12 B．14 C．15 D．12 或15
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3 和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3 时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6 时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3.若x＞y，则下列式子中错误的是（）
A．x﹣2＞y﹣2 B．x+3＞y+2 C．﹣2x＞﹣2y D．
【分析】根据不等式的性质即可判断．
【解答】解：A、根据不等式的性质1，不等式两边同时减去2，故命题正确；
B、大的加大仍然比小的加小的，故命题正确；
C、根据不等式性质3，两边同时乘以﹣2，不等号的方向改变，则命题错误；
D、根据不等式的性质2，不等式两边同时除以3，故命题正
确．故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质：如果不符合其中的条件，那么运用此性质得出的结论是不对的．不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4.对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）
A．a＝3，b＝2 B．a＝﹣3，b＝2 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣1，b＝3
【分析】说明命题为假命题，即a、b 的值满足a2＞b2，但a＞b 不成立，把四个选项中的a、b 的值分别代入验证即可．
【解答】解：
在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B 中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b 不成立，故B 选项中a、b 的值可以说明命题为假命题；
在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D 中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”
成立，故D 选项中a、b 的值不能说明命题为假命题；
故选：B．
【点评】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．
5.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（）
A．∠B＝∠D＝90°B．∠BCA＝∠DCA C．∠BAC＝∠DAC D．CB＝CD
【分析】根据图形得出AC＝AC，根据全等三角形的判定定理逐个推出即可．
【解答】解：A、∵∠B＝∠D＝90°，
∴在Rt△ABC 和Rt△ADC 中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），故本选项错误；
B、根据AB＝AD，AC＝AC，∠BCA＝∠DCA 不能推出△ABC≌△ADC，故本选项正确；
C、∵在△ABC 和△ADC 中
∴△ABC≌△ADC（SAS），故本选项错误；
D、∵在△ABC 和△ADC 中
∴△ABC≌△ADC（SSS），故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6.如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝130°，AB 的垂直平分线ME 交BC 于点M，交AB 于点E，AC 的垂
直平分线NF 交BC 于点N，交AC 于点F，则∠MAN 为（）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MB，根据等腰三角形的性质得到∠MAB＝∠B，同理得到∠NAC＝∠C，结合图形计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵ME 是线段AB 的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
同理，∠NAC＝∠C，
∴∠MAB+∠NAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
7.如图所示，在4×4的方格纸中有一个格点△ABC（每个小正方形的边长为1），下列关于它的描述中，
正确的是（）
A．三边长都是有理数B．是等腰三角形
C．是直角三角形D．面积为6.5
【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再求出的结果和三角形的面积判断即可
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝5，BC＝＝，
A、AB 和BC 边为无理数，AC 边为有理数，故本选项不符合题意；
B、AB、A
C、BC 都不相等，不是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、AB2+BC2≠AC2，不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、△ABC 面积为4×4﹣﹣﹣＝6.5，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积和勾股定理，能根据勾股定理求出三边的长度是解此题的关键．
8.已知一个直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）
A．5 B．2 C．D．1
【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积．【解答】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据三角形的性质知：c＝4，
∴可得：ab＝4．
故s
＝ab＝
三角形
2．故选：B．
【点评】在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单．
9.如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，
折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据矩形的性质求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF 是△AEB 翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF 是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF 中，CF＝＝＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC 中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
10.如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10 米的高台A 上，利用旗杆OM 顶部的绳索，划过90°到达
与高台A 水平距离为17 米，高为3 米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN 是（）
A．2 米B．2.2 米C．2.5 米D．2.7 米
【分析】首先得出△AOE≌△OBF（AAS），得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7 米，求出BF＝OE＝5 米，OF＝12 米，得出CM＝CD﹣DM＝CD ﹣BF＝12 米，OM＝OF+FM＝15 米，由勾股定理求出ON＝OA＝13 米，进而求出MN 的长即可．【解答】解：作AE⊥OM 于E，BF⊥OM 于F，如图所示：
则∠OEA＝∠BFO＝90°，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE 和△OBF 中，，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF，
∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（米）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（米），
∵OE+OF＝2EO+EF＝17 米，
∴2OE＝17﹣7＝10（米），
∴BF＝OE＝5 米，OF＝12 米，
∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12（米），OM＝OF+FM＝12+3＝15（米），
由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13（米），
∴MN＝OM﹣ON＝15﹣13＝2
（米）．故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明△AOE≌△OBF 是解题的关键．
二．填空题（每小题4 分，共24 分）
11.请用不等式表示“x的4倍与3的和不大于2”：．
【分析】“x的4倍”即4x，“与3的和”即“+3”，根据“不大于2”即≤2可得答案．
【解答】解：“x的4倍与3的和不大于6”用不等式可表示为4x+3≤2，
故答案为：4x+3≤2．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
12.一个三角形的两边长分别是3 和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是19 ，最
小值是15 .
