安徽省滁州市定远县民族中学2020届高三下学期5月模拟检测数学(理)试题

安徽省滁州市定远县民族中学2020届高三下学期5月模拟检
测数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{
}
2
340A x x x =--，{}ln 0B x x =，则(
)A B ⋂=R
（ ）
A ．
B ．(]0,4
C ．(]
1,4 D ．()4,+∞
2．欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，2018
3
i e π表示的复数位于复平面
中的 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布()100,100N ，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到90分为及格）（参考数据：
()0.68P X μσμσ-≤≤+≈）（ ）
A ．60%
B ．68%
C ．76%
D ．84%
4．已知圆C 经过原点O 且圆心在x 轴正半轴上，经过点()2,0N -且倾斜角为o 30的直线l 与圆C 相切于点Q ，点Q 在x 轴上的射影为点P ，设点M 为圆C 上的任意一点，
则
MN
MP
=（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．若cos 2cos 0
t t xdx =-⎰，其中()0,t π∈，则t =（ ）
A ．6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
56
π 6．《算法统宗》 中有一图形称为“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，
内方五尺外方七尺有奇． 实际上，这是一种开平方的近似计算，即用 7 近似表示
当内方的边长为5 时， 外方的边长为 略大于7．如图所示，在外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为（ ）
A ．
12
B
．
2
C ．
57
D ．
2549
7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）
A ．40
B ．43
C ．46
D ．47
8．若(12)n x x -的展开式中3
x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)n
x x
-的展开式中
各项系数的绝对值之和为（ ） A ．32
B ．81
C ．243
D ．256
9．已知实数x ，y 满足1
21y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =
（ ） A ．7
B ．5
C ．4
D ．1
10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验，受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计π的值（如图），若电脑输出的j 的值为29，那么可以估计π的值约为（ ）
A ．
7925
B ．
4715
C ．
15750
D ．3
0311(0)5125P Y C ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭ 11．函数1ln
sin 1x
y x x
-=++的图象大致为 A ． B ．
C ．
D ．
12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为
直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若122MF MF b -=，该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）
A ．2
B ．3
C ．
32
+ D ．
1
2
二、填空题
13．已知向量a ，b 满足3a =，8b =，()
3a b a ⋅-=，则a 与b 的夹角为__________． 14．数列{}n a 满足：21(1)(21)1n n n na n a n a ++++=+-，11a =，26a =，令
·cos
2
n n n c a π
=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则4n S =__________． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 16．已知函数()12y f x =+-为奇函数，()21
1
x g x x -=
-，且()f x 与()g x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则126126x x x y y y ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=______．
三、解答题
17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
sin cos a B A +=.
（1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆，b =，a c >，求a ，c . 18．已知四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，
E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为
5
，点F 在PC 上移动.
（Ⅰ）证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点F 恰为PC 的中点时，二面角C AF E --的余弦值. 19．已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2
:20C x py p =>上不同两点.
（1）设直线:4
p l y =与y
轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4
p
l y =
恰好平分AMB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124
p
y y =，是否存
在直线AB ，使得113PA PB PQ
+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.
20．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A ，B 实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A ，B 试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A ，B 两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．
附：下面的临界值表仅供参考．
（参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．）
21．已知函数()ln f x ax x x =+在2x e -=处取得极小值. （1）求实数a 的值；
（2）设()()()2
2ln F x x x x f x =+--，其导函数为()F x '，若()F x 的图象交x 轴
于两点()1,0C x ，()2,0D x 且12x x <，设线段CD 的中点为(),0N s ，试问s 是否为
()0F x '=的根？说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程为1(x cos y sin θ
θθ
=+⎧⎨
=⎩为参数).
(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线C 向左平移一个单位,再经过伸缩变换2{
x x
y y
=''=得到曲线C '，设(),M x y
为曲线C '上任一点，求2
24
x y --的最小值，并求相应点M 的直角坐标.
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数1
()1
f x x a x a =-+++（1a >-）. （1）证明：()1f x ≥；
（2）若(1)2f <，求a 的取值范围.
参考答案
1．C 【分析】
分别解出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】
由题意，集合{
}2
|340{|1A x x x x x =-->=<-或4}x >，{}{}
ln 01B x x x x ==，
[]1,4A =-R
，则()(]1,4A B ⋂=R .
