浙教版九年级数学上册4.4.1两个三角形相似的判定(一)课件
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(1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥ BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝ 180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(10 分)如图，已知∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件，使 得△ABC∽△ADE，并说明理由． 解：添加的条件可以是∠B＝∠D 或∠C＝∠AED.理由如 下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋ ∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽ △ADE.或者∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠ CAE＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE.
9，∴ADA＋D10＝39，∴AD＝5，∴AB＝15，∴ABCB＝195＝35.
9.(4 分)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，AB＝AC，AD 交
BC 于点 E，AE＝3，ED＝4，则 AB 的长为 (C )
A.3 B4 分)如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，DE∥AB 交 AC
,第4题图)
5．(4分)如图，点D是△ABC中AC边上的一点，
(1)若∠1＝_∠__A_，则△CBD∽△CAB； (2)若∠2＝_∠_C_B_A_ ，则△CBD∽△CAB.
6．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB 于点 E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB ＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
15．(12 分)已知在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如 图①)或线段 AB 的延长线(如图②)于点 P.
(1)当点 P 在线段 AB 上时，求证：△AQP∽△ABC； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长．
4.4两个三角形相似的判定
第1课时 两个三角形相似的判定(一)
1．(4 分)如图所示，△ABC 中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB
＝3，则 BC 的长是 ( C)
135 7 A.2 B.2 C.2 D.2
,第1题图)
2．(4 分)如图所示，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有 (B )
A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对
求证：(1)∠EAF＝∠B； (2)AF2＝FE·FB.
证明：(1)∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C.又∵∠EAF＝∠C，∴∠EAF＝∠B
(2)∵∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠AFB，∴△AFE∽△BFA， ∴ABFF＝AFEF，即 AF2＝BF·FE.
14．(12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC， 垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
,第2题图)
3．(4 分)如图，∠A＝∠C，AO＝3，CO＝5，CD＝10，则 AB＝ (D )
A．3 B．4 C．5 D．6
,第3题图)
4．(4 分)如图，已知 DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的
是 (C)
A.AADB＝AACE EF＝EFBA
C.BDCE＝ABDD D.AEBF ＝CCBF
8．(10 分)如图，已知：在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别 在边 AB，AC 上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求AADB的值；
(2)若 BD＝10，求ABCB的值． 解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AADB＝BDCE.又∵DE＝3，
BC＝9，∴AADB＝39＝13 (2)根据(1)中AADB＝BDCE得ADA＋DBD＝BDCE.∵BD＝10，DE＝3，BC＝
∠ ∠AADFDF＝ ＝∠ ∠CD，EC.∴△ADF∽△DEC
(2)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△
DEC，∴ADDE＝CADF，∴DE＝ADA·FCD＝6
3×8＝12.在 43
Rt△ADE
中，由勾
股定理得 AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6.
∠∠AADFDF＝＝∠∠CD，EC.∴△ADF∽△DEC (2)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽ △DEC，∴ADDE＝CADF，∴DE＝ADA·FCD＝6 43×3 8＝12.在 Rt△ADE
中，由勾股定理得 AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6.
＝P4B，解得 PB＝43.∴AP＝AB－PB＝3－43＝53.②当点 P 在线段 AB 的延长 线上时，(如图 2 所示)只能是 PB＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB ＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP， 即点 B 为线段 AP 中点，∴AP＝2AB＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角
于点 E，如果AECE＝23，那么AACB＝ ( B )
122 3 A.3 B.3 C.5 D.4
,第10题图)
11．(4 分)如图，锐角三角形 ABC 的边 AB，AC 上的高线 EC， BF 相 交 于 点 D ， 请 写 出 图 中 的 两 对 相 似 三 角 形 答案不唯一，如△ABF∽△DBE 或△ACE∽△DCF 或
△EDB∽△FDC ．(用相似符号连结)
,第11题图)
12．(4 分)如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件
__∠_D__＝__∠_B__或__∠__A_E_D__＝__∠__C____，使得△ABC∽△ADE.
,第12题图)
13.(10 分)如图所示，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 EC 上一点，连结 AF，且∠EAF＝∠C.
形时，AP 的长为53或 6.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午11时11分50秒23:11:5022.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午11时11分22.4.1223:11April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二11时11分50秒23:11:5012 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
证明：(1)∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠APQ＝ ∠C，在△AQP 与△ABC 中，∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△ AQP∽△ABC.
(2)在 Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得 AC＝5.①当点 P 在线 段 AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角 形时，只可能是 PB＝PQ，由(1)可知△AQP∽△ABC，∴APAC＝BPQC，即3－5PB
14．(12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC， 垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥ BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝ 180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(10 分)如图，已知∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件，使 得△ABC∽△ADE，并说明理由． 解：添加的条件可以是∠B＝∠D 或∠C＝∠AED.理由如 下：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋ ∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠B＝∠D，∴△ABC∽ △ADE.或者∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠ CAE＋∠BAE，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE.
