四川省绵阳市高三数学下学期入学考试试题 理

四川省绵阳市2017届高三数学下学期入学考试试题 理
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求. 1．若集合A={x|x 2﹣4x ﹣5=0}，B={x|x 2=1}，则A∩B=（ ）
A ．﹣1
B ．{﹣1}
C ．{5，﹣1}
D ．{1，﹣1} 2．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ）
A ．﹣1+i
B ．﹣1﹣i
C ．1+i
D ．1﹣i
3
．已知向量1(,
22BA =uu v
，1
()22
BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ） A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.120︒ 4．已知α，β，γ是三个不同的平面，1l ，2l 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）
A ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
B ．若1//l α，1l β⊥，则
//αβ
C ．若//αβ，1//l α，2//l β，则12//l l
D ．若αβ⊥，1l α⊥，
2l β⊥，则12l l ⊥
5.若13tan ,,tan 242ππααα⎛⎫
-
=∈ ⎪⎝⎭
，则sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）
A
．5-
B
．5 C
．10- D
．10
6. 设a ，b ，c 均为正数，且12
2log a a =，12
1
()log 2
b
b =，21()log 2
c c =，则a ，b ，c 的大小关
系为（ ） A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
7．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．
6
8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为2a ，则c b
b c
+最大值为（ ）
A ．2
B C ．D ．4
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．12π
C ．2π
D ．7π
10．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，
13AA =，则V 的最大值是（ ）
A.4π
B.
92
π
C.6π
D.
323
π
11.过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B
在x
轴上的射影恰好为右焦点2F ，若11
32k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1(0,)2
B ．2(,1)3
C ．12(,)23
D ．12
(0,)(,1)23
12.若函数()f x 在区间A 上，a ∀，b ，c A ∈，()f a ，()f b ，()f c 均可为一个三角形的三边长，
则称函数()f x 为“三角形函数”．已知函数()ln f x x x m =+在区间2
1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．212
(,
)e e e
+ B ．2(,)e +∞ C ．1
(,)e
+∞
D ．22
(,)e e
++∞
二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分．答案填在答题卡上． 13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3
，则
= ．
14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜
色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止的不同取球种数为 ．
15．已知a ＞0，x ，y 满足约束条件若z=2x+y 的最小值为1，则a= ．
16．设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M （，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准
线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比
=
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2,60c C ==︒. （1）求
sinA sin a b
B
++的值；
（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积.
18．（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计绵阳市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：
购金额
15
若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2． （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望． 19.（本小题满分12分）
已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA ==D 为AC 的中点，点E 在线段
1AA 上.
（1）当1:1:2AE EA =时，求证1DE BC ⊥； （2）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？
若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，若△AOB 的面积为．
且直线AB 经过点P （﹣2，3）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点S （﹣，0）的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以MN 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数g （x ）=
+lnx 在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），
f （x ）=mx ﹣﹣lnx （m ∈R ）．
（1）求θ的值；
（2）设h （x ）
=，若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得f （x 0）﹣g （x 0）＞h （x 0）成立，
求m 的取值范围．
选做题。

（请考生从第22，23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，） 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C
的参数方程为2x y θθ
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)，曲线2C 的极坐标方程为
2cos 6sin ρθθ=+.
（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
23.已知函数f （x ）=
1
-x a
+ax （a ＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g （x ）=|x+a|+|x+1|． （1）求实数a 的值；
（2）求函数g （x ）的最小值．
高2014级高三下期入学考试理科数学答案
BAADD CBCAB CD
考点：正余弦定理与三角函数的值域．
13.9
14．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为42 ．
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，利用组合知识求解即可．．【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1
当取球的个数是3，1，1时，满足条件的事件数是C31C43C21=24；
当取球的个数是2，2，1时，满足条件的事件数是C31C42C22=18；
这两种情况是互斥的，利用加法原理可得恰好取了5次停止种数为24+18=42，
故答案为42．
15．a= ．
16．设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过点M （，0）的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准
线相交于点C ，|BF|=2，则△BCF 与△ACF 的面积之比
=（ ）
【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】根据=
，进而根据两三角形相似，推断出
=
，根据抛物线的定义
求得
=
，根据|BF|的值求得B 的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=
代入，即
可求得A 的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．
【解答】解：如图过B 作准线l ：x=﹣的垂线，垂足分别为A 1，B 1，∵=，
又∵△B 1BC ∽△A 1AC 、∴=，由拋物线定义==．
由|BF|=|BB 1|=2知x B =，y B =﹣，∴AB ：y ﹣0=（x ﹣）．
把x=代入上式，求得y A =2，x A =2，∴|AF|=|AA 1|=．故===．故选A ．
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且2,60c C ==︒. （Ⅰ）求
sinA sin a b
B
++的值；（Ⅱ）若a b ab +=，求ABC ∆的面积.