【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是奇数确定其值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得第
三根木棒的长大于4 而小10．
又∵第三根木棒的长是奇数，
则应为5，7，9．
这样的三角形的周长最大值是3+7+9＝19，最小值是3+7+5＝15
故答案为19，15
【点评】此题考查了三角形的三边关系，关键是根据第三边大于两边之差而小于两边之和解答．
13.在直角三角形中，两条直角边的长分别是8 和15，则斜边上的中线长是8.5 ．
【分析】利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【解答】解：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，
则根据勾股定理知，AB＝，
∵CD 为斜边AB 上的中线，
∴CD＝AB＝
8.5．故答案为：
8.5
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
14.已知关于x 的不等式2x﹣k≥1 的解在数轴上的表示如图，则k 的值是．
【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于k 的等式进而得出答案．
【解答】解：由数轴可知不等式2x﹣k≥1 的解集为：x≥﹣1，
2x﹣k≥1
则x≥ ，
故＝﹣1，
解得：k＝﹣
3．故答案为﹣
3．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于k 的等式是解题关键．
15.如图△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到
B，则点P 出发2，2.5，1.4 s 时，△BCP 为等腰三角形．
【分析】根据∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，利用勾股定理求出AB 的长，再分别求出BC＝BP，
BP＝PC 时，AP 的长，然后利用P 点的运动速度即可求出时间．
【解答】解；∵△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝＝＝10，
∵当BC＝BP 时，△BCP 为等腰三角形，
即BC＝BP＝6cm，△BCP 为等腰三角形，
∴AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，
∵动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动，
∴点P 出发＝2s 时，△BCP 为等腰三角形，
当点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到AB 的中点时，
此时AP＝BP＝PC，则△BCP 为等腰三角形，
点P 出发＝2.5s 时，△BCP 为等腰三角形，
当BC＝PC 时，
过点C 作CD⊥AB 于点D，
则△BCD∽△BAC，
∴，
解得：BD＝3.6，
∴BP＝2BD＝7.2，
∴AP＝10﹣7.2＝2.8，
∴点P 出发1.4s 时，△BCP 为等腰三角
形．故答案为：2；2.5；1.4．
【点评】此题主要考查勾股定理和等腰三角形的判定，解答此题的关键是首先根据勾股定理求出AB 的长，然后再利用等腰三角形的性质去判定．
16.如图，P 是等边三角形ABC 内一点，且PA＝4，PB＝2 ，PC＝2，以下五个结论：
①∠BPC＝120°；②∠APC＝120°；③S△ABC＝14 ；④AB＝；⑤点P 到△ABC 三边的距离分别为PE，PF，PG，则有PE+PF+PG＝AB，其中正确的有②④⑤
【分析】如图，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，由全等三角形的性质可得AH ＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，可证△AHP 是等边三角形，由勾股定理的逆定理可求∠HBP ＝90°，由锐角三角函数可求∠HPB＝30°，可得∠AHB＝120°＝∠APC，∠BPC＝150°，可判断①②，由勾股定理可求AB 的长，由等边三角形的面积公式可求△ABC 的面积和PE+PF+PG 的值，即可判断③④⑤．
【解答】解：如图，将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△AHB，连接HP，
∴△APC≌△AHB，∠HAP＝60°，
∴AH＝AP＝4，BH＝PC＝2，∠AHB＝∠APC，
∴△AHP 是等边三角形，
∴HP＝4，∠AHP＝∠APH＝60°，
∵HP2＝16，BH2+BP2＝16，
∴HP2＝BH2+BP2，
∴∠HBP＝90°，
∵sin∠HPB＝＝＝，
∴∠HPB＝30°，
∴∠BHP＝60°，∠APB＝∠HPB+∠APH＝90°，
∴∠AHB＝∠AHP+∠BHP＝120°＝∠APC，
∴∠BPC＝360°﹣∠APB﹣∠APC＝150°，
故①不符合题意，②符合题意，
∵∠APB＝90°，
∴AB＝＝＝，
∴S△ABC＝AB2＝7 ，
故③不合题意，④符合题意，
如图，
∵S
＝AB×PG+ AC×PF+ BC×PE＝7 ，
△ABC
∴×（PG+PF+PE）＝7
∴PG+PF+PE＝＝，
故⑤符合题意，
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三．解答题（本题有7 个小题，共66 分）
17.解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（1）6x﹣3＞2x﹣7 （2）
【分析】（1）根据不等式的性质，先去括号，然后移项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示出解集．
（2）根据不等式的性质，先去分母，再去括号，然后移项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示出解集．
【解答】解：（1）移项得：6x﹣2x＞﹣7+3，
合并同类项得：4x＞﹣4，
解得：x＞﹣1．
在数轴上表示为：
．
（2）去分母得：6﹣3（x﹣2）≤2（x+1），
去括号得：6﹣3x+6≤2x+2，
移项得：﹣3x﹣2x≤2﹣6﹣6，
合并同类项得：﹣5x≤﹣10，
解得：x≥2．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
18.如图，点E、F 在AC 上，AB∥CD，AB＝CD，AE＝CF，求证：△ABF≌△CDE．
【分析】根据等式性质得出AF＝CE，再利用平行线的性质得出∠A＝∠C，最后利用SAS 证明三角形全等即可．
【解答】证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
在△ABF 与△CDE 中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据等式性质得出AF＝CE，再利用平行线的性质得出∠A ＝∠C．
19.在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图
（1）作出AB 边上的中线CD；
（2）作出△ABC 的角平分线AE；
（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB 上的高的长度．
【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可解决问题．
（2）利用尺规作∠CAB 的角平分线即可．
（3）作CH⊥AB 于H，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，线段AE 即为所求．
