[K12学习]2019届高考数学总复习 高分突破复习：小题基础过关练(二)

高分突破复习：小题基础过关练(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A.(－1，1)B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2)解析 由|x －1|<1，得－1<x －1<1，解得0<x <2， ∴M ＝{x |0<x <2}，又∵N ＝{x |x <2}， ∴M ∩N ＝(0，2). 答案 C2.(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i ＋2i ，则|z |＝( )A.0B.12C.1D. 2解析 因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝－i ＋2i ＝i ，所以|z |＝1.答案 C3.函数y ＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解析 y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，是周期为π的奇函数. 答案 A4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin 2θ 的值为( ) A.35B.45C.15D.－15解析 由已知tan θ＝2，sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45. 答案 B5.(2018·日照模拟)设a ＝20.1，b ＝lg 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 因为a ＝20.1∈(1，2)，b ＝lg 52∈(0，1)，c ＝log 3910<0，∴a >b >c .答案 D6.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 由f (x )＝m ＋log 2x ＝0(x ≥1)，得m ＝－log 2x ≤0. 因为{m |m m |m ≤0}，所以“m <0”是“函数f (x )(x ≥1)存在零点”的充分不必要条件.答案 A7.(2018·武昌调研)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为( )A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4解析 由三视图知，商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体的组合体.依题意，得(5.4－x )×3×1＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案 B8.正项等比数列{a n }中，a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n的最小值等于( )A.1B.32C.53D.136解析 设公比为q ，因为a 2 018＝a 2 017＋2a 2 016， 所以q 2＝q ＋2，则q ＝2或q ＝－1(舍). 又a m a n ＝16a 21，则a 21·2m ＋n －2＝16a 21.∴m ＋n ＝6(m >0，n >0)，且m ，n ∈N *. ∴4m ＋1n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋24n m ·m n ＝32. 当且仅当m ＝4，n ＝2时等号成立. 答案 B9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( ) A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC →＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)，所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D10.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入m ＝6，则输出的S ＝( )A.26B.44C.68D.100解析 第一次运行，n ＝1，a ＝n 2－12＝0，S ＝0＋0＝0，不符合n ≥m ，继续运行.第二次运行，n ＝2，a ＝n 22＝2，S ＝0＋2＝2，不符合n ≥m ，继续运行，第三次运行，n ＝3，a ＝n 2－12＝4，S ＝2＋4＝6，不符合n ≥m ，继续运行，第四次运行，n ＝4，a ＝n 22＝8，S ＝6＋8＝14，不符合n ≥m ，继续运行，第五次运行，n ＝5，a ＝n 2－12＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行，第六次运行，n ＝6，a ＝n 22＝18，S ＝26＋18＝44，符合n ≥m ，输出S ＝44.答案 B11.已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( ) A.4x ＋y －1＝0B.2x ＋y ＝0C.2x ＋8y ＋7＝0D.x ＋4y ＋3＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 212＝1，且x 224－y 222＝1，相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1， 因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0. 答案 C12.定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1lg x ＋5的解集为( ) A.(10，10) B.(0，10) C.(10，＋∞)D.(1，10)解析 设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′（x ）＋1x2>0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0，1)，即f (x )<1x＋5的解集为(0，1).由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1，10). 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x ＋y －4≥0，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由题意可得可行域为如图所示(含边界)的阴影部分，z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，则在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， ∴A (1，2).代入z ＝x ＋2y 得最小值5. 答案 5 14.若二项式⎝⎛⎭⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m x 2d x ＝________.解析 依题意m ＝T 5＝C 46⎝⎛⎭⎪⎫552＝3.则⎠⎛1m x 2d x ＝⎠⎛13x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪31＝263.答案26315.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若S △AOB ＝23，则双曲线的离心率e ＝________.解析 双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，当x ＝－1时，y ＝±b a，不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以S △AOB ＝12×2×b a ×1＝23，即b a ＝2 3.所以b2a 2＝12，所以e ＝1＋b 2a2＝13. 答案1316.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P ，在其图象上总存在点P ′，使得OP →·OP →′＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数： ①y ＝x －1；②y ＝e x－2(其中e 为自然对数的底数)； ③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2.其中是“特殊对点函数”的是________(写出所有正确的序号).解析 设点P (x 1，f (x 1))，点P ′(x 2，f (x 2))，由OP →·OP ′→＝0，得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0，即OP →⊥OP →′.对于①y ＝x －1.当取点P (1，1)时，满足OP →⊥OP →′的点P ′不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”，如图(1)所示；对于②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x－2的图象.由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”，如图(2)所示；(1) (2)(3) (4)对于③y ＝ln x .当取点P (1，0)时，满足OP →⊥OP →′的点P ′不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”，如图(3)所示；对于④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，由图象知，满足OP →⊥OP →′的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”，如图(4)所示. 答案 ②④。