试题解析： （Ⅰ）由正弦定理可得：
2sin sin sin sin 603
a b c A B C ====︒，
所以)()sin sin ,33sin sin 3sin sin 3
A B a b
a b B A B A B ++=
===++（Ⅱ）由余弦定理得2
2
2
2cos c a b ab C =+-，即()2
2
2
43a b ab a b ab =+-=+-，
又a b ab +=，所以()2
340ab ab --=，解得4ab =或1ab =- (舍去)，
所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯=
18．某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：
若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过ξ千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2． （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望． 解：（1）根据题意，有
解得
…∴p=0.15，q=0.10．
补全频率分布直方图如图所示． …
（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有人，
“非网购达人”有
人． …
故ξ的可能取值为0，1，2，3；，，，
．…
所以ξ的分布列为：
∴
．…
19.（本小题满分12分）
已知正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA ==D 为AC 的中点，点E 在线段
1AA 上. （Ⅰ）当1:1:2AE EA =时，求证1DE BC ⊥；
（Ⅱ）是否存在点E ，使二面角D BE A --等于60°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由.
试题解析：（Ⅰ）证明：连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC ∆为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC
平面11ACC A AC =，
所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥.
因为11:1:2,2,AE EA AB AA ===1AE AD ==，所以在Rt ADE ∆中，30ADE ∠=︒，
在
1Rt DCC ∆中，160C DC ∠=︒，所以190EDC ∠=︒，即1DE DC ⊥.又
1BD
DC D =，
所以DE 丄平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥. （Ⅱ）假设存在点E 满足条件，设AE m =.
取11A C 的中点1D ，连接1DD ，则1DD 丄平面ABC ，所以11,DD AD DD BD ⊥⊥， 分别以1DA DB DD 、、所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则(
)()
()1,0,0,,1,0,A B E m ，
所以()()()
()0,3,0,1,0,,1,3,0,0,0,DB DE m AB AE m ==-=， 设平面DBE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，
则1100n
DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11100x mz =+=⎪
⎩令11z =，得()1,0,1n m =-， 同理，平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，
则2200n
AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22200x
mz ⎧-+=⎪⎨=⎪
⎩取21y
=，∴)
2n =.
∴121
cos ,
cos 602
n
n =
=︒=
，解得2m =< 故存在点E ,当AE =
时，二面角D BE A -
-等于60︒. 19．已知中心在坐标原点O ，焦点在
y 轴上的椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，若△AOB 的面积为
．且直线AB 经过点
P （﹣2，3
）
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点S （﹣，0）的动直线l 交椭圆C 于M
，N 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以MN 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
，（a ＞b ＞0）．
∴椭圆的上顶点为B （
0，a ）
，右顶点为A （b ，0）
，直线AB 的方
程为
=1．
∴，解得a=，b=1．椭圆C 的方程是=1
．
（
2）若直线与x 轴重合，则MN=2b=2，圆的方程为x
2+y 2=1， 若直线垂直于x 轴，则MN=，圆的方程为（x+）2+y 2=
．显然A （1，0）为两圆的公共点，
因此所求的点T如果存在，只能是A（1，0）．事实上，点（1，0）就是所求的点．证明如下：
当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+）．
由联立方程组，得（k2+2）x2+x+﹣2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．
又y1y2=k2（x1+）（x2+）=k2x1x2+（x1+x2）+．∵=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），
∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+k2x1x2+（x1+x2）+
=（1+k2）x1x2+（）（x1+x2）+1+
═（1+k2）•﹣•+=0，
∴AM⊥AN，即以MN为直径的圆经过点A（1，0）．
所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T．
22．已知函数g（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣
﹣lnx（m∈R）．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，≥0在[1，+∞）上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1﹣1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得．
（2）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x），．
当m≤0时，x∈[1，e]，，，
所以在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．
当m＞0时，．
因为x ∈[1，e]，所以2e ﹣2x ≥0，mx 2+m ＞0，
所以（F （x ））'＞0在x ∈[1，e]恒成立．
故F （x ）在[1，e]
上单调递增，
，只要，
解得．
故m
的取值范围是
．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C
的参数方程为2x y θθ
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ (θ为参数)，曲线2C 的极坐标方程为2cos 6sin ρθθ=+.
（Ⅰ）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）在同一坐标系下，曲线12,C C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.
试题解析：
（Ⅰ）由2,x y θθ
⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数)得()22210x y ++=， 曲线1C 的普通方程为()2
2210x y ++=.∵2cos 6sin ρθθ=+，∴22cos 6sin ρρθρθ=+. ∴有2226x y x y +=+即()()22
1310x y -+-=为所求曲线2C 的直角坐标方程.。