基于蒙特卡洛法的结构可靠性分析

基于蒙特卡洛法的结构可靠性分析
王元帅;刘玉石;朱宜生
【摘要】传统的结构分析方法常采用安全系数法,然而安全系数法没有考虑各参数的随机特性,只是将所有参数考虑为确定值,为了确定各参数的随机性对结构分析结果的影响,本文利用蒙特卡洛法进行结构可靠性分析.方法:通过ANSYS自带的概率有限元分析模块PDS,利用APDL参数化建模方法建立分析文件,结合蒙特卡洛模拟抽样,计算结构可靠度及灵敏度等参数.通过孔板这一典型工程算例计算其可靠度,计算结果显示在给定的边界条件下及载荷下,孔板结构的可靠度为94.4％.利用PDS 模块结合蒙特卡洛法对结构进行可靠性分析具有一定的实用性和有效性.
【期刊名称】《环境技术》
【年(卷),期】2018(036)005
【总页数】6页(P41-45,57)
【关键词】蒙特卡洛法;结构可靠性分析;ANSYS-PDS
【作者】王元帅;刘玉石;朱宜生
【作者单位】中国船舶重工集团第七二三研究所,扬州 225001;中国船舶工业电工电子设备环境与可靠性试验检测中心,扬州 225001;中国船舶重工集团第七二三研究所,扬州 225001;中国船舶工业电工电子设备环境与可靠性试验检测中心,扬州225001;中国船舶重工集团第七二三研究所,扬州 225001;中国船舶工业电工电子设备环境与可靠性试验检测中心,扬州 225001
【正文语种】中文
【中图分类】TQ051.3
1 结构可靠性分析
传统的结构设计方法安全系数法没有考虑结构分析中各参数的变异性，将所有参数均考虑为确定值，因而具有一定的局限性[1]。

根据概率统计学原理以及实际工程
情况，结构分析中的各参数均具有一定的不确定性及随机性，结构可靠性分析就是一种考虑各参数随机特性的结构分析方法。

考虑了结构的几何尺寸、载荷特性、材料属性、加工过程及工作环境中的各种不确定性[2]，将结构强度、结构载荷及几
何尺寸等参数视为随机变量，因此作为一种现代结构设计方法逐渐得到学者的重视。

近年来国内高校方面，南京航天航空大学的李应波在结构疲劳计算中运用了随机有限元法，利用PATRAN参数化建模方法通过蒙特卡洛仿真进行了疲劳可靠性分析[3]；吉林大学的李响铸应用ANSYS的PDS模块进行汽车拉杆、偏心孔板、工字
钢梁等结构的可靠性分析及灵敏度分析[4]；重庆交通大学的庹奎应用蒙特卡洛随
机有限元法和响应面随机有限元法分别对机器人小臂的结构可靠性进行了分析，并计算了动态可靠性问题[5]。

结构可靠性分析的目的是为了检验结构在规定的载荷和边界条件下是否满足规定的可靠性，进而求解结构在规定载荷与边界条件下的可靠度。

在进行结构可靠性分析时，综合考虑结构分析过程中的各项影响因素，把有关因素均作为基本变量来考虑，从而建立起结构的功能函数[6]，如下式：
其中随机变量表示影响结构功能的各种因素，如结构的尺寸、承受载荷、材料属性等。

功能函数的取值严格地把结构区分为三种不同的状态：
结构的可靠度是功能函数大于0时的情况，表示为：
影响结构功能的基本变量按照其性质，可分为两个基本随机变量，即强度变量R 和应力变量S，则结构功能函数简化为：
因此，求解一个结构系统的可靠度实际上就是求解功能函数g（X）≥0的概率。

结构的失效准则一般采用“应力-强度干涉模型”，即
当g(X)>0时，表示结构可靠，对应的概率用Ps表示，即结构的可靠度；当
g(X)<0时，表示结构失效，对应失效概率Pf。

如果强度随机变量和应力随机变量相互独立，设 fR(r) fS(s)为随机变量R、S的概率密度函数，则结构的可靠度Ps 应为：
失效概率：
可靠性指标定义为：
通过可靠性指标，可以查找标准正态分布表推算结构的可靠度，当随机变量服从正态分布时，有：。

