珠海市高三数学文科模拟题

珠海市高三数学文科模拟题
高三数学（文科）试题
2007．1
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：
圆锥表面积公式：()S r r l π=+（r 为底面半径，l 为母线长） 三棱锥体积公式：1
3
V Sh =
（S 为底面面积，h 为高） 导数公式：[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+，(cos )sin x x '=-
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题10个小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。

1．01x <<是2
01x <<的
（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 一容量为20的样本，其频率分布直方图如右， 则样本在)60,30[上的概率为
（A ）0.75 （B ）0.65 （C ）0.8 （D ）0.9
3. 如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的 等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心， 那么那个几何体的全面积为
（A ）π （B ）π3 （C ）π2 （D ）3+π
4．函数()(1)||x x
f x a a x =⋅>的图象的大致形状是
（A ） （B ） （C ） （D ）
(D)(C)(B)(A)O
O
O O
x
x
x
x
y y y y
俯视图
左视图
正视图
5. 在下面的程序框图中，输出的数s =
（A ）25 （B ）30
（C ）55 （D ）91
6. 点(3，1)和点(46)-，在直线320x y a -+=两侧，则a 的范畴是
（A ）724a a <->或（B ）724a -<<（C ）724a a =-=或（D ）247a -<< 7. 2
2
sin 2sin cos 3cos y x x x x =++的最小正周期和最小值为 （A ）π，0 （B ）2π，0 （C ）π，2 （D ）2π，2
8．直线:0l x -=与圆22
:40C x y y +-=交于A B 、二点，则ABC ∆的面积为
（A ）3 （B （C ） （D 9．(30)(03)(cos )(0)A B C O αα点，，，，，sin ，，0，若||13(0,)OA OC απ+=∈，则OB OC 、
夹角为 （A ）
2π （B ）4π （C ）3π （D ）6
π 10．对任意实数a b 、，定义运算*“”
为：,,a a b
a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
，则
122
()[log (32)](log )f x x x =-*的值域是（ ）
（A ）[0,)
+∞ （B ）(,0]-∞ （C ）2
2(log ,1)3 （D ）22
(log ,)3
+∞
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，其中第11-13题为必做题，每题5分，共15分；第14-15题为选做题，从中选做1题，每题5分，共5分。

11．cos y x x =在3
x π=
处的导数值是___________．
12．已知f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足)(1
)2(x f x f -=+，1(1)8
f =-， 则f (2007)=___________． 13．已知等式sin 4cos cos 24sin αααα⋅=
，sin8cos cos 2cos 48sin α
αααα
⋅⋅=，……，请你
写出一个具有一样性的等式，使你写出的等式包含了已知等式（不要求证明），那么那个 等式是：____________________________________________．
选做题：从以下2个小题中选做1题（只能做其中1题，做2个的，按得分最低的一道记分）．
14．（几何证明选讲选做题）从不在⊙O 上的一点A 作直线交⊙O 于B 、C 两点，且AB ·AC =60，
OA =8，则⊙O 的半径等于____________．
15．（坐标系与参数方程选做题）点P(－3，0)到曲线)(22
R t t
y t x ∈⎪⎩⎪
⎨⎧==其中参数上的点的最短
距离为__________．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解承诺写出文字说明、演算步聚或推证过程．
16．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．(1)若从口袋中随机地摸出一个球，求恰好是白球的概率；(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球，求恰好差不多上白球的概率．
17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三边长分别为6,5,7===CA BC AB ． （1）求BA BC 的值；
（2）求2
2(sin cos )sin 222cos cos cos A C A C
B A B C
+--的值．
18．（本小题满分14分） 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
E 、
F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11BC D ；
（2）求证：1EF B C ⊥；
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A
A 1
（3）求三棱锥EFC B V -1的体积．
19．（本小题满分14分）已知函数),,(32)(23R c b a cx bx ax x f ∈+-=的图象关于原点对
称，且当1=x 时，3
2)(取极小值－x f ．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）当[]11
，-∈x 时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
20．（本小题满分14分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆的离心率是2
，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为A ，P 是椭圆上且位于第一象限的任意一点，//AB OP ，点B 在椭圆上，R 为直线AB 与y 轴的交
点，证明：2
2AB AR OP =．
21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的每一项差不多上正数，满足,21=a 且
022121=--++n n n n a a a a ；等差数列{
}n b 的前n 项和为n T ，32=b ，525T =． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）比较
n
T T T 1
1121+++ 与2的大小； （3）若c a b a b a b n
n <+++ 22
11恒成立，求整数c 的最小值．
珠海市2006-2007学年度第一学期期末中学教学质量调研监测
高三数学（文科）参考答案及评分标准
第一部分 选择题（共50分）
二、选择题：本大题10个小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。