故答案为C. 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及交集、补集的运算，属于基础题． 2．B 【分析】
由欧拉公式ix
e cosx isinx =+(i 为虚数单位)可得：2018
3
20182018
33
i e cos
isin πππ=+，再利用诱导公式化简，即可得到答案 【详解】
由欧拉公式ix e cosx isinx =+(i 为虚数单位)可得：
2018
3
2018201822cos 672sin 6723333i e
cos
isin i πππππππ⎛⎫⎛
⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
221cos sin cos sin 333322
i i ππππ=+=-+=-+
20183
i e
π∴表示的复数对应的点为12⎛- ⎝⎭
，此点位于第二象限
故选B 【点睛】
本题主要考查的是欧拉公式的应用，诱导公式，复数与平面内的点的一一对应关系，考查了学生的运算能力，转化能力． 3．D
【解析】
分析：先求出(90110)0.68P X ≤≤≈，再求出(90100)0.34P X ≤≤≈，最后根据正态分布求出该班数学成绩的及格率. 详解：由题得100,10.μσ==
∵()0.68P X μσμσ-≤≤+≈ ∴(90110)0.68P X ≤≤≈.
∴1
(90100)(90110)0.342
P X P X ≤≤=≤≤≈ ∵(100)0.5P X ≥=,
∴该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84. 故选D.
点睛：本题主要考查正态分布及其计算，对于这些计算，千万不要死记硬背，要结合正态分布的图像理解掌握，就能融会贯通. 4．C 【解析】
分析：根据题干写出直线方程，再利用直线与圆相切求出圆心坐标为(2,0)，写出圆的方程，
得出P 点坐标，设(,)M x y ，并将圆的方程代入
MN MP
可求得值为2.
详解：
由题可知直线:2)l y x =
+，
即20x -+=， 设圆心(,0)(0)C a a >
a =，解得2a =.
所以圆C 的方程为：2
2
(2)4x y -+=，
将:2)3
l y x =
+代入圆C 的方程，可解得1p x =，故(1,0)P ， 设(,)M x y ，则2222222222
||(2)44
||(1)21
MN x y x y x MP x y x y x +++++==-++-+，
将圆C 的方程2
2
4x y x +=代入得
222222||4484
4||2121
MN x y x x MP x y x x ++++===+-++， 所以
2MN MP
=，故选C.
点睛：已知直线方程:0l Ax By C ++=，和圆的方程222
:()()C x a y b r -+-=，且设圆
心(,)a b 到直线l 的距离为d ，则d r <⇔直线与圆相交；d r =⇔直线与圆相交. 5．C 【解析】
分析：首先求出定积分0
cos t
xdx ⎰，代入0
cos 2cos t
t xdx =-⎰
，利用二倍角公式得到关于
sin t 的方程，求出sin t ，结合t 的范围可得结果.
详解：
cos sin |sin t
t xdx x t ==⎰，
又0
cos 2cos t
t xdx =-⎰
，
cos2sin t t ∴=-，
即212sin sin t t -=-， 解得sin 1t =或1sin 2
t =-
， ()0,,2
t t π
π∈∴=
，故选C.
点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题. 6．A 【分析】
结合题意可计算出25S =内方，50S =外方，根据几何概型概率公式计算即可． 【详解】
由题意可得25S =内方，50S =外方，
则外方内随机取一点，则此点取自内方的概率为251
502
=，故选A ． 【点睛】
本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题． 7．C 【分析】
画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面ABCD ⊥平面ABEF ，
2,6,4CD AB EF ===，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,
梯形ABCD 的高为4 ,等腰梯形FEDC 5=，
三个梯形的面积之和为264624
43546222
+++⨯+⨯+⨯=, 故选C. 【点睛】
本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 8．C
由题意得44
(2)805n C n -=∴=，
()
12n
x x
-的展开式中各项系数的绝对值之和为5
(12)2431
+=，选C.