式中，Φ(⋅)是标准正态函数，见图1。

由图1中可以看出，β与失效概率成反比关系，β越小，结构的失效概率越大。

假设强度随机变量和应力随机变量相互独立且服从正态分布，则可靠性指标如下式所示：
可靠性指标与结构的强度随机变量和应力随机变量的均值和标准差均有关，二者的变异性越小，则可靠性指标越大，结构的失效概率越小，可靠度越高；相反，如果二者的变异性大，则可靠性指标越小，结构的失效概率越大，可靠度越小[7]。

2 蒙特卡洛法
结构可靠性分析中最常用到的是蒙特卡洛法，蒙特卡洛法基于大数统计原理，利用随机变量的统计计算、抽样模拟来求解数理领域近似解的数值计算方法，也是求解结构可靠性问题最精确有效的一种分析方法[8]。

图1 正态分布函数
蒙特卡洛模拟技术中的一个仿真循环代表一个完整的结构受力分析的过程，每一次的循环仿真中该结构都承受一次不同载荷和边界条件的作用，因而可以模拟得到结构应力的分布，计算结构的可靠度。

在ANSYS自带的概率有限元分模块中，蒙特卡罗技术有两种抽样方式可供选择，分别是直接抽样法和拉丁超立方抽样法（LHS），其中LHS法由于其抽样原理是将整个抽样空间离散成一个个子区间，
在每个子区间分别抽取一个样本，具有“记忆功能”，避免重复抽样，因此LHS
法应用十分广泛[9]。

蒙特卡洛计算结构的可靠度过程如下：
1）建立计算模型
根据应力-强度干涉模型建立结构的功能函数，并将功能函数作为蒙特卡洛循环模
拟的对象。

2）确定参数的统计特性
根据数理统计方法和已有的统计数据，确定各随机变量的概率分布和具体统计参数，如均值、标准差等
3）循环抽样
利用蒙特卡洛法独有的直接抽样法或拉丁超立方抽样法得到结构可靠性分析的一组样本值作为可靠度计算的输入变量参数，这是蒙特卡洛模拟技术最重要的一步。

4）可靠度计算
将上一步采集的样本值代入：
求出Z的值，Z大于零表示可靠，记为1；Z小于零表示结构失效，记为0。

统计的计算值，假定N样本中Z≤0的数目为L，则结构的失效概率：Pf=L/N。

3 ANSYS-PDS模块
PDS作为ANSYS中嵌入的结构可靠性分析模块，是在已有的有限元仿真结果基础上，采用概率统计方法，研究模型各主要参数（结构尺寸、材料属性）对有限元模型的结构强度及变形等影响深度的过程[10]。

PDS模块主要解决如下问题：
1）当考虑有限元模型参数的随机分布时，确定有限元结果的变化范围及响应参数的置信度水平；
2）基于输入参数的随机性对响应参数不确定性的影响，确定模型在满足设计标准前提下的可靠度及失效概率；
3）计算输出响应的灵敏度参数，将各参数对有限元模型的影响系数按照贡献度进行排序，确定引起模型失效的最主要因素，对其调整参数进行优化设计。

PDS可靠性分析的具体流程如下：
1）参数化建立分析文件。

运用ANSYS中的APDL语言对有限元模型的尺寸参数及材料属性进行命令编写，形成一套完整的可靠性分析命令流，最后对分析结果添加输出参数的提取命令即可。

2）设置可靠性分析输入输出参数。

在ANSYS中输入参数的分布类型包括了WEIB分布、GAUSS分布等十种分布函数可根据计算需求选择；输出参数主要选取功能函数结果与最大等效应力；分析方法主要是蒙特卡洛法与响应面法。

3）可靠性分析后处理环节。

主要有输入参数的灵敏度分析，研究在可靠性分析过程中各输入参数对仿真结果的贡献度及彼此之间的相互影响；输出参数的可靠性分析，主要研究应力及位移的分布区域及极限值集中部位，得到可靠度。

在运用ANSYS- PDS模块对有限元模型进行可靠性分析过程中，重点在于编写
APDL命令流分析文件，对模型主要结构参数及材料属性进行参数化建模，在此基础上确定输入参数的数学期望及变化范围，之后通过各参数的联动变化循环计算有限元模型得出可靠性分析结果。

分析文件是整个有限元分析的命令流基础上，在结尾添加提取命令以及建立功能函数，分析文件的建立是整个PDS仿真循环中最重要的步骤[11]。

4 算例
以平板开孔问题为例，介绍应用PDS模块计算结构可靠度的问题。

厚度为 t、宽度为w、长度为l 的板条，中心有一个半径为r 的圆孔，材料强度为S，弹性模量为E，孔板承受沿长度方向的载荷p。

l、w、t 、r、p、E为结构功能函数基本随机变量，均服从正态分布，均值和标准差分别为 l=(100,0.5) mm，w=(60,0.4) mm，r=(10,0.15) mm，p=(80,8) MPa，S=(300,30) MPa，E=(210 000,6 300)MPa。