第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5个小题，其中第11-13题为必做题，每题5分，共15分；第14-15题为选做题，从中选做1题，每题5分，共5分。

11．12 12．8 13．1
sin 2cos cos 2cos 22sin n n n α
αααα
-⋅=(n 换成其它字母也对)
选做题：从以下两个小题中选做一题（只能做其中一题，做两个的，按得分最低的一道记分）．
14．（几何证明选讲选做题）2或 15．（坐标系与参数方程选做题）3
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解承诺写出文字说明、演算步聚或推证过程． 16．（本小题满分12分）一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．(1)若从口袋中随机地摸出一个球，求恰好是白球的概率；(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球，求恰好差不多上白球的概率． 解：（1）用a 、b 、c 、d 、e 分别表示五个球，其中a 、b 表示两个白球，c 、d 、e 表示三个黑球．现从口袋中随机地摸出一个球，其差不多事件有以下五种： {a}，{b}，{c}，{d}，{e}；…(2分)
设恰好是白球的事件为A,其中A 包括两个差不多事件：{a}，{b}．…(4分) A 事件的概率P （A ）=
2
5
．…(5分) 答：若从口袋中随机地摸出一个球，恰好是白球的概率为
2
5
．…(6分) （2）若从口袋中一次随机地摸出两个球，其差不多事件有以下十种：
{a ，b}，{a ，c}，{a ，d}，{a ，e}，{b ，c}，{b ，d}，{b ，d}，{c ，d}，{c ，e}，{d ，e}； …(8分)
设恰好差不多上白球的事件为B ，它包括的差不多事件有一个：{a ，b}．…(10分) B 事件的概率P （B ）=
1
10
．…(11分) 答：若从口袋中一次随机地摸出两个球，恰好差不多上白球的概率为
1
10
．…(12分) 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，三边长分别为6,5,7===CA BC AB ．
（1）求BA BC 的值；
（2）求
2
2(sin cos )sin 222cos cos cos A C A C
B A B C
+--的值． 解：（1）cos BA BC BA BC B = …(1分)
22249253619cos 227535
AB BC AC B AB BC +-+-===⨯⨯…(3分)
19
75cos 751935
BA BC B ∴=⨯⨯=⨯⨯=…(5分) （2）.
B 为三角形内角,(0,),sin 0
B B π∈>
sin B ∴==
=…(6分) ∴原式2
2'2sin cos (sin cos )227cos cos cos A C A C
B B A B C
+--=
'1cos()1cos()2sin [)]
229cos cos A C A C B A C
-++--= =sin [cos()cos()]
cos cos B A C A C A C
-+--…(10分)
sin (cos cos sin sin cos cos sin sin )
cos cos B A C A C A C A C A C
-++=-
2sin B =-…(
11分)
35
=-
…(12分) 18.（本小题满分14分） 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
E 、
F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11BC D ；
（2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积．
解：
（1）连接1B D ，已知E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． EF 是三角形BD 1D 的中位线，∴EF//BD 1；…(3分)
又11EF BD C ⊄面，111BD BD C ⊂面，∴EF//面BD 1C 1…(5分) （2）连接1B D 、BC 1，
C
D
B
F
E
D 1
C 1
B 1
A A 1
正方体中，D 1C 1⊥面BCC 1B 1，BC 1⊂面BCC 1B 1，因此D 1C 1⊥ B 1C …(6分) 在正方形BCCB 中，两对角线互相垂直，即BC 1⊥B 1C ，…(7分) D 1C 1 、BC 1⊂面BC 1D 1，因此B 1C ⊥面BC 1D 1…(8分) BD 1⊂面BC 1D 1，因此有B 1C ⊥ BD 1，…(9分) 在（1）已证：EF//BD 1，因此EF ⊥B 1C ．…(10分)
（3）连接B 1D 1，在各直角三角形中，运算得：
EB 1=3，，FB 1，，B 1C= …(12分)
1111
166
B EF
C V B F FC EF -∴=
⋅⋅==…(14分) 19. （本小题满分14分）已知函数),,(32)(23R c b a cx bx ax x f ∈+-=的图象关于原点
对称，且当1=x 时，3
2
)(取极小值－x f ．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）当[]11
，-∈x 时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