9．B
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值是1-，确定m 的取值． 【详解】
作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数z x y =-的最小值是1-，
得y x z =-，即当1z =-时，函数为1y x =+， 此时对应的平面区域在直线1y x =+的下方，
由121y x y x =+⎧⎨=-⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩
，即(2,3)A ，
同时A 也在直线x y m +=上，即235m =+=， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解
10．A 【分析】
由试验结果知100对0~1之间的随机数,a b 满足的条件，求出满足条件的点对应的平面区域的面积，由几何概型的概率公式，求得所取的点在规定区域内的概率，即可估计出结果. 【详解】
由题意知，100对0~1之间的随机数,a b 满足01
01
a b ≤≤⎧⎨
≤≤⎩，
满足221a b +≤且1a b +≥的点对应的平面区域（如图中阴影部分）的面积为
14
2
π
-
；
因为共产生了100对[]
0,1内的随机数()a b ，， 其中能使221a b +≤且1a b +≥的有29j =对， 所以
29110042π=-，解得79
25
π=. 故选A 【点睛】
本题主要考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概型的应用，属于常考题型. 11．A 【解析】
分析：先利用函数为奇函数排除选项C 、D ，再利用特殊函数值的符号排除选项B ． 详解：易知1()ln(
)sin 1x
f x x x -=++的定义域为(1,1)-， 且1()ln()sin()1x
f x x x +-=+-- 1ln()sin ()1x x f x x
+=--=--，
即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，
故排除选项C 、D ； 又1111
()ln
sin sin ln 302322
f =+=-<， 故排除选项B ，故选A ．
点睛：在已知函数的解析式判定函数的图象时，常采用排除法，往往从以下几方面进行验证： 定义域（函数的定义域优先原则）、最值、周期性、函数的奇偶性（奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于y 轴对称）或对称性、单调性（基本函数的单调性、导数法）、特殊点对应的函数值等． 12．D 【详解】
以线段12A A 为直径的圆方程为222
x y c += ,
双曲线经过第一象限的渐近线方程为b y x a
=
, 联立方程222
{x y c b
y x
a
+== ,求得(),M a b , 因为122MF MF b -= , 又2
2212
124,2MF MF c MF MF bc +==⋅
所以2
2
1212()24MF MF MF MF c ⋅=-+ 解得4210e e --= ,
由求根公式有2e =
(负值舍去).故选D. 点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解． 13．
3
π
【解析】 由题得
2213,38cos 33,24cos 12,cos ,0,.23
a b a π
ααααπα⋅-=∴⨯⨯-=∴=∴=≤≤∴=
所以a 与b 的夹角为3π.故填3
π. 14．2166n n + 【详解】
由递推关系整理可得：()()()+2+1+111n n n n n a a n a a -=+-- ，则：
()
+2+1+11
11n n n n a a a a n n n n --=-++ ，据此可得：
3221
433211
11,21
1211,3223,1
1,1
1n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n +---⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
--⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭--⎛⎫=-- ⎪--⎝⎭
以上各式相加可得：1
11
4,41n n n n a a a a n n n
++-=+∴-=+ ， 再次累加求通项可得：()2
22n a n n n =-≥ ，
当1n = 时该式也满足题意，综上可得：2
2n a n n =- ，则：
()
43424144242
43210,2232101662
n n n n n n n c c c c a a n n n S n n
----+++=-+=-+-∴=
=+
15
．【分析】
由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出1AA 的长度 【详解】
由题意，ABC 的外接圆即为球的大圆 设底面
ABC 外接圆圆心G
2GA GB GC ∴===，从而正三角形ABC 边长为设圆心O ，由题意E F ，在球面上，2OE OD ==
F 为DE 中点，则1
12
OF DE OF GD GC ⊥===，
在Rt OEF 中，2OE =，1OF =，则EF =
DE ∴=
则1AA =
故答案为【点睛】
本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题． 16．18 【分析】
由题意得函数f （x ）与g （x ）的图像都关于点()1,2对称，结合函数的对称性进行求解即可． 【详解】
函数()12y f x =+-为奇函数，∴函数()y f x =关于点()1,2对称，
()211
211
x g x x x -=
=+--，∴函数()y g x =关于点()1,2对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，
2）对称，()f x 与()g x 图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ,
两两关于点()1,2对称， 126126x x x y y y ∴++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 323418=⨯+⨯=. 故答案为18 【点睛】
本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题. 17．（1）3
B π
=，（2）7,1a c ==
【分析】
（1）由sin cos a B A =得sin sin cos A B B A C +=，然后利用
()sin sin C A B =+进行化简即可
（2）由ABC ∆的面积为4
得7ac =，然后再结合余弦定理求解即可. 【详解】
（1）因为sin cos a B A +=
所以sin sin cos A B B A C +=
所以()sin sin cos cos cos A B B A A B A B B A =+=
所以sin sin cos A B A B =
因为sin 0A ≠，所以sin B B =，即tan B =因为()0,B π∈，所以3
B π
=
（2）因为ABC ∆
所以
1sin 2ac B =
7ac =
因为b =
所以由余弦定理得：()2
22433a c ac a c ac =+-=+- 所以得8a c +=
因为a c >，所以可解得7,1a c == 【点睛】
本题考查的是正余弦定理及三角形的面积公式，较为典型.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ.