采用APDL参数化建模方式在ANSYS环境下建立模型，采用mm-MPa制单位，平板结构采用壳体单元SHELL181，边界条件设置在平板一边固支，网格在ANSYS中自动划分，单元模型如图2，计算结果显示，应力最大位置出现在开孔附近，最大值为223.4 MPa，应力云图如图3。

图2 网格模型
图3 应力云图
接下来进入PDS模块，将上述随机输入变量输入到软件中，输出变量为最大等效应力MAXSTR以及功能函数结果Z，采用蒙特卡洛法模拟抽样200次，部分关键命令流如下：
200次蒙特卡洛模拟循环结束后进入后处理阶段，查看所有随机输入变量、随机
输出变量的抽样过程，包括样本点曲线、样本点均值曲线、累积分布直方图、结构可靠度、输出变量灵敏度、散点图等模拟结果见图4、图5。

从图4可以看出随机输入变量的各项随机指标，以L为例，其均值（MEAN）为100 mm，标准差（STDEV）为0.5，最小值（MIN）98.7 mm，最大值（MAX）为101 mm。

从图5中可以看出长度参数L在进行了50次抽样后均值开始收敛，数据趋于稳定，说明蒙特卡洛模拟循环次数足够多。

孔板结构的可靠度由功能函数Z决定，当Z＜0时的概率见图6。

从图6中可以看出，经过200次抽样模拟，极限状态函数Z的均值为74 MPa，
最大值为211 MPa，最小值为-27.4 MPa。

在95 %的置信区间下，Z<0的概率
值为0.056，即通海阀箱消声器的失效概率为5.6 %，可靠度R=94.4 %。

图4 L样本点曲线
从图7、图8可以查看输出参数灵敏度，灵敏度可以了解对结构可靠性影响最大的输入变量及其相关性。

从功能函数Z的灵敏度饼图7中可以看出，对结构可靠性
影响最大的因素是结构的强度S、板厚T、压力P以及孔径R，S、T的灵敏度为正，与结构可靠性呈正相关；P、R的灵敏度为负，与结构可靠性呈负相关，相关
性散点图如图9、图10所示。

最大应力MAXSTR灵敏度的分析同理。

图5 L样本均值抽样曲线
图6 孔板可靠度
图7 Z灵敏度
图8 MAXSTR灵敏度
图9 MAXSTR灵敏度
图10 S-Z散点图
5 结论
本文介绍了基于蒙特卡洛法的结构可靠性分析方法，通过孔板这一工程实例，在
ANSYS环境下利用APDL语言参数化建模，在ANSYS自带的概率有限元分析模块中对结构可靠度进行计算，得到结构应力可靠度、灵敏度等信息，直观地显示了设计参数对结构应力的响应程度，具有一定的工程应用价值。

参考文献:
【相关文献】
[1]武清玺. 结构可靠性分析及随机有限元法[M]. 北京:机械工业出版社, 2005.
[2]许卫宝. 机械产品可靠性设计与试验[M]. 北京:国防工业出版社,2015.
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[4]李响铸. 基于ANSYS软件PDS模块机械零件状态函数灵敏度分析[D]. 长春:吉林大学,2008.
[5]庹奎. 基于随机有限元法的机械零部件静动态可靠性分析[D]. 重庆:重庆交通大学,2015.
[6]姜封国. 结构系统基于可靠性的优化设计研究[D]. 哈尔滨:哈尔滨工程大学, 2009.
[7]曾声奎. 可靠性设计与分析[M]. 北京:国防工业出版社,2011.
[8]陈亮. 基于有限元方法的结构可靠性设计[D]. 南京:东南大学,2006.
[9]Freudenthal. A M. The safety of structures [J]. Trans.Anl.Soe.C.E.,112,(1947):125-180.
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[11]王哲君, 强洪夫, 常新龙,等. 结构可靠性仿真方法研究[J]. 力学与实践, 2014, 36(1):9-22.
[12]张学军,林延鑫,吴飒,王也.结构可靠性的概率设计法综述[J].装备环境工程, 2016,13(3):161-168.。