9，∴ADA＋D10＝39，∴AD＝5，∴AB＝15，∴ABCB＝195＝35.
9.(4 分)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，AB＝AC，AD 交
BC 于点 E，AE＝3，ED＝4，则 AB 的长为 (C )
A.3 B4 分)如图，已知 AD 为△ABC 的角平分线，DE∥AB 交 AC
,第4题图)
5．(4分)如图，点D是△ABC中AC边上的一点，
(1)若∠1＝_∠__A_，则△CBD∽△CAB； (2)若∠2＝_∠_C_B_A_ ，则△CBD∽△CAB.
6．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB 于点 E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB ＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
15．(12 分)已知在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点 Q 是线段 AC 上的一个动点，过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB(如 图①)或线段 AB 的延长线(如图②)于点 P.
(1)当点 P 在线段 AB 上时，求证：△AQP∽△ABC； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长．
4.4两个三角形相似的判定
第1课时 两个三角形相似的判定(一)
1．(4 分)如图所示，△ABC 中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB
＝3，则 BC 的长是 ( C)
135 7 A.2 B.2 C.2 D.2
,第1题图)
2．(4 分)如图所示，DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有 (B )
A．4 对 B．3 对 C．2 对 D．1 对
求证：(1)∠EAF＝∠B； (2)AF2＝FE·FB.
证明：(1)∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C.又∵∠EAF＝∠C，∴∠EAF＝∠B
(2)∵∠EAF＝∠B，∠EFA＝∠AFB，∴△AFE∽△BFA， ∴ABFF＝AFEF，即 AF2＝BF·FE.
14．(12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC， 垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
,第2题图)
3．(4 分)如图，∠A＝∠C，AO＝3，CO＝5，CD＝10，则 AB＝ (D )
A．3 B．4 C．5 D．6
,第3题图)
4．(4 分)如图，已知 DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的
是 (C)
A.AADB＝AACE EF＝EFBA
C.BDCE＝ABDD D.AEBF ＝CCBF
8．(10 分)如图，已知：在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别 在边 AB，AC 上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求AADB的值；
(2)若 BD＝10，求ABCB的值． 解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AADB＝BDCE.又∵DE＝3，
BC＝9，∴AADB＝39＝13 (2)根据(1)中AADB＝BDCE得ADA＋DBD＝BDCE.∵BD＝10，DE＝3，BC＝
∠ ∠AADFDF＝ ＝∠ ∠CD，EC.∴△ADF∽△DEC
(2)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△
DEC，∴ADDE＝CADF，∴DE＝ADA·FCD＝6
3×8＝12.在 43
Rt△ADE
中，由勾
股定理得 AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6.
∠∠AADFDF＝＝∠∠CD，EC.∴△ADF∽△DEC (2)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽ △DEC，∴ADDE＝CADF，∴DE＝ADA·FCD＝6 43×3 8＝12.在 Rt△ADE
中，由勾股定理得 AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3）2＝6.
＝P4B，解得 PB＝43.∴AP＝AB－PB＝3－43＝53.②当点 P 在线段 AB 的延长 线上时，(如图 2 所示)只能是 PB＝BQ，∴∠BQP＝∠P，∵∠BQP＋∠AQB ＝90°，∠A＋∠P＝90°，∴∠AQB＝∠A，∴BQ＝AB，∴AB＝BP， 即点 B 为线段 AP 中点，∴AP＝2AB＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角
于点 E，如果AECE＝23，那么AACB＝ ( B )
122 3 A.3 B.3 C.5 D.4
,第10题图)
11．(4 分)如图，锐角三角形 ABC 的边 AB，AC 上的高线 EC， BF 相 交 于 点 D ， 请 写 出 图 中 的 两 对 相 似 三 角 形 答案不唯一，如△ABF∽△DBE 或△ACE∽△DCF 或
△EDB∽△FDC ．(用相似符号连结)
,第11题图)
12．(4 分)如图，∠DAB＝∠CAE，请你再补充一个条件
__∠_D__＝__∠_B__或__∠__A_E_D__＝__∠__C____，使得△ABC∽△ADE.
,第12题图)
13.(10 分)如图所示，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 EC 上一点，连结 AF，且∠EAF＝∠C.
形时，AP 的长为53或 6.
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二下午11时11分50秒23:11:5022.4.12
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午11时11分22.4.1223:11April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二11时11分50秒23:11:5012 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
证明：(1)∵∠A＋∠APQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠APQ＝ ∠C，在△AQP 与△ABC 中，∵∠APQ＝∠C，∠A＝∠A，∴△ AQP∽△ABC.
(2)在 Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得 AC＝5.①当点 P 在线 段 AB 上时，如题图①所示．∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角 形时，只可能是 PB＝PQ，由(1)可知△AQP∽△ABC，∴APAC＝BPQC，即3－5PB
14．(12 分)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC， 垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥ BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝ 180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，