【分析】
（Ⅰ）推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，从而AE ⊥平面PAD ，由此能证明无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ．
（Ⅱ）以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C ﹣AF ﹣E 的余弦值． 【详解】 （Ⅰ）连接AC
∵底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴ABC ∆是正三角形， ∵E 是BC 中点，∴AE BC ⊥ 又AD BC ，∴AE AD ⊥
∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA AE ⊥，又PA AE A ⋂= ∴AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AE ⊥平面PAD ，
∴AME ∠就是EM 与平面PAD 所成的角，
在Rt AME ∆中，sin 5AME ∠=，即2
AE AM =，
设2AB a =，则AE =
，得AM =，
又2AD AB a ==，设2PA b =，则()0,,M a b ，
所以AM ， 从而b a =，∴2PA AD a ==，
则()0,0,0A ，)
,,0B
a -，)
,,0C
a ，()0,2,0D a ，()0,0,2P a ，
)
,0,0E
，,2a F a ⎫
⎪⎪⎝⎭
，
所以(
)3,0,0AE a =
，3,,22a AF a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
,3,0BD a =-，
设(),,n x y z 是平面AEF 一个法向量，则
00n AE n AF ⎧⋅=⇒⎨
⋅=⎩
02
2ay az ⎧=++=⎩取z a =，得()0,2,n a a =- 又BD ⊥平面ACF ，
∴()
,3,0BD a =-是平面ACF 的一个法向量，
∴cos ,n BD
n BD n BD ⋅==⋅
2
552a =
-
⋅ ∴二面角C AF E --的余弦值为
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）2
8x y =（2）AB 方程为122
p
y x =±
+． 【分析】
（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2
x 2px 2p 0-+=，
则212124p 80
{x x 2x x 2p p
p
∆=->+==， ∵直线p
y 4
=
平分AMB ∠， ∴k k 0AM BM +=， ∴
1212p p y y 440x x -
-+=，即：12121212
p p
x 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪
⎝⎭，
∴p 4
=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2
x 8y =．
（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，
由2{x 2y kx b py
=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{
x x 2x x 2pb pk
pb
∆=+>+==-，
∴()2
22
212
122
2pb x x y y ?b 2p 2p 4p -==
=， ∵212p y y 4
=， ∴22
p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．
∴直线AB 的方程为：p
y kx 2
=+
． 假设存在直线AB ，使得
113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB
+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，
∴121212
p p
PQ PQ OQ OQ y y p 22·
PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='， ∵()2
1212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4
=，
∴222PQ PQ
p 2pk p
·4k 2
p PA PB 2
4
++==+，由24k 23+=，得1k 2
=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22
=±+． 【详解】
20．（1）0.040a =，82.5；（2）分布列见解析，9
5
EX =；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系. 【分析】
（1）根据各段的频率之和为1，可得a ，然后假设中位数，并根据在中位数的左右两边的频率均为0.5，简单计算，可得结果.
（2）假设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X ，可知3~35X B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，然后计算相对应颗数的概率，画出分布列，最后根据期望的计算公式，可得结果.
（3）先计算出优质花苗的频率，然后可得优质花苗的颗数，进一步得出其他的数据，最后计算2K ，根据表格进行比较，可得结果. 【详解】
（1）由0.005100.010100.02510100.020101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得0.040a =．
令得分中位数为x ，由()0.020100.040900.5x ⨯+⨯-=， 解得82.5x =．
故综合评分的中位数为82.5． （2）由（1）与频率分布直方图 ，
优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯= ，即概率为0.6， 设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X ，则3~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
()30
3
2805125
P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；()2
1
33236155125P X C ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭； ()2233254255125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；()3
3332735125
P X C ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭． 其分布列为：
所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望39355
EX =⨯=． （3）结合（1）与频率分布直方图， 优质花苗的频率为()0.040.02100.6+⨯=，
则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：
可得()221002*********.667 6.63560405050
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯． 所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查了分布列以及二项分布，还考查了统计量2K 的计算，重在于掌握公式，考验对数据的处理，属基础题.