（3）作CH⊥AB 于H．
在Rt△ABC 中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝13，
∵•AC•BC＝•AB•CH
∴CH＝＝．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.已知方程组的解满足x 为非正数，y 为负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|﹣|m+2|；
（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1 的解为x＞1．
【分析】首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x 为非正数，y 为负数，就可以得出m 的范围，然后再化简（2），最后求得m的值．
【解答】解：（1）解原方程组得：，
∵x≤0，y＜0，
∴，
解得﹣2＜m≤3；
（2）|m﹣3|﹣|m+2|＝3﹣m﹣m﹣2＝1﹣2m；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1 得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，∴
2m+1＜0，
∴m＜﹣，
∴﹣2＜m＜﹣，
∴m＝﹣1．
【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
21.如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB 边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE 的长．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的
腰，利用SAS 即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE＝BD，∠EAC＝∠B＝45°，所以△AED 是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE 长度．
【解答】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC．（2分）
∵∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA，
∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．（3分）
在△ACE 和△BCD 中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）
（2）解：又∠BAC＝45°
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°，
即△EAD 是直角三角形（8 分）
∴DE＝＝＝13．（10分）
【点评】本题第一问利用边角边定理证明三角形全等，第二问利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．
22.随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000
元、1700 元的A、B 两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售收入
A 种型号
B 种型号
第一周 3 台 5 台18000 元
第二周 4 台10 台31000 元（1）求A，B 两种型号的净水器的销售单价；
（2）若电器公司准备用不多于54000 元的金额在采购这两种型号的净水器共30 台，求A 种型号的净水器最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，公司销售完这30 台净水器能否实现利润为12800 元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B 两种型号净水器的销售单价分别为x 元、y 元，根据3 台A 型号5 台B 型号的净水器收入18000 元，4 台A 型号10 台B 型号的净水器收入31000 元，列方程组求解；
（2）设采购A 种型号净水器a 台，则采购B 种型号净水器（30﹣a）台，根据金额不多余54000 元，列不等式求解；
（3）设利润为12800 元，列方程求出a 的值，符合（2）的条件，可知能实现目标．
【解答】解：（1）设A、B两种净水器的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：．
答：A、B 两种净水器的销售单价分别为2500 元、2100 元．
（2）设采购A 种型号净水器a 台，则采购B 种净水器（30﹣a）
台．依题意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，
解得：a≤10．
故超市最多采购A 种型号净水器10 台时，采购金额不多于54000 元．
（3）依题意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）＝12800，
解得：a＝8，
答：采购A 种型号净水器8 台，采购B 种型号净水器22 台，公司能实现利润12800 元的目标．【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
23.如图，已知在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D 是AC 上的一点，CD＝3，点P 从B
点出发沿射线BC 方向以每秒 2 个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t．连结AP．
（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；
（2）当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值；
（3）过点D 作DE⊥AP 于点E．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE＝CD？
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC 中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2 ．
答：AP 的长为2．
（2）在Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝16，
根据勾股定理，得AB＝＝＝8
若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；
若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；
若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝
5．答：当△ABP 为等腰三角形时，t 的值为4、16、
5．
（3）若P 在C 点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t
（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82
解得：t＝5，
若P 在C 点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；
（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82
解得：t＝11
答：当t 为5 或11 时，能使DE＝CD．。