解：（1）依题意，对任意实数x 都有：()()f x f x -=-，
可得：0)0(=f ,b =0；…(2分) 3
/
2
()3,()33f x ax cx f x ax c ∴=+=+…(3分) 又当1=x 时，3
2)(取极小值－x f ，
因此：033)1(=+='c a f ，2
(1)33
f a c =+=-．…(5分) 解得：11,33a c =
=-，故 11
,0,33
a b c ===-．…(6分) （2）当[]11
，-∈x 时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直． 假设当[]11
，-∈x 时，图象存在两点1122(,),(,)A x y B x y ，使得在这两点处的切线互相垂直．设这两条切线的斜率分别为1k 和2k ,则有121-=k k .…(8分)
则由/2
()1f x x =-知这两点处的切线的斜率分别为：2211221,1k x k x =-=-，且 22
1212(1)(1)1
()k k x x =--=-*…(10分)
[]221212,11,10,10,x x x x ∈-∴-≤-≤， 2212(1)(1)0x x ∴--≥
这与（*）相矛盾，故假设不成立．…(13分)
因此当[]11
，-∈x 时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．…(14分)
20．（本小题满分14分）已知中心在原点、焦点在x
轴上的椭圆的离心率是
2
，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为A ，P 是 椭圆上且位于第一象限的任意一点，//AB OP ，点B 在椭圆上，R 为直线AB 与y 轴的交点，证明：2
2AB AR OP =．
解：（1）依照题设，可设椭圆标准方程为：22
221(0)x y a b a b
+=>>…(１分)
则离心率2
22(0)2
c e c a b c a =
==->，由椭圆定义，得24a =…(２分) 解得2a =
，1,b c ==
…(３分)
因此椭圆标准方程为：2
214
x y += …(４分) （2）由题意得(2,0)A -，设11(,)P x y ，11(,)B x y ，3(0,)R y ，其中110,0x y >>，
点Ｐ和点Ｂ都在椭圆上，则有2
21114
x y +=， （１） 22
2214
x y += （２） …(5分) 由//AB OP ，有1212000(2)OP AB y y k k x x --=
==---，即12
122
y y x x =+， （３）…(６分) 由110,0x y >>可知22x ≠-． ＡＢ直线方程为：2
20[(2)],(2)2
AB y y k x y x x -=--=
⨯++即 把3(0,)R y 代入，得2
3222
y y x =
+ …(７分) 因此有22(2,)AB x y =+，22(,)OP x y =，2
22(2,
)2
y AR x =+， 可得：22
2222(2)2
y AB AR x x =+++ （４）…(８分)
2
22
1122()OP x y =+ （５）…(９分)
由（１），（２），（３）得：2
122x x =+ （６）…(１０分)
由（１），（５）得：2
22
2
111322()22
OP x y x =+=+
（７）…(１１分) 由（２），（４）得：2222223
2(2)522
y AB AR x x x =++=++ （８）…(１２分)
由（７），（６）得：2
22
2111233
22()2522
OP x y x x =+=+
=+ （９）…(１３分) 由（８），（９）可证得：2
2AB AR OP =．…(１４分)
21.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的每一项差不多上正数，满足,21=a 且
022
121=--++n n n n a a a a ；等差数列{
}n b 的前n 项和为n T ，32=b ，525T =． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）比较
n
T T T 1
1121+++ 与2的大小； （3）若
c a b a b a b n
n <+++ 2211恒成立，求整数c 的最小值． （1）由022
121=--++n n n n a a a a 有，0))(2(11=+-++n n n n a a a a ，…(２分) 由于数列{}n a 的每一项差不多上正数，n
n n n a a a 2,21=∴=∴+…(３分)
设d n b b n )1(1-+=，由已知有252
4
55,311=⨯+=+d b d b ，…(４分) 解得2,11==d b 12-=∴n b n …(5分) （2）当1=n 时，
211121<+++n
T T T …(６分) 当2≥n 时，
n
n n n n 111)1(112--=-<…(８分) ∴
21211131212111111121<-=--++-+-+<+++n
n n T T T n …(１０分) （3）记=
n P n
n n n a b a b a b 21
2252321322211-++++=+++ …(１１分)
因此 12322
12232232121+-+-+++=n n n n P 两式相减得 23
32
n n
n P +=-…(１２分) n P 递增，∴>=<≤,216
37
,3214P P n 最小的整数3=c …(１４分)。