21．（1）1a =；（2）s 不是()0F x '=的根，理由见解析.
【分析】
（1）求出()ln 1f x a x '=++，由()20f e
-'=可得1a =，再检验是否符合题意即可； （2）由（1）知函数()22ln F x x x x =--，由21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=，
令12x t x =，1202x x F +⎛⎫'= ⎪⎝⎭化为()21ln 01
t t t --=+，构造函数，利用导数研究其单调性，根据单调性可得结论.
【详解】
（1）∵()ln f x ax x x =+
∴()ln 1f x a x '=++
由已知得()2
0f e -'=，2ln 10a e -++=，1a =. ∴()ln 2f x x '=+ ∴()f x 在()20,e -上单调递减，在上()2,e -+∞单调递增
∴()f x 在2x e -=处取得极小值，符合题意，故1a =.
（2）由（1）知函数()2
2ln F x x x x =--. ∵函数()F x 图象与x 轴交于C ，D 两个不同点
∴21112ln 0x x x --=，22222ln 0x x x --=，两式相减整理得：
()121212
2ln ln 1x x x x x x -+=+-. ∵()221F x x x
'=-
- ∴()()121212112121212122
122ln ln 24421ln 2x x x x x x x F x x x x x x x x x x x x x --⎡⎤+⎛⎫'=+--=-=-⎢⎥ ⎪+-+-+⎝
⎭⎣⎦ 令1202x x F +⎛⎫'= ⎪⎝⎭
，即()0F s '=. ∵12
20x x ≠- ∴()121212
2ln 0x x x x x x --=+ 令12x t x =
. ∵120x x <<
∴01t <<
∴()21ln 01
t t t --=+ 设()()21ln 1t u t t t -=-+，则()()()()
22211411t u t t t t t -'=-=++. ∵01t <<
∴()0u t '
> ∴()u t 在()0,1上是增函数
∴()()10u t u <=
∴()0u t =无解，即()0F s '≠.
∴s 不是()0F x '=的根
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
22．（I ）2cos ρθ=;（Ⅱ）2-， M 的坐标为或(1,-. 【解析】
试题分析：（I ）消参得曲线C 的普通方程为()2211x y -+=⇒曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ= ；（Ⅱ）利用变换公式求得曲线C '的直角坐标方程为2214
x y += ，再利用参数法结合三角函数求得最值及相应坐标.
试题解析：
（I ）由 1{x cos y sin θ
θ=+=（θ为参数）得曲线C 的普通方程为()2
211x y -+= 得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.
（Ⅱ）()2211x y -+=，向左平移一个单位再经过伸缩变换2{x x y y
=''=得到曲线C '的直角坐标方程为2
214
x y +=，设()2cos ,sin M αα，则2
222cos cos sin 4
x y a a αα-=--
cos22cos 23a παα⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭
当3k π
απ=+时，2
24
x y --的最小值为2-，
此时点M 的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.
【点睛】本题考查参数极坐标方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.在极坐标方程与直角坐标方程互化中应紧扣公式进行转化，在求最值时应注意借助参数思想解题，可以大大降低计算量和求解效率.
23．（1）证明见解析 （2a << 【解析】
试题分析：（1）由()111112111
f x x a x a x x a a a a =-++≥-++=++-≥+++ 11-=⇒()1f x ≥；
（2）原不等式可化为11121a a -++<+，由10a +>得1a - 1
a a <+ （*），当10a -<≤时，不等式（*）无解，当0a >时，
22110
a a a a a ⎧--<<<⎨+->⎩. 试题解析：
（1）证明：因为()11111111f x x a x a x x a a a a =-++≥-++=++-+++， 又1a >-，所以1112111
a a ++
-≥-=+ 所以()1f x ≥. （2）解：()12f <可化为11121a a -++
<+， 因为10a +>，所以11
a a a -<+ （*） ①当10a -<≤时，不等式（*）无解. ②当0a >时，不等式（*）可化为111a a a a a -
<-<++，
即221010a a a a ⎧--<⎨+->⎩a <<，
综上所述，1